2022年河南省洛阳市高三第二次诊断性检测数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知双曲线4=力＞°）的一条渐近线的倾斜角为。，且cos6=正，则该双曲线的离心率为（）

a-b-5

A.J5B.亚C.2D.4

2

2.若复数二满足（1—i）z=-l+2i,则|王=（）

A板R3「回n1

2222

3.盒子中有编号为1,2,3,4,5,6,7的7个相同的球，从中任取3个编号不同的球，则取的3个球的编号的中位

数恰好为5的概率是（）

2863

A.—B.—C.—D.一

3535357

4.已知函数/（x）=lnx,若尸（x）=/（x）-3日2有2个零点，则实数攵的取值范围为（）

A•19qB.H，。）c（硅）

5.要得到函数y=；cosx的图象，只需将函数y=gsin（2x+2]的图象上所有点的（）

A.横坐标缩短到原来的;（纵坐标不变），再向左平移9个单位长度

]JT

B.横坐标缩短到原来的不（纵坐标不变），再向右平移丁个单位长度

C.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移?个单位长度

O

jr

D.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移g个单位长度

22

6.已知点A（2后3啊在双曲线会-方=1（万＞0）上，贝！|该双曲线的离心率为（）

A.叵B.叵C.回D.2M

32

1

7,定义在R上的偶函数满足〃x+l)(〃x)rO),且在区间(2017,2018)上单调递减，已知是

锐角三角形的两个内角，则/(sin6),/(cos«)的大小关系是()

A./(sin/7)</(coscr)B..f(sin/?)>/(cosa)

C./(sin/?)=/(cos«)D.以上情况均有可能

8.已知直线/：岳+y+2=0与圆。：/+y2=4交于人，B两点,与/平行的直线4与圆。交于A7,N两点，

且z/MB与的面积相等，给出下列直线4：①6x+y-2百=0,②辰+y-2=0,③x—6y+2=0,

④氐+y+26=0.其中满足条件的所有直线《的编号有()

A.①②B.①④C.②③D.①②④

9.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，又

称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图(1)),

类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图(2)所示的图形，它是由6个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个

大正六边形，设4'户'=2产幺，若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率为()

C.巫D,1

77

10.已知x〉0,y>0,x+2y=3,则口^的最小值为（）

孙

A.3-272B.2&+1C.V2-1D.0+1

11.已知复数二满足：zi=3+4i（i为虚数单位），则1=（）

A.4+3iB.4—3zC.—4+3，D.—4—3i

COSA

12.f（x）=--在原点附近的部分图象大概是（）

sinx

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在三棱锥尸-ABC中，AB=5,BC=3,C4=4,三个侧面与底面所成的角均为60°,三棱锥的内切球的表面

积为.

14.函数〃x)=cos(3x+W在［0,兀］的零点个数为.

15.曲线/(x)=在点(0,/(0))处的切线方程为.

16.已知圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，圆柱的高和球半径均为2,则该圆柱的底面半径为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(可=g上1,其中。＞0,6＞0.

(1)①求函数/(%)的单调区间；

②若不,々满足闻＞%(i=l,2),且玉+9＞0,々＞0.求证：/&)+2/(*2)＞百♦

(2)函数g(x)=go?—lnx.若M,工2§1、

0,-7=对任意，再-7,都有i/a)-〃/)i>iga)-g(%)i,求其一a

7a)

的最大值.

18.(12分)如图，在矩形A3CD中，AB=4,AD=3,点瓦尸分别是线段力CBC的中点，分别将△以£沿4E

折起，△CEF沿EE折起，使得。，。重合于点G,连结A尸.

DECG

(I)求证：平面GEE，平面GAE；

(H)求直线GE与平面G4£所成角的正弦值.

19.(12分)如图所示，在三棱柱ABC-4与G中，AABC为等边三角形，ZBAB}=ZBB}A,AgcA8=。，CO1

平面AB44，。是线段AG上靠近4的三等分点.

(1)求证：AB±AA,；

(2)求直线8与平面4ACG所成角的正弦值.

20.(12分)AABC的内角A,B,C的对边分别为4，b,c,其面积记为S,满足空S=

3

(1)求A；

222

(2)若同lb+c)=2a,求n幺+h幺+Jr的值.

beacab

21.(12分)已知函数/(x)=〃?ln(l+x)—x,g(x)=a%—sinx.

⑴若函数J'(x)在(O，+8)上单调递减，且函数g(x)在能上单调递增，求实数加的值；

(2)求证：(1+sinl)11+sin^——1+sin——-1+sin---------<e~(〃wN*,且〃之2).

11x2八2x37((〃.

22.(10分)已知函数/(%)=依一111%—13£7?).

(1)讨论/(x)的单调性并指出相应单调区间;

i3

(2)若gOO.f—设玉＜尤2)是函数g(x)的两个极值点，若a士，且g(x)-g(x2)2z恒

成立，求实数％的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

由倾斜角的余弦值，求出正切值，即a,沙的关系，求出双曲线的离心率.

【详解】

解：设双曲线的半个焦距为c,由题意8e[0,乃)

又cosB=^~，则sin9=之弋,,tan0—2,—=2,所以离心率e=£=Jl=石,

故选：A.

【点睛】

本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题

2.C

【解析】

把已知等式变形，利用复数代数形式的除法运算化简，再由复数模的计算公式求解.

【详解】

/、-l+2z(-l+2z)(l+«)31

v'1-z(1-z)(l+z)22

故选C.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题.

3.B

【解析】

由题意，取的3个球的编号的中位数恰好为5的情况有C：G，所有的情况有种，由古典概型的概率公式即得解.

【详解】

由题意，取的3个球的编号的中位数恰好为5的情况有C：C，所有的情况有C；种

由古典概型，取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率为：

8

C；35

故选：B

【点睛】

本题考查了排列组合在古典概型中的应用，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.

4.C

【解析】

令尸(x)=/(x)—3入2=0,可得左=InxInx

57,要使得E(x)=0有两个实数解，即.丫=攵和g(x)=57有两个交点，结

合已知，即可求得答案.

【详解】

令F(x)=f(x)-3kx2=0,

r组/,nX

可得人声'

Inx

要使得F(x)=0有两个实数解，即y=Z和g。)=南有两个交点,

，/、l-21nx

••・g(x)=^^

令1—21nx=0,

可得x=Ve，

・•・当xw(0,、Q时,g'(x)>0,函数g(x)在(0,五)上单调递增;

当X£(Ve,4-00)时,g'(x)<0,函数g(x)在+00)上单调递减.

，当了=—时，g(x)max-~7~'

6e

・•・若直线y=攵和g(x)="有两个交点，则4G[0,^|.

3xI6eJ

实数左的取值范围是

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了根据零点求参数范围，解题关键是掌握根据零点个数求参数的解法和根据导数求单调性的步骤，考查

了分析能力和计算能力，属于中档题.

5.C

【解析】

根据三角函数图像的变换与参数之间的关系，即可容易求得.

【详解】

为得到y=

22<2J

将y=；sin(2x+?)横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),

故可得y=2I3J

再将y=；sin(x+?)向左平移看个单位长度，

1.(n1.f乃)1

故可得y=7；sin|x+—+—=—sinx+—=—cosx.

213oJ212)2

故选：C.

【点睛】

本题考查三角函数图像的平移，涉及诱导公式的使用，属基础题.

6.C

【解析】

将点A坐标代入双曲线方程即可求出双曲线的实轴长和虚轴长，进而求得离心率.

【详解】

将尤=2j?,y=3jlU代入方程常方=10>0)得人=3屈，而双曲线的半实轴a=河，所以o=后寿=10,

得离心率e=£=W,故选C.

a

【点睛】

此题考查双曲线的标准方程和离心率的概念，属于基础题.

7.B

【解析】

由已知可求得函数的周期，根据周期及偶函数的对称性可求Ax)在(0,1)上的单调性，结合三角函数的性质即可比较.

【详解】

由+=可得/(x+2)=/[(x+l)+l]=_J=/*),即函数的周期丁=2,

因为在区间(2017,2018)上单调递减，故函数在区间(-1,0)上单调递减，

根据偶函数的对称性可知，/0)在(0』)上单调递增，

因为a,夕是锐角三角形的两个内角，

所以％尸€(0,3万)且&+/?>3%即&>3乃一夕，

所以cosa<cos(g万一4)即0<cosa<sin，<1,

/(cosa)</(sin，).

故选：B.

【点睛】

本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键.

8.D

【解析】

求出圆心0到直线/的距离为：d=l=；r,得出NAO3=120。，根据条件得出。到直线《的距离d'=l或6时满足

条件，即可得出答案.

【详解】

解：由已知可得：圆0：V+y2=4的圆心为(0Q),半径为2,

则圆心。到直线/的距离为：d=\=-r,

2

：.ZAOB=120°,

而"4,与AOMN的面积相等，

:.ZMON=120°或60°,

即。到直线4的距离"'=1或6时满足条件，

根据点到直线距离可知，①②④满足条件.

故选：D.

【点睛】

本题考查直线与圆的位置关系的应用，涉及点到直线的距离公式.

9.D

【解析】

设AF=a,贝iJ4F'=2a,小正六边形的边长为A'F'=2a,利用余弦定理可得大正六边形的边长为=再

利用面积之比可得结论.

【详解】

由题意，设AF'=a,则AF=2a,即小正六边形的边长为A'F'=2tz,

TT

所以，FF'=3a,NAFF=—,在八4b户中，

3

由余弦定理得AF2=AFf2+FF,2-2AF•FFcosZAFfF,

即AF~=。~+（3。）—2a,3cl•cos—,解得AF—\p7ci，

所以，大正六边形的边长为AF=J7a，

i巧

所以，小正六边形的面积为S]=3x2ax2ax-^-x2+2Qx2Ga=66a2,

大正六边形的面积为$2=gxJ7QX曰^X2+五a=21；,

S4

所以，此点取自小正六边形的概率？=寸=亍.

故选：D.

【点睛】

本题考查概率的求法，考查余弦定理、几何概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.

10.B

【解析】

3=立包生建目]+红21+2m=1+2应，选B

孙盯yx\yx

11.A

【解析】

利用复数的乘法、除法运算求出Z,再根据共输复数的概念即可求解.

【详解】

由zi=3+4i,则z=二3+，4z=±3z-^4=4—3i,

i-1

所以三=4+3"

故选：A

【点睛】

本题考查了复数的四则运算、共匏复数的概念，属于基础题.

12.A

【解析】

分析函数y=/(x)的奇偶性，以及该函数在区间(0,万)上的函数值符号，结合排除法可得出正确选项.

【详解】

令sinxwO,可得々肛左eZ},即函数y=/(x)的定义域为定义域关于原点对称，

cos(-x)8sx

/(一x)=.(=一^=一小),则函数y=/(x)为奇函数，排除c、D选项；

sin(-x)sinx

cos.r

当0<x<7t时，eC0SJC>0»sinx>0,则/(%)=---->0,排除B选项.

sinx

故选：A.

【点睛】

本题考查利用函数解析式选择函数图象，一般要分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查分

析问题和解决问题的能力，属于中等题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

4%

13.

3

【解析】

先确定顶点在底面的射影，再求出三棱锥的高以及各侧面三角形的高，利用各个面的面积和乘以内切球半径等于三棱

锥的体积的三倍即可解决.

【详解】

设顶点在底面上的射影为〃，”是三角形A8C的内心，内切圆半径r=l.三个侧面与底面所

成的角均为60°,APAB，APBC,AR4c的高庄=尸尸=2,PH=6设内

切球的半径为K,(-(3+4+5)x2+-x3x4)x/?=3xlxix3x4x>/3=673

2232

:.R=B,内切球表面积S=4»/?2=".

33

47r

故答案为：——.

3

【点睛】

本题考查三棱锥内切球的表面积问题，考查学生空间想象能力，本题解题关键是找到内切球的半径，是一道中档题.

14.3

【解析】

TTTF

求出3x+—的范围，再由函数值为零，得到3x+—的取值可得零点个数.

66

【详解】

详解：>/0<X<71

71,、71,19万

-<3x+—<---

666

由题可知3%+工=工,3%+工=2,^3x4--=—

626262

切出714万_7万

解得x=§，一§一，或5

故有3个零点.

【点睛】

本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题.

15.3x—y-1=0

【解析】

求导，得到r(o)和/(o),利用点斜式即可求得结果.

【详解】

由于/(O)=T，/'(x)=4-心所以r(o)=4-1=3,

由点斜式可得切线方程为3x-y-1=0.

故答案为：3x-y-l=0.

【点睛】

本题考查利用导数的几何意义求切线方程，属基础题.

16.百

【解析】

由圆柱外接球的性质，即可求得结果.

【详解】

解：由于圆柱的高和球半径均为2,,则球心到圆柱底面的距离为1,

设圆柱底面半径为广，由已知有产+f=22，

r=>

即圆柱的底面半径为6.

故答案为：6.

【点睛】

本题考查由圆柱的外接球的性质求圆柱底面半径，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

J__1_、

17.(1)①单调递增区间――,+s,单调递减区间;②详见解析；(2)

4ay/a

7716

【解析】

⑴①求导可得/'(X)=竺二=,x*0,再分别求解r(x)>0与/'(x)<0的解集，结合定义域分析函数的单调区间即

2bx

可.

②根据(1)中的结论，求出/(内)+2/(々)的表达式,再分玉<0与玉>。两种情况，结合函数的单调性分析

/&)+2/伍)的范围即可•

⑵求导分析g(x)=g以27nx的单调性,再结合f(x)单调性，设x,<x2,去绝对值化简可得

/&)—g(xJ-"(X2)-g(W)]>0，再构造函数”(x)=/(x)-g(x),xe，根据函数的单调性与恒成立问

,2b八

题可知1--尸20，再换元表达力-。求解最大值即可.

\ja

【详解】

解:⑴小卜寨1,衣。,

由广(工)>。可得x>了"或x<一7^,

由/'（%）＜o可得一支＜尤＜下，

（1、111]

故函数的单调递增区间-8-,+8，单调递减区间

y/a)

\7

②玉+x2>0,x2>0,

%>0或X|VO,

若%>0,因为㈤>7=，故闻〉-^,|引>^,

7ayjayja

上单调递增"㈤+2/伍）=半＞半,

由①知/（%）在,+CO

7\\/ajobbb

若玉V0,由年|>二可得X<--\=X\,

yjayja

因为玉+x2>0,x2>0,

所以々＞-,

(1)

由①f（x）在-尸,+«)上单调递增,

\7a7

/(%)+2f(々)>/(X])+2/(-x,)>-y-

综上/(^i)+2/(x2)>^y-

(2)Q<x<—j=时,g'(x)=依_J_二———1<o,g(尤)在上单调递减,

不妨设玉〈々，

由⑴“X）在［0,七］上单调递减，

由I"%）-/（々）|＞k（%）一（工2）|，

可得（凡）＞g&）-g（动,

所以，&）一8（石）一"（电）-g（x）］＞o,

令M（x）=/（x）-g（x）,x€（0,9）,

可得MG)单调递减,

所以“(力=竺=1一奴+工=叵」K=竺Uo在［。，9］上恒成立,

x2bx\"J

,2b

即1-2纭;20在上恒成立，即卜刀=30,

yja

所以b^^-,b-a£^--a=-4a--+—<—,

22I4j1616

所以6a的最大值;

16

【点睛】

本题主要考查了分类讨论分析函数单调性的问题，同时也考查了利用导数求解函数不等式以及构造函数分析函数的最

值解决恒成立的问题.需要根据题意结合定义域与单调性分析函数的取值范围与最值等.属于难题.

18.(I)详见解析；(H)逑.

9

【解析】

(1)根据或，64,GELGF,可得G£_L平面G4/7,故而平面GEF，平面GA/.

(II)过户作EHLAG于H,则可证平面G4E,故NFG/7为所求角，在AAGE中利用余弦定理计算

cosZFGH,再计算sinNFG//.

【详解】

解：（I）因为GEJ_G4,GELGF,GEC］GF=G,GE1平面GAF,GEu平面GA/7

所以GEL平面G4E,

又GEi平面GEF,

所以平面GEF±平面GAF；

(U)过户作FHLAG于H,则由GE_L平面G4F,且FHu平面G4F知

GE1FH,所以平面G4E,从而NFG”是直线GF与平面GAE所成角.

3

因为AG=3,FG=—,AF

2

c973

G4+G尸-A尸44=7

所以cosNAGF=

2GAGF2-3--§

2

从而sinNFGH=sinZAGF=Vl-cos2ZAGF=­.

【点睛】

本题考查了面面垂直的判定，考查直线与平面所成角的计算，属于中档题.

19.(1)证明见解析(2)叵

11

【解析】

(1)由ZBAB,=NBBiA,故AB=BB1,所以四边形4ABB,为菱形，再通过NCO4NCOB,证得AO=80,

所以四边形为正方形，得到AB1A4,.

ABB{AX

一m-AA.=0,

(2)根据(1)的论证，建立空间直角坐标，设平面AACG的法向量为用=(%乂z),由J八求得，再由

OD=72,--,--^,利用线面角的向量法公式求解.

【详解】

(1)因为A,故48=84，

所以四边形为菱形，

而CO平面4,故ZCOA=ZCOB=90°.

因为CO=CO,C4=C8,故△COgACOB,

故AO=3O,即四边形A88同为正方形，故ABLAA,.

(2)依题意，CO,OA,CO，Q4.在正方形4ABg中，0A.10A,

故以。为原点，。4，。4。。所在直线分别为》、y、z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.

如图所示:

不纺设AB=2,

则0（0,0,0）,A（夜,0,0）,A（0,衣0）,C（0,0,0）,G（夜,一夜,72）,

又因为历=西+：而'，所以0

所以扁=（-V2,V2,0）,AC=（0,-72,正）.

设平面4ACG的法向量为m=（x,y,z）,

则篇.前=0「

-y/Q,X+—0,

即—岳+岳=0「

令x=l,则y=l,z=l.于是,〃=（1,1,1）.

又因为历=（"-坐,坐］,

I33J

设直线OD与平面AACG所成角为e,

则sine=1cos<m,OD}|=AB=叵,

\m\\OD\11

所以直线on与平面AACG所成角的正弦值为普.

【点睛】

本题考查空间线面的位置关系、线面成角，还考查空间想象能力以及数形结合思想，属于中档题.

4=红

20.(1)(2)3+—

33

【解析】

(1)根据三角形面积公式及平面向量数量积定义代入公式，即可求得tanA,进而求得A的值；

(2)根据正弦定理将边化为角，结合(1)中A的值，即可将表达式化为B的三角函数式；结合正弦和角公式与辅助

角公式化简，即可求得3和C,进而由正弦定理确定a:6:c,代入整式即可求解.

【详解】

(1)因为在5=福・目，

3

所以由三角形面积公式及平面向量数量积运算可得

-^Z?csinA=becos(万一A)=-hecosA,

所以tanA=—V3・

因为0<A<»,

所以A=W.

3

(2)因为G(6+c)=2a,

所以由正弦定理代入化简可得后(sinB+sinC)=2sinA=g,

由(1)A=—,代入可得GsinB+sinfB+—|=G,

3LI3)\

J31

展开化简可得—sinBH-----cosB=J5,

[22,

根据辅助角公式化简可得sin(B+?]=1.

因为0<8〈三，所以B=m，所以C=工，

366

所以AA8c为等腰三角形，且a:人：c=sinA:sin6:sinC=6：1:1,

二加c2c6百.26

所以一+—+—=3+—+—=3+—^-.

beacab333

【点睛】

本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，三角形面积公式的应用，平面向量数量积的运算，正弦和角公式及辅助角

公式的简单应用，属于基础题.

21.(1)1；(2)见解析

【解析】

(1)分别求得/(X)与g(x)的导函数，由导函数与单调性关系即可求得，〃的值;

(2)由(1)可知当x〉0时，ln(l+x)<x,当0cx时，sinx<x,因而

sinl,sin^—,sin^—sin----——N\n>2),构造

1x22x3(〃一l)x〃'7

1,1)l+sin--1―,由对数运算及不等式放缩可证明

In(1+sinl)l+sinl+sin----

1^22x3j(〃一J

l+sin~~1—=2--<2,从而不等式可证明.

In(1+sinl)l+sinl+sin—7

1x22x3(〃一l)x拉Jn

【详解】

(1)•.•函数”X)在(0，+8)上单调递减，

/'(X)=W-14°，即加W1+X在(0,+8)上恒成立,

m£1,

又；函数g(x)在能上单调递增,

/.g,(x)=zn-cosx>0,即mNco&x在期々上恒成立，m>l,

.,.综上可知，m-\.

(2)证明：由(1)知，当加=1时,函数/(x)=ln(l+x)—x在(0,+8)上为减函数,

g(x)=x—siru^j,g上为增函数，而/⑼=0,g(0)=0,

・••当x>0时，ln(l+x)<x,当0cxv]时，sinr<x.

•sinl,sin」一，sin」一,...，sin]

1x22x3(71-1)XW

In(1+sinl)(l+sin1.I)1

l+sin----...l+sin

2x3)

1+lnl+sin-^1____

ln(14-sinl)+ln1+sin