2022年考研数学一真题解析

!!!#$%&'()*+,-./01

2,3.4051

!"#$%&'(')*%+,*%-.+/-).012,%34567#89+:;!7#

8<=>%?@A50B

(1)已知f(X)满足lim一—L则()

x®1Inx

(A)f(1)=0.(B)limf(x)=0

X

(C)f或1)=1.limfCG0=l

(D)x®i

【答案】(B).

【解析】

limf(x)=limXhxJ=0,㈤正确，但一"磔性未知，故'W未知，其他

x«iglnxu'，三项

均错

⑵已知z=xyf(』)f(u)-AWyFW,则(

X,且lxUy

(A)f(1)-1,f0(D=0.

(B)f(1)=0,f0(D~L.

2

(C)fw=i.

2

(D)f(D=Qf0(l)=1.

【答案】(B).

“

也

6Ao6、

,,、纪yyu

A+=seyo.工户yoayouu-

X©—+y《

设c4-xyf电一>J•，+e9-

eyf•--Strexfe-+,

exoexoeX0UxoxyfexoxQ

把yo21yRr.«yoy〔y\11

=2xyfc--byIn—Dfr一^二一In—Pf(u)=—ulna

exoxexo2xx2

\f(D=Qf4D=旌lnu+驾=1选⑻.

e22^=1，心一

(3)设有数列｛xJ,其中/满足A„,则()

1

(A)若li卬cos(sinxn)存在,则limx存在.

n®¥n®*n

(B)若limsinfcos^)存在,则limxn存在

n®¥

(C)若limcoslsinxj存在,贝ijq?sin%存在,但limx

n®¥n®¥n,不一定存在.

(D)若limsinSosxJ存在,贝ijlimcosxnlimx

n®¥n®¥n存在，但

【答案】(D).n不一定存在

/\JI

【解析】取X=(-1尸_,则(A)、B)、C均错,且(D)的"limx不一定存在”是

n2.¥n

(D)的“limcos%存在的原因•当兀而VLUQA±

正确的；Xn5时，n而sinx

n®¥f2

在［Q1］上单调，故Jimcos人存在.

JTJX.111n(l+x)dx132x

(4)已知II=07^-------7dx,3,则()

V2(1+cosx)2V1+COSXQ，ol+sinx

(A)I,<I2<I.

3

(B)U<Ii<I3.

(C)It<13<12.

(D)

1

【答案】(A).

Vw、11xT、A

【解析】令f(X)=--ln(l+x),应抵一“r/r当

2时,

f或X)<0,所以f(X)在口1］上单调递减，当0<X<1时f(x)<f(0)0所以

1<ln(l+x),/I<1；又°x1时,

22(1+COSX)1+COSX12

ln(l+x)X/Xx2x

----x—

1+COSX1+COSX111.1+sinx,故L<1

212SmX3,选(A)-

(5)下列4个条件中，3阶矩阵A可以相似对角化的一个充分但不必要条件为()

(A)A有3个不相等的特征值.

(B)A有3个线性无关的特征向量.

2

(C)A有3个两两线性无关的特征向量.

(D)A的属于不同特征值的特征向量相互正交•

【答案】(A).

【解析】

选项(A):A有3个互不相同?寺征值，则A可对角化，但是A可相似对角化，A的特征

值可能有重根，正确；

选项(B):A有3个线性无关的特征向量是A可对角化的充要条件；

选项(C)：3个特征向量两两线性无关，不能保证整体线性无关，故不能推出A可对角化；

选项(D)：实对称矩阵不同特征值的特征向量正交，可对角化的矩阵不一定是实对称矩阵.

(6)设A,B均为n阶矩阵，若方程组Ax=0与Bx=0同解，贝IJ()

岔A06y—vj..

⑷方程驾EB/只有零解

Ady-

力在组BL只有零解

9y

eOABo

seAB6wV—u与e＜B?mA6v—同1।解

⑹方程组X。

B0eOA0

力在组也ABB62史BAAoy-v

9八9二°。AR-同解

e0Aoe0B

0

【答案】(O.

【解析】

A:

也o

抽诉联实矩阵C-•

pq与同解，则K・即行向量组

,Ax=0Bx=0eB0A,B

等价.

史ABojeA06用BAdjeB0d

1

W由q-徐士，♦彳r七

e0B0-'eOBoeOA0n，为0Ao

-B-o史A。。丫一uKBM二噂L同解

m=09-H同解，9

eOB。eOBoeO

:

K。

令

2e…

y=gy

e、yi,y

20均为n维向量,

2

“*AoBo

o%把

oo11O0iBy「0

则=1，^Fy2=

B0B

9《2eOA

e01oz1Ay2=0

改曲ABo0"BAo.y-u

由Ay】=0,By=0同解，Ay2=QBy2=0通解,q同

eOB0eO\0

3

解.故选(C).

1“d:I:

把

1把

。

o。X

,ce

SI.n*9・

9-c1rl-

⑺=1:=»-a=p-1:=x:

9:c•3ac-a,a,a

*c:4>・

9-c±c

11.eI「T

・

・*若向量组与

1e0I0>-0

eI2123

丁

e、0

aa1

等

则

价

可取

J11

VA—

⑼1

1心f1

【答案】(0.

【解析】

记A二(dpa2,a3)zB—(a］，a2,a)

)

剧［三(］Lf—，l―」,少।

肖1］f奇，IA、o,IB70,即r(A)=r(B)=3,则a,p,2a3与，1a，尹4均为

的基，故等价；

当1=T时，37―1谭：aja3与a「a7a4不等价;

，虫，(

当1=-2时，/a„a?与a〕，a9,a4不等价；

,，由，，

当1=1时，a],a3,a「a?a4等价；故选(C).

(8)设随机变量X!U(0.3),随机变量Y服从参数为血泊松分布，且X与丫办方差为

-1,则D(2X-Y+1)=()

(A)1.(B)5.(C)9.(D)

【答案】(C).•

［解析】D(2X-Y+1)=4D(X)+D(Y)-4Cov(X,Y)

由X!U(Q3),一一/卫二J

—124

即以B⑵X科¥))三2JD(X)+D(Y)-4COV(X,Y)=9,选⑹.

(9)设随机变量XpX》X,X4

“独立同分布异的阶矩存在设

uk=E(Xt),k=l,2,3,4,则由切比雪夫不等由对于任意的e>0,有

阴1-1/2

(B)

p2-1/1|j2-|/1

(C)(D)

ne2

【答案】(A).

1n*=

、-10A7、

1显然口”导-2；则PS

【解析】记-ai=YXA"e

ni=i2

又

Dg*嘻产长DX)、EX)一E,)]*…;)

M

1nQ为

14-

oX2y选A

-ie

所以p;ab

n2x

i1=1

(10)设随机变量X!N(Q1),在X=x条件下随机变量Y!N(x,l),贝IJX与Y的相关系数

为()

(A)/(B)_1

4-2'

(0(D)

OZ

【答案】(D).

X2

【解析】由题意f(x)=」=e"-¥<x<+¥

V2p

,1

且f\|X(y|x)=e<y<+¥,

所以f(x,y)=q(x)§x(y|x)=je

^,-¥<x,y<+¥

(y.x)z

1YO1

又E(XY)QQxyf(x,y)dxdy=Qx]—eJxI—e2dy

V2p¥而

5

+¥,1--

—、X'.—e2dx=1

-Q而

又因为

]y2T2x2-2xy1y2

fY(y)=Qf(x,y)dx=Q'y-e—之一dx=:e工白、e《cy)dx

1yzzy1

I+¥-(X——)？]------

—e4Ae2dx=—=e4,-¥<y<+¥

2pY2五

彭工D（Y）二2

Cov(X,Y)_E(XY)-E(X)E(Y)_1-0_亚选(D).

JD(X)JD(Y)JD(X)JD(Y)&

3+¥-+/oB

*%，•-

二G)

2点t1

X2y2o1

在-

的最大方向导数

答幕

在某一点处的最大方向导数是其梯度的模.

【解析】@1)=21-V

,(Q1)

4y|=4,所以最大的方向导数JU,注F4.

l(QD

（12）6登x=.

【答案】4.

51nx

【解析】।及1x

3*2t出

=4qlntdt

=4(tlnt-t)I；'

=4

(13)当X0,y0时，x4y2kex+丫恒成立则k的取值范围是

6

【答案】14e-2,+¥).

【解析】原不等式即k(x2y2)e-,x+y),x0,y0,

令f(x,y)=(x"+y/)erx+y),x0,y0,

当<-U'J.时，直接求驻点

f^=(2x-x2-y2)e-<A+^,0f(2y-x2-y2)e-(X+y,=0,

解得cJL且八

2C—2

当x=0时，f(0,y)=y2e-y=

g(y)=2yey-y2ey=0,y=0^2,

且g(0)=0,g(2)=4e=

当¥一¥寸，同理解得f(0,0)=0,f(2,0)=4eN

比较可得三:「"的最大值为'I

4e-2

于是k4eW

(14)已知级数加工■e-nx的收敛域为(a,'"则a=.

n=l加

【答案】"I.

o¥-nI.on!„

【解析】令t二e"a—enx=a-t.

n=inn=l行

(n+1)!

..(n+1严..nn11

lim------；lim---------=lvim-----------=-

n®¥n!n®¥(n+1/1n®¥]de

Fgn0

¥।

于是卷一tn的收敛区间为-e〈t<e

n=1nn，

那么-e〈e-x〈e,解得A>L于是③一\

(15)已知矩阵A和E-A可逆其中E为单位矩阵，若矩阵B满足

(E-(E-A)T)B=A,则B-A=,

7

【答案］-E.

N-xx/_

【解析】由(E-(E-A)T)B=AD

A-E)B二A

i>-=-2P-B=E-APB-A=-E.

ABAA

(16)设AB,C随机事件，且A与B互不相容，A与C互不相容，B与C相互独立若

P(A)=P(B)=P(C)=1,则P®!CA！B!C§_______

3

【答案】

8

【解析】因为B与C相互独立，有=1.

339

又因A与B互不相容，A与C互不相容，有

P(AB)=P(AC)=P(ABC)=0.

P(B'C|A*B-C)=P[(B!C)”(A!B!C)]一P(B!C)

P(A!B!C)P(A!B!C)

P(B)+P(C)-P(BC)

-P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)

339.5

1+1+1-0-1-0+0》

3339

H，zIJ%&，K(LL*%+/K).0IJMN40PQR//SRTUVWXYZ0B

(17)(本题满分10分)

设函数y(x)是微分方程y^T-J^y=2+J7的满足y(0的解,求曲线y卢x()的

2Jx

渐近线

【答案】斜渐近线y=2x.

【解析】y=e°^”6gH^3N'dx+C*=2x+CeM.

eu

eu

将yQ)乌代人可得c=e,即y=2X~p4-xx>

由函数解析式可知，曲线没有垂甑近线；

又由于limy(x)=(。)=+¥

x®+¥、/\，

曲线没有水平渐近2勰2x+e

必.Mm

又k二lim

x®+¥Xx®+¥X

8

b=€()-0=lim(2x+e'2x)=0,

limyxkxx®+¥

故曲线有解渐近线y=2x.

(18)(本题满分12分)

1_、、(x-y)2〜“4-

已知平面区域D={(x,y)y-2xy?,计算

,0y22

［答案］乙.厂1,

【解析】将积分区域D分为两部分D=D]H)2,其中：

2

D,={(x,y)|yx+2,-2x0,()y2}.D2={(x,y)p+y4,x0,y0},

&V+”dxdy+§dxdy=I)+I.

故i=62

D,

其中：

2

qj，2dr2

L=3dqQinq-c°sqrx(osq-sin=J-q)2,

qcn下E7dq="

2

itnn

l2=]dqjx(q-siMH=2子(cosq-siM?dq=2j1sin2dn2一

rcos(-q)q=-

故：In2n2nl.

——+=(一)

(19)(本赢满分12为

L是曲面S:4x4y£zR1,"u，JJ"L

U的边界，曲面方向朝上，已知曲线的方

向和曲面的方向符合右手法则，求I=yzo(2-cosz)dx+2xz2dy+(2xyz+xsinz)dz

L

【答案】0.

【解析】由斯托克斯公式可得：

dydzdzdxdxdy

［—-、Y中中6^^xzdydz+z2

?°衩豆而

sdxdy

yz2-cosz2xzr2xyz+xsinz

令S「4xZ+yZIxQyO指向轴负向，

z

S2：4xZ+zZIxQz0,指向y轴负向，

S3：y+z巧)'，指向x轴负向，

贝IJI=(2xzdydz+z^dxdy)-OO(-2xzdydz+

s+s,+»>s、s

z41x3dy),

9

-台决xzdydz+z2dxdy\-^^xzdydz+z2

s2s3dxdy

=OO^Z-2z)dxdydz-0-0-0=0.

w

(20)(本题满分12分)

设f(x)在(-¥,+¥)有二阶连续导数，证明：f依x)0的充要条件为对不同实数a,b

f畔)1b

fxdx

CJ^TQ()-

【证明】f(x)=fa—^.)+10^(x)(x-3—2岁X

2+0222/32,‘介于

a+b、「

-N■间，

a+bu、

a+b、1f\d

7!2d

3f(x)dx=4f(等f(等)(x一2+24a%2u

ae+C

必要性：若解(x)0,则底出了，有°」(?改f©士〃.

(b-a)2

充分性:若存在%使得C0〈，因为有二阶连续导数，故存在使得f般(x)

f(X)0

[-d,xC联」内恒小于零记a=Xo-d,b=x+d

在xO

a+bb6100

b\也+vf.a+b、u.

此时°f(x)dx=71-o<-lx

2e2

aNU

<f(_)(b-a),矛盾！故f(x)0.

2#

综上，充分性必要性均得证.

(21)(本题满分12分)

33

已知二次型f«,养，务)=苴苴ij小x「

i=lj=l'

(1)写出f(埠与，七)对应的矩阵；

(2)求正交变换X=Qy,将f(冷孙X)化为标准形；

10

（3）求f（x1,%七）二0的解

eel23o_

【答案】(1)^246：

€369。,

x231d

「羽而wi

91624-

（2）令正交矩阵y而l利用正交变换x=Qy,化为标准形

^0

53』

0_・

770

f=14y；;

ae-26ae-3d

(3)A~C^1号95-6：(c,c为任意常数)

£2*212

Vn•VR•

eu0e00

33

【解析】(i)f(x^x^x^=aaijxx、

i=lj=li

xi+2x]4+3^X3+2X2X[+4<+6X2X,+3%%+6X34+9x；

=xl+4x2+9x3+4X]X2+6X,X,+12x2x.

1

把

r223o台％o.

r46条t

=（X.,孙七）O

o

e369萨3；

0

1-1~2-3

(2)1|E-A1-21-4-6=12(i-i4)=o

-3-61-9

得L=12=0,13=14；

23

23do:-

ae1ae-2^e

0^u3

0E-A%国JOo-I

rQ匕c

：-

q0C-c1

oAo・

go•.>C0e

0…

ae1-530ffild

14E-A%@JO

3-2+解得a=£LL_

0jw六

go0e00

11

ae-2oae-36

(a»b.)1cC：

将a,a2进行施密特正交化可得3=，1=b=a-__=__!-hi=--6.

22(b.b,)5?I

8。百

ae2oae30ae10

Cv;1Vzo；酒;

q6-?c24-

将（bib2a）单位化，可得g=-=1,^:83即

1*5+

q0+q5+q3彳

e0

2310

京酒麻WI

yq1624-

令正交矩阵再一而而之

02士

1回方

利用正交变换x=Qy,将£（"孙七）_f=14y2;

化为标准形

-V油kl

(3)令f(04,毛)二14K'%2=k2'

1y3=0

纪2316

晒灰云16

2

*Q4-

5_3j10

0

W瓦［0

26岔

-3d

一'n

c».r

»cV15.•»c质"$-26ae-3d

二n

»c7.kr

c>2rn：,c

cn为任意常数）

>or

»crn12

cc

>e0e>

（22）（本题满分12分）

设X