2021年高考理科数学重难点04 解析几何（解析版）

重难点04解析几何

【命题趋势】

解析几何一向是高考数学中的计算量代名词，在高考中所占的比例一向是

2+1+1模式.即两道挑选，一道填空，一道解答题.高考中挑选部分，一道圆锥曲线相关

的简单概念以及简单性质，另外一道是圆锥曲线的性质会与直线、圆等联合考查一

道综合问题，一样难度谀中等.填空问题也是综合问题，难度中等.大题部分一样是以

椭圆抛物线性质为主，加之直线与圆的相关性子相联合，常见题型为定值、定点、

对应变量的取值范畴问题、面积问题等.双曲线一样不出此刻解答题中，一样出此刻

小题中.即温习解答题时也应是以椭圆、抛物线为主.本专题主要通过对高考中解析几何

的常识点的统计，整理了高考中常见的解析几何的题型进行具体的解析与总结,

通过本专题的学习，能够掌握高考中解析几何出题的脉略，从而能够对于高考中这一

重难点有一个对照具体的认知，对于解析几何的问题的做法能够有必然的懂得与应

用.

【满分本领】

定值问题：采纳逆推方式，先计算出成果.即一样会求直线过定点，大概是其他曲线过

定点.对于此类问题一样采纳特殊点求出两组直线，大概是曲线然后求出两组直线大概是

曲线的交点即是所要求的的定点.算出成果以后，再去写出一样情况下的步骤.

定值问题：一样也是采纳操纵成果写过程的形式.先求成果一样会也是采纳满足前提的

特殊点进行带入求值（最好是原点或是（1.0）此类的点）.所得答案即是要求的定

值.然后再操纵答案，写出一样情况下的过程即可.注：过程中对照复杂的解答过程可以不

求，因为已经知道答案，宜接往答案上凑即可.

关于取值范畴问题：一样也是采纳操纵成果写过程的形式.对于答案的求解，一样操纵

界限点进行求解，答案即是在界限点范畴内.知道答案以后再写出一样情况下的步骤对

照好写.一样情况下的步骤对于复杂的计算可以不算.

【考查题型】挑选，填空，解答题

【限时检测】(建议用时：35分钟)

一、单选题

一、单选题

1.(2021♦全国高三专题练习(理))直线x+y+2=0分别与X轴,y轴交于AB两点,

点尸在I3(X-2)2+/=2上，则△ABP面积的取值范畴是()

A.[2,6]B.[4,8]

C.[V2,3A/2JD.[2痣,30]

【答案解析】A

【考点解析】圆心(2,0)到直线的间隔下二3+丫^二？夜,

所以点尸到直线的间隔4G[72,372].

根据直线的方程可知A6两点的坐标分别为A(—2,0),仇0,—2),

所以k2夜,

所以"BP的面积S=g|A8|4="/|,

所以SG[2,6],

故选：A.

22

2.（2021•河北邯郸市•高三期末）设百，工分别为双曲线C:[-4=l（a>0力>0）的左、

ab~

右焦点，过点尸2的直线交双曲线的右支于A,8两点，若|你|=3忸鸟|,且

4

COSZF}AF2则双曲线的离心率为（）

A.gB.巫C.V2D.在

22

【答案解析】B

【考点解析】

设忸图=加，则IAg|=3m,|AFX|=2a+3/n,|8片I=2。+根，

8

由余弦定理得（2。+〃?）2=（4m）2+（la+3/n）2--x4m（2a4-3/n）,

解得=5九|AB\=4m,\BF}\=3mt

为直角三角形,

AA362c-\F}F2\-yf\Om,c-m,e---,

故选：B.

3.（2021•天津河北区•高三期末）已知双曲线C:a>0,Z?>0）的一

a2~b2~

条渐近线过点（3,4）,且双曲线的一个焦点与抛物线V=2（）x的焦点重合，则双曲线

的方程为（）

r2v2

BC.---匕=1

916-哥=143

【答案解析】B

【考点解析】因为双曲线C的渐近线^=±巳彳过点（3,4）,

322

所以双曲线C的渐近线为y二？一%,设双曲线的方程为工-匕=1,

416/9/

又因为双曲线的一个焦点与抛物线V=20%的焦点（5,0）重合，

22

所以c=5=J16r+%,解得f=l,所以双曲线的方程为^-^-=1.

故选：B

4.（2021•四川凉山彝族自治州•高三一模（理））抛物线C:y=o?在点（I,。）处的切

线方程为2》一丁-1=0,则C的焦点坐标为（）

A.（0,切B.（0,；）C,加D.G，0,

【答案解析】B

【考点解析】：y'=2分，所以>=32在点（l,a）处的切线斜率为2a,

切线2x-y-1=0的斜率为2,所以2a=2,a=l,抛物线方程为y=f,

C的焦点坐标为（0，!〕，

I4J

故选：B

5.（2021.全国高三专题练习（理））若4b,c是AA6c三个内角的对边，且

csinC=3asinA+3bsinB,则直线/：6一切+c=0被圆。：/+y2=i2所截得

的弦长为（）

A.476B.276

C.6D.5

【答案解析】C

［考点解析］由已知csinC=3asinA+3^sinB,

操纵正弦定理得：c2=3（a2+b2）

圆0:尤2+y2=]2的圆心为o（o,o）,半径为r=26,

圆心。到直线/的间隔dIdc

\ja2+h2y]a2+b2

所以直线/被圆。所截得的弦长为2,产=212一一二丁=2j匹与=6,

VQ+Z?

故选：C.

6.（2021•天津滨海新区•高三月考）已知抛物线。|：丁=2*（〃＞0）的焦点为尸，准

22

线与X轴的交点为E,线段EF被双曲线。2：亍-卓=1（。＞0力＞0）极点三等分，且两

曲线C，C2的交点连线过曲线G的焦点F，则双曲线G的离心率为（）

A5R3近日722

A•V2D.-----C•Ln）.------

232

【答案解析】D

【考点解析】抛物线V=2px的焦点为尸（5,0）,准线方程为x=—^,£（-^,0）,

\EF\=p,

22fi

因为线段Ef被双曲线C,:[-当•=1（。＞0/＞0）极点三等分，所以2。=已，即

a'b-3

p=6ay

因为两曲线G，。2的交点连线过曲线G的焦点尸，所以两个交点为（5,p）、

（与-p）,

2222

将（4,。）代入双曲线「一当=1得W=i,

2a2b24/h2

所以迎「一吗1=1,所以9一*=1,所以：=2,

4a之b2b2a22

故选：D

7.（2021•四川凉山彝族自治州•高三一模（理））设椭圆C:「+乙=1（。＞2）的左、

a24

右焦点分别为耳，F2,直线/：y=x+r交椭圆。于点A,B,若的周长

的最大值为12,贝ijc的离心率为（）

A.@B.好C.述D.3

3339

【答案解析】B

【考点解析】△片的周长等于++=A8+2a-A6+2。—8巴

=4a+AB-(AG+BF2),

因为AF2+BF2>AB当且仅当A,B,F2三点共线时等号成立，

所以4a+AB—(+BF])W4a+AB-AB=4a,

即的周长的最大为4a,所以4a=12,解得：a=3,

山椭圆的方程可得：Z/=4,所以°=,万一廿=百二4=石,

所以。的离心率为e=-=—,

a3

故选：B

8.(2021.全国高三专题练习(理))设抛物线y2=2px(/?>0)的焦点为F,准线

为I,过焦点的直线分别交抛物线于A,B两点，分别过A,B作/的垂线，垂足为C,D.

若|AF|=3怛同，且三角形COE的面积为6则。的值为()

A2有口省「遥n276

3323

【答案解析】C

【考点解析】过点B作〃/交直线AC于点M,交X轴于点N,

设点A（玉,y）、B（x2,y2）,

由叫得

|AF|=3|x,+^=3x2+^

即Xi-3巧=P.......①,

又因为NF//AM.

所以|册|=；(%-/)，

所以|。目=|。/7|+加/|=々+；(%一々)=5……②，

由①②可解得X=—,x,=—

2-6

在Rt^ABM'P,|AB|=XI+x2+p=-p,

\AM\=xx-x2^p,

4百

所以忸M=----p

3

所以SACOF=｝华~P，P=6

解得p=旦或p=_旦（舍去）

22

故选：C

二、填空题

9.（2021•江苏泰州市•高三期末）在平面直角坐标系X。），中,已知双曲线「：/一上_=1

7

的两个焦点分别为F2,觉得尸2圆心，片居长为半径的圆与双曲线「的一

\OM\

则局的值为

条渐近线交于M,N两点,若|0照引0必

3

【答案解析】一

2

【考点解析】

求出双曲线的两个焦点坐标和渐近线方程，再求圆的方程与渐近线方程联立可得M,

\OM\

N两点的横坐标，由上T即为横坐标的绝对值的比可得答案.

ON

【详解】

由已知得/=1/=7,=8,2c=4&,6(-2©0),g(2丘0),

取双曲线的一条渐近线y=J7x,所以圆的方程为（X-2A/2）2+/=32,

y=^x

整理得2x2-A/2%-6=0,解得x=—^—,x=-V2,

1-2及丁+产=32MN

3五

幽*二=3

|ON|XN412

)=一缶

取双曲线的另一条渐近线y=-J7x,整理得

(X—2何+y2=32

L\OM\3

2九2一及无一6=0与上同，综上网=].

3

故答案为：

2

10.（2021•河南高三其他模拟（理））已知产是椭圆CW+^=l（Q>b>0）的左

焦点，4B是桶圆C过尸的弦，4B的垂直平分线交x轴于点P.若肝=2而，且P为

OF的中点，则椭圆C的离心率为.

【答案解析】苧

【试题解答】

【考点解析】

如图，设椭圆的右焦点为G,毗邻4G,8G,过点。作OD〃PH,交48于D,则点“为

DF中点.

设出尸|=2m,：.\AF\=4m,\AH\=3m,\AD\=2m,\DH\=\HF\=m.

所以点。是4F中点，

因为\0F\=|0G|,

所以4G〃0D".NB4G=今

由椭圆的定义得\AG\=2a-4m,\BG\=2a-2m.

在直角△HFG中，(4m)2+(2a—4m)2=4c2,

22

所以2m2—©m=£———(1)

44

在直角△48G中，(6m)2+(2a—6m)2=(2a—2m)2

所以m=-a.

6

把m=代入(1)得5a2=9。2,.・./=e=亨.

故答案为：y.

22

H.(2021•浙江高三期中)若椭圆「+4=1(。>。>0)与双曲线

ab

22

YV,

—~^=l(at>0,4>0)有一样的焦点耳，工，点P是两条曲线的一个交点,

4彳

7T

椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则

^FXPF2=~,402*2=2,

e；+e；=__________

【答案解析】8

【考点解析】不妨设P在第一象限，

再设尸Q=s,尸产2=，，由椭圆的定义可得s+t=2af

由双曲线的定义可得s-t=2ah

解得s=a+a\yt—a-a\y

,71

由NBPB=一,

2

在三角形尸,巳中，操纵勾股定理可得

4c2=s2+f2=（Q+q）2+（〃-qy=2Q2+2q2.

〃22

，4=7T+TT，

e\e?

化简-7H----2=~^~~2—>=2，又由6|02=2,

eje2eie2

所以q2+622=2^242=8.

故答案为：8.

22

12.（2021•北京海淀区•人大附中高三期中）椭圆C:「+4=1（。〉人>0）的左、右

ab-

焦点分别为E”尸2，点P在椭圆上且同时满足：

①是等腰三角形；

②AKKP是钝角三角形；

③线段耳鸟为△耳居尸的腰：

④椭圆。上恰好有4个差别的点P.

则椭圆C的离心率的取值范畴是.

【答案解析】

【考点解析】如图，根据椭圆的对称性知，点P及关于x轴，y轴，原点对称的其它

3点，即为椭圆C满足前提的4个差别的点.

根据题意可知是以片居，耳尸为两腰的等腰三角形，故£P=々E=2c,

即点P在觉得片圆心，片名为半径的圆上，

由题知觉得耳圆心，2c为半径的圆与椭圆有两个交点，即可存在两个满足前提的等

腰AfJgP,

此时必有-P>A6，即2c>a—c,即a<3c,所以离心率e>；；

又为钝角，则cos/P£B<0,操纵余弦定理知|6P|2+IEE|2<|gP『，

即(2c)2+(2c)2<(2tz-2c)2,

2

整理得°2+2这一/<0,两边同除以/得，e+2e-l<0,解得：

0<e<y/2-l

综上，可知椭圆C的离心率的取值范畴是(<e<近一1

故答案为：

三、解答题

13.（2021.四川成都市.高三一模（理））已知椭圆C:0+2r=1（。＞人＞0）的离心率

为—,且直线2+2=1与圆f+y2=2相切.

2ab

（1）求椭圆。的方程；

（2）设直线/与椭圆C订交于差别的两点A,B,M为线段A3的中点，。为

坐标原点，射线OM与椭圆。订交于点P,且。点在觉得A3直径的圆上•记

S.

^AOM,ZXBOP的面积分别为52,求的取值范畴.

【答案解析】（1）—+^-=1;（2）g,手.

6333

【考点解析】：（1）•••椭圆的离心率为—,（。为半焦距）.

2a2

•.•直线±+2=1与圆/+y2=2相切,

ab

又c2+b2=a26f2=6.b2=3-

22

...椭圆C的方程为三+匕=1.

63

,3_S/AOM_

（2）：M为线段AB的中点,

S]S&BOP

（i）当直线/的斜率不存在时,

由。及椭圆的对称性，不妨设。4所在直线的方程为丁=得€=2.

则右=2,4=6,捺溜邛

（ii）当直线/的斜率存在时，设直线/:y=丘+，九（/?1X0）,

A（X，X）,3（8%）.

y=kx+m

由«%2/消去得（2^+1）d+4knr+2n?-6=0.

—+—

163

.\A=l6k2m2-8（2k2+l）（利2—3）=8（6左2—加2+3）＞（）即6女2一w2+3>0.

4km2m2-6

i+Z=-诉，中2=不万

•・•点。在觉得A3直径的圆上，・・・西・砺=0，即玉工2+),1%=。・

22

/.x}x2+x%=（1+攵）玉工2+初2（%+x2）+m=0.

/.2\2"厂—6.（4km

J（1+Z.）----Fkjv\—+7772=0.

2左2十1

化简，得”=2r+2.经检验满足△>()成立.

•••线段刖的中.点一味(E2kFmTmT

,uI〃z|V6

当左=0时,m~=2•此时—==—

52V33

当上。0时，射线OM所在的直线方程为y=--x.

2k

1

y----x

,2k、*…汨212k223

由《22，消去九得Xp=-z—,yP-―i—-

Vy2P2k2+i2公+1

63

14.（2021.上海浦东新区.高三一模）已知椭圆G：5+y2=l,耳、尸2为G的左、

右焦点.

（1）求椭圆G的焦距；

（2）点2（夜，*）为椭圆G一点，与。。平行的直线/与椭圆G交于两点A、B,

若△Q4B面积为1,求直线/的方程；

（3）已知椭圆G与双曲线G：x2-丁=1在第一象限的交点为加（为，加），椭圆

G和双曲线G上满足18以与|的所有点a,y）组成曲线c.若点N是曲线。上一动

点，求丽•通'的取值范畴.

【答案解析】（1）2/；（2）y=Jx±l；（3）-^+00

【考点解析】⑴由椭圆C的方程知：C7af=3,即焦距为2c=26.

（2）设/:y=gx+〃?，代入/+4/=4得d+2尔+2机2-2=0,

2

由△=4加2—8（s2—1）=8—4加2>0得|m|<V2,x,+%,=-2m,xtx2-2m-2,

所以AB=Jl+公.|玉_々|=孚x2yl2-m2=J10—5根?,

〃=回1._____

所以。到直线/的间隔后，由SoA8=±dTABH，〃|J2-加2=1,得加=±1

—Z

2

所以/:y=；x士1

,_2>/io

X2+4/=4x“=^-

(3)由｛，:解得上,设N(x,y)是曲线C上一点，又

x--y=\V15

)"=~5~

^(-73,0),6(6,0),丽=(-6-x,-y),丽=(G-

当N在曲线V+4y2=4（|x以如|）上时，NR•丽=l-3y2,

当尸平时，（丽.丽匕=—：当尸0时，（西•瓯）皿*=1，

所以NF-NF?G

2

当N在曲线/一y2=](|x闫如I)上时，NF}-NF\=2y-2；

当y=时，(NF[•NF?)=--,NF「NE1G--^,+oo|；

"5''min5\_5J

4

综上，NFt-NF2e—,+oo

15.（2021•湖南株洲市•高三一模）在平面直角坐标系中，己知圆心为点Q的动圆恒过

点尸（1,。），且与直线x=T相切，设动圆的圆心Q的轨迹为曲线

（I）求曲线「的方程;

（II）过点尸的两条直线4、4与曲线「订交于A、B、C、。四点，且M、N分别

为AB、。。的中点.设4与4的斜率依次为占、Q若勺+融=-1,求证：直线

MN恒过定点.

【答案解析】（I）V=4x；（II）证明见解析.

【考点解析】（1）由题意，设Q（x,y）,

因为圆心为点。的动圆恒过点/（1,0）,且与直线x=-l相切，

可得|x+l|=J(xT)2+y2,化简得y2=4%.

(II)设4,〈的方程分别为(=£(xT),y=e(x-l).

联立方程组；"[「I)，整理得婷/_(2好+4卜+短=0,

2Z：+4tk；+22](V+22、

所以％+%2=.,2，则”’7L，丁■同理％

k；(KkJ<k2k2)

,kx

所以kMN=蜡+2状+2=E'

k：k；

由匕+左2=-1,可得右的=4(1+匕)，

7(1+2、

所以直线MN的方程为y一厂=勺。+勺)x—一七一

整理得y+2=Z4l+K)(x—1),所以直线MN恒过定点(1,一2).

16.(2021•浙江台州市•台州一中高三期中)如图，已知点尸(4,4)在抛物线

M：V=2px(p>0)上，过点尸作三条直线PA,PB,PC,与抛物线M分别交于点

A,B,C,