2022年四川省高考数学诊断性试卷（文科）（2月份）（学生版+解析版）

2022年四川省高考数学诊断性试卷（文科）（2月份）

一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.（5分）己知集合4={川-3<x<4},8={M/+5x>0}.则ACB=（）

A.（-5,4）B.（0,4）C.（-3,0）D.（-5,0）

2.（5分）复数z满足（1+i）z=2i,则z在复平面上对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.（5分）青少年视力是社会普遍关心的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用小数记

录法和五分记录法记录视力数据.小数记录法的数据E和五分记录法的数据F满足E=

10尸5,已知某同学视力的小数记录法记录的数据为0.9,则其视力的五分记录法的数据

约为（）（磔=0.4771）

A.4.6B.4.7C.4.8D.4.9

C.

y

-i

D.

5.（5分）有下列三个命题：

①分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关；

②散点图是判断两个变量是否相关的一种重要方法和手段；

③在频率分布直方图中，各小长方形的面积之和为1.

其中为真命题的是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

1

6.（5分）已知等比数列｛板｝满足Qi=且〃2〃4=4（〃3-1）,则〃5=（）

A.8B.16C.32D.64

x—y+2>0

7.（5分）设Ky满足k+yWO，则z=x-2），的最小值是（）

y>-1

1

A.-B.1C.2D.3

2

8.（5分）已知非零向量房1满足百向=2值|，且％1区一1）,则；与力的夹角为（）

71n7157r

A.-B.-C.—D.—

6436

9.（5分）已知双曲线C：<一《=1的离心率为2,则双曲线C与双曲线E：4一［=1有

47711Z4-

（）

A.相等的离心率B.相同的焦点

C.相等的焦距D.不同的渐近线

10.（5分）设S,为等差数列｛近｝的前H项和，若3a5=7au,且ai>0.则使q<0的”的

最小值为（）

A.30B.31C.32D.33

11.（5分）已知函数/'（X）=2sin&x+*）-1,下列结论错误的是（）

A.fCx）的值域为［-3,1］

B./（%）的图象关于直线％=-*对称

C.f（x）的图象关于点咛，0）对称

D./（x）的图象可由函数'=25）。+分-1图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为

原来的2倍得到

12.（5分）设函数/（X）的定义域为R,且/（X-1）=/（x）-1,当疣［-1,0）时，f

（X）=7（X+1）+1,若存在XW伙，+8）时，使/（%）=停，则左的最大值为（）

45

A.1B.2C.—D.一

33

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）命题p：3.voGR,xo3-xo2+l^O,则［〃是.

14.（5分）函数y=J-Zg（3-4x）的定义域为.

15.（5分）某儿何体三视图如图所示，则在该几何体内的球的最大体积为.

16.（5分）已知抛物线C：/=2py（p>0）的焦点为尸（0,1）,点尸关于直线2x-4y-1

=0的对称点为M,过点F的直线/与抛物线C交于P,Q两点，当NPMQ=90°时，

直线PQ的斜率为.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考

题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：

共60分.

17.（12分）已知分别是△ABC的内角4,8,C的对边,b—孝c=acosC,AB-AC=4.

（1）求A；

（2）求△ABC的面积.

18.（12分）某汽车品牌4S店为了解车主对其售后服务的满意度做了一次随机调查，按40

岁以下和40岁以上（含40岁）两个年龄段各抽取了〃，个车主，调查显示40岁以下车主

34

满意的占其车主数的g，40岁以上车主满意的占其车主数的g,且经以下2X2列联表计

算可得K1的观测值H62.

4()岁以下车主数40岁以上车主数合计

满意

不满意

合计

(1)根据已知条件，求用的值，完成上述表格并判断是否有95%的把握认为车主对该

4s店的售后服务评价与车主年龄有关？

(2)为了进一步征集车主对4s店售后服务的意见，4s店又采用分层抽样的方法从上述

表示不满意的车主中抽取了6名，再从这6名中抽取3人进行面对面交流，求事件“至

多抽到两名40岁以下车主”的概率.

附表

P(片)ko)0.100.050.0250.0100.001

%。2.7063.8415.0246.63510.828

2

附.2_____"ad-be)_______

"J-AK=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)-

19.(12分)如图，在三棱柱ABC-AIBICI中，AC=A8=AAi,ZAiAC=60°,NBAC=

90°,平面AAiCC_L平面ABC.

(1)求证：BC1±C41；

(2)若M是线段4。的中点，N是线段8。上一点，且〃平面ABBIAI,求四棱锥

N与三棱柱ABC-A\B\C\的体积之比.

20.(12分)已知函数/(%)=”-+cosx.g(x)=f(x)+sinx.

(1)求g(x)在点(1,g(D)处的切线方程;

(2)求证：当龙W(n,+8)时，，f(x)有且仅有1个零点.

21.(12分)已知椭圆£•圣+，=l(a>b>0)的离心率e=*,且过点C(l,|).

(1)求椭圆E的方程；

(2)设C点关于)，轴的对称点为。，点M在直线0。上，过点”的直线/与E交于A、

8两点，线段48的中点为N,若|AB|=2|CN|,求点M的坐标.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的

第一题计分.［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)

22.(10分)在平面直角坐标系xO)，中，曲线C1的参数方程为“为参数),

以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为p=2

(cos9+sin9).

(1)求。的极坐标方程和C2的直角坐标方程；

(2)设Ci与C2交于P,Q两点，求|OP|」OQ|的值.

［选修4-5：不等式选讲］(10分)

1

23.已知函数/'(X)=|x-a|+|x+2|.

(1)若a=l,求不等式/(x)W4的解集；

(2)若存在m,使得f(刈)W2成立，求a的取值范围.

2022年四川省高考数学诊断性试卷（文科）（2月份）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.（5分）已知集合A={x|-3<x<4},8={x|/+5x>0}.则AD8=（）

A.（-5,4）B.（0,4）C.（-3,0）D.（-5,0）

【解答】解：集合A={x|-3<x<4},

B={xpc2+5x>0}={小<-5或x>0},

，AnB={x[0<x<4}.

故选：B.

2.（5分）复数z满足（1+i）z=2i,则z在复平面上对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解答】解：；复数z满足（1+i）z=2i,.•"=金=行染鼻=1+，，它在复平面内对

应点的坐标为（1,1）,

故选：A.

3.（5分）青少年视力是社会普遍关心的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用小数记

录法和五分记录法记录视力数据.小数记录法的数据E和五分记录法的数据F满足E=

10尸5,已知某同学视力的小数记录法记录的数据为0.9,则其视力的五分记录法的数据

约为（）（/g3=0.477l）

A.4.6B.4.7C.4.8D.4.9

【解答】解：由题意可知E=l（）F-5,E=09,

.•.0.9=10/5,

：.F-5=lg0.9=lg9-1=2/g3-1,

，F=2/g3+4=4.9,

即其视力的五分记录法的数据约为4.9,

故选：D.

4.（5分）函数y=吗事义的大致图象是（）

有/（-X）=-/（尤），则/（尤）为奇函数，排除CD,

/（1）=<o,排除&

2+1

故选：A.

5.（5分）有下列三个命题：

①分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关；

②散点图是判断两个变量是否相关的一种重要方法和手段；

③在频率分布直方图中，各小长方形的面积之和为1.

其中为真命题的是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【解答】解：由分层抽样的性质可得，每个个体被抽到的可能性与层数及分层无关，故

命题①为假，

由散点图的定义可知，它是判断两个变量是否相关的一种重要方法和手段，故命题②为

真，

在频率分布直方图中，各小长方形的面积之和为1,故命题③为真.

故选：C.

1

6.(5分)已知等比数列｛d｝满足=2，且。244=4(〃3-1),则45=()

A.8B.16C.32D.64

【解答】解：等比数列｛“”｝满足由可，且a2a4=4(〃3-1),

111

则5XqX.x/=4(-xq2-1),

解得/=4,

_X42=8,

故选：A.

x—y+2N0

7.(5分)设x,y满足卜+y<0，则z=x-2y的最小值是()

y>-1

1

A.-B.1C.2D.3

2

3.

故选：D.

8.(5分)已知非零向量工b满足次面=2网，且b_l.G-b),则蔡与b的夹角为()

TC7TTT57F

A•—B•-C.-D.—

6436

【解答】解：非零向量二嬴足遍面=2山，且。G—1),

:・b•(a—b)=a-b—b2=|a|e|6|cos<a,b>—|h|2=0,

.V5T2TT3T2.TT行

|a|cos<a,b>=/a|,cos<a,b>=亍，

/.<a,b>6[0,TI],

—n

贝！JQ与b的夹角为二.

6

故选：A.

9.(5分)已知双曲线C：[一4=1的离心率为2,则双曲线C与双曲线E：若一[=1有

4TH,1Z4

()

A.相等的离心率B.相同的焦点

C.相等的焦距D.不同的渐近线

【解答】解：双曲线C；1一哈=1的离心率为2,

可得，”>0,J1+与=2,解得机=12,

x2y2一

则双曲线C：一—乙=1的离心率为2,焦点为(-4,0),(4,0),焦距为8,渐近线

412

方程为y=±倔:；

222V3

双曲线E：为v一5r=1的焦点为(0,4),(0,-4),焦距为8,离心率为一，渐近线

方程为y=±V5x；

故选：C.

10.(5分)设品为等差数列｛板｝的前〃项和，若3〃5=7mi,且m>0.则使S〃V0的〃的

最小值为()

A.30B.31C.32D.33

【解答】解：根据题意，设等差数列他〃｝的公差为小

若3a5=7mi,且〃i>0,则3(〃i+4d)=7(m+10d),

变形可得：4m+58d=0,则ci\=—^d,

S.=wi+几(几=一孕〃d+几(几^1)-=~(/-30/?),

9Q

ci\——万d>0,贝！Id<0,

若S〃V0,必有〃2一30〃>0,又由〃WN+,则〃>30,故使SV0的〃的最小值为31；

故选：B.

11.(5分)已知函数f(x)=2s加8%+Q-1,下列结论错误的是()

A./(%)的值域为[-3,1]

B./(%)的图象关于直线>=—乎对称

C./(x)的图象关于点(空，0)对称

D./(x)的图象可由函数、=25讥(％+工)-1图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为

原来的2倍得到

【解答】解：A.当sin(1t+j)=1时，/(x)最大，最大为2-1=1,

当sin(-x+J)=-1时，/(%)最小，最小为-2-1=-3,即f(x)的值域为L3,1],

故A正确，

B.当％=—学时，$+*另x(—邪+看=—5,此时/(尤)取得最小值，即/(x)

的图象关于直线％=-即对称，故B正确，

C.当x=冬时，-.r+g=2*•+工=巾此时f(X)=-1>即/(X)的图象关于(7，

-1)对称，故C错误，

D.函数y=2sin(x+1)-1图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到

1

y=2sin(-x+1n)-1,此时可以得到/(x),

故Z)正确，

故选：C.

12.(5分)设函数f(x)的定义域为R,且f(x-I)=f(x)-1,当x&[-\,0)时，f

(x)--x(JC+1)+1,若存在尤伏，+°°)时，使/'(%)=等，则％的最大值为()

45

A.1B.2C.一D.一

33

【解答】解：当xE［-1,0)时，/(x)=-x(尤+1)+1,

由/(x-l)=/(x)-1得/(x)=/(1-1)+1,

即从工1-1,0)开始，/(x)每右移1个单位，图像就会向上移1个单位,

1CC

当x6[-1,0)时，f(x)——%(%+1)+1=—x2—无+1=—Q+2)2+4工4,

529529

又一+IV—，一+2>—,

4949

29

故当函数f(x)的x由小到大，y第一次取到町时，xe[l,2),

9

又当xE[\,2)时，/(x)=-(x-2)(x-1)+3=-f+3x+l,

令一产+3%+1=等，解得％=擀或%=争，

9QC

若存在xe伙,+8)时,使/(%)=等，则必有二日日,

所以k的最大值为宗

故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(5分)命题p：3AOGR,xo3-xo2+l^O)则~是V.iWR,f-J+1.

32

【解答】解：♦.•命题p：axoeR,x0-x0+1<0是一个特称命题

32

二命题p：3JC0GR,XO-^o+1<0,的否定是“VxeR,/-7+1>0”

故答案为：VxeR,?-x2+l>0

14.(5分)函数y=J-Zg(3-4x)的定义域为［，.

【解答】解：由函数y=J-/g(3—4%),可得/g(3-4A:)WO=/gl,

13

A0<3-4x^1,<x<7，

24

13

故答案为：［5,-).

15.(5分)某儿何体三视图如图所示，则在该几何体内的球的最大体积为二^

【解答】解：由三视图还原原几何体，可知该几何体为圆锥,

设主视图的内切圆半径为r,0C=],OA=2y[2,AC=Jl2+(2V2)2=3,

x2x2V2=-x(2+3+3)Xr,可得r=孝.

该几何体内的球的最大体积g打X哈3=孝兀.

故答案为：~~Tt-

3

.(5分)已知抛物线C：，=2py(p>0)的焦点为尸(0,1),点尸关于直线2r-4y-1

=0的对称点为过点F的直线/与抛物线C交于P,。两点，当/PMQ=90°时，

直线PQ的斜率为1.

【解答】解：由题意知抛物线的焦点F为(0,1),，p=2,

二抛物线方程为7=4y,

设F(0,1)关于直线2x-4y-1=0的对称点为M(刈，和)，

则直线MF与直线2x-4y-1=0垂直，

••kMF-k—1x=-1,得yo=-2xo+1,•①

x0乙

•.•线段M尸和中点(殛，包匚)在直线2x-4y-\=0,

22

.•.2x与—4x—1=0,即％o-2yo=3,•②

由①②，解得刈=1,yo=-1,(1,-1),

设直线/的方程为y=Zix+l,・・・M(1,-1),

则yi=hxi+l,y2=kixi+\,

《2之;+1，消去A得W-4ka-4=0,

A=(-4/Q)2+16〉0,XI+R2=4也x\x2=-4,

,・，MP_LMQ,：.MP-MQ=0,

•；MP=(xi-1,yi+1),MQ=(A2-1,y2+l),

->T

.\MP-MQ=(xi-1,yi+l)・(％2-l,”+l)=C\+k\2)x\x2+C2ki-1)(xi+x2)+5

=-4(1+&/2)+4ki(2fa-1)+5=4k『-4&/+l=0,

解得ki=i.

故答案为：

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考

题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：

共60分.

17.(12分)已知a,6,c分别是△ABC的内角A,8,C的对边,b-孝c=acosC,AB-AC=4.

(1)求4；

(2)求△ABC的面积.

【解答】(1)解：由b—¥©=acosC可得sinB—苧sinC=sinAcosC,

即sin(A+C)-孝sinC=sinAcosC,即cosZsinC=苧sinC,

即cos4=而0<A<n,所以4=5.

(2)由48-AC=4可得bccosA=4,

由(1)4=$则6c=4混，所以Su8c=}bcsin/l=2.

18.（12分）某汽车品牌4s店为了解车主对其售后服务的满意度做了一次随机调查，按40

岁以下和40岁以上（含40岁）两个年龄段各抽取了m个车主，调查显示40岁以下车主

34

满意的占其车主数的g,40岁以上车主满意的占其车主数的g,且经以下2X2列联表计

算可得K1的观测值2^4.762.

40岁以下车主数40岁以上车主数合计

满意

不满意

合计

（1）根据已知条件，求，〃的值，完成上述表格并判断是否有95%的把握认为车主对该

4s店的售后服务评价与车主年龄有关？

（2）为了进一步征集车主对4s店售后服务的意见，4S店又采用分层抽样的方法从上述

表示不满意的车主中抽取了6名，再从这6名中抽取3人进行面对面交流，求事件“至

多抽到两名40岁以下车主”的概率.

附表

P(W>ko)0.100.050.0250.0100.001

to2.7063.8415.0246.63510.828

附：*=（计4

+d)(a+c)(b+d)。

2

由题设K2=2；(西］之一否?浓)=4762,得

【解答】解：（1）/n=50

^mx^mxmxm

完成2X2列联表女口下：

40岁以下车主数40岁以上车主数合计

满意304070

不满意201030

合计5050100

而4.762>3.841,

所以有95%的把握认为车主对该4s店的售后服务评价与车主年龄有关.

（2）由（1）知，表示不满意的车主40岁以下有20人，40岁以上有10人,

按分层抽样抽取6人，应从40岁以下的20人中抽取20x/=4人,

从40岁以上的10人中抽取10X/=2人，

设A表示事件“至少抽到两名40岁以下车主”，

则PQ1)=或6手6=4

Cj5

19.(12分)如图，在三棱柱ABC-Ai81cl中，AC=AB^AA\,ZAiAC=60°,ZBAC=

90°,平面A4CiC_L平面ABC.

(1)求证：BCi±CAi；

(2)若M是线段AiCi的中点，N是线段8。上一点，且MN〃平面A281A1,求四棱锥

N-ABBiAi与三棱柱ABC-A\B\C\的体积之比.

【解答】解：(1)证明：连接A。与A1C交于点£>.

由已知平面4Ale1C_L平面ABC,平面4AleiCC平面4BC=4C,BArAC,

又BAu平面ABC,平面A41cle.

而C4iu平面A4C1C,.•.8ALCA1.又由已知四边形AAiCiC为菱形，

：.CA\LAC\,则C4i_L平面ABCj.又BCiu平面A8。，故8C」C4i.

(2)〃平面ABBiAi,MNu面MC1B,平面ABB14C面A1C1B=A1B,

.•.MN〃艮是线段4cl的中点，，N是线段B。的中点，

.1121

=X=ABCABC，

••^N-ABBlA1=2%I-4BBIA232^~ill

VV3

ABC-A1B1C1ABC-A1B1C1

・•・四棱锥N・AB8|41与三棱柱A8C-4B1C1的体积之比为I：3.

20.(12分)已知函数/(%)=竽+cosx.g(x)=f(x)+sinx.

(1)求g(x)在点(1,g(D)处的切线方程；

(2)求证：当/£(11,+8)时，/(x)有且仅有1个零点.

【解答】解：(1)由f(x)=竽+cos%,知广(x)=/一sinx,

1111

g(x)=/z(x)+sinx=笠，g(l)=%g(x)=-不，g'(1)=一m

•'•g(x)在点(1,｝处的切线方程为y—(x—1),

BPx+2y-2=0；

1

证明：(2)记(P(x)=f(X),则乎7(X)=-^2-COSX,

当XW(TT,211)时，f(X)>0,f(X)在(TT,2ir)上单调递增，

又/"(兀)=一1+等V0,/(2兀)=1+竽>0,则(IT,2n),使得f(xo)=0,

当xe(2zr,为时，。(x)<0,f(x)在(2w,竽)上单调递减，

又/'(苧)=看一1<0,/'(2兀)=白>0，则三戊€(2兀，竽)，使得/(a)=0,

f(x)在(2TT,a)上递增，在(a,竽)上递减，故当x€(2兀，竽)时，/(x)>0,

r.57r

当XW(号，+8)时，/(%)>-^-+COSX>1+COSX>0,

综上，/(X)有且仅有1个零点.

21.(12分)已知椭圆E：各提=l(a>b>0)的离心率e=4，且过点C(L|).

(1)求椭圆E的方程；

(2)设C点关于y轴的对称点为D,点M在直线。。上，过点〃的直线/与E交于A、

B两点，线段4B的中点为N,若|AB|=2|CN|,求点M的坐标.

I.2[^23

【解答】解：(1)由已知e=11-^2=2»得装=1，①

13

又W+777=1，②

a24b2

由①②解得。2=4,/=3,

22

故椭圆E的方程为一x+±yi.

(2)由题设及|AB|=2|CW]得AC_LBC.

设过点M的直线/的方程为y=fcr+，〃（斜率存在），

x2v2

将其代入一+—=1并整理得（3+4必）/+8h〃x+4,〃2-12=0,

43

当4=（8①?）2-4（3+4庐）（4w2-12）>0时，

8km4m2—12

设A(xi,y\)B(X2,"),/.x-\-x=—n,Xi%7=7-，

fr23+4-3+4k‘

继而可得力+丫2=kg+x2)+2m=-6m'

3+4/c

2

yry2—(依i+m)(kx2+m)=kxrx2+kmg+x2)+环=———^

3+4/c

—q—q

又C\4=(%i—If%―2)，CB=(%2—1，%一))，

TT33

CACB=(Xi-l)(x2-1)+(乃一1)(y2~

22

,,、，3,,、，137m-12/c+8/cm-9m-12,13n

=xrx2-(xx+x2)+y^2-7(71+y2)+T=---------~2--------+丁=°，

上看3+4fc-

Q

整理得1+7m24-8km—9m—^=0,(*)

设M(3—]t)，将其代入得m=-行—

又将zn=-kt—|t代入(*)式整理得：

Q

(712—8t+1)1+(21t2—3t)fc+4(7/