考点02 一元二次方程的6大解法-原卷版

考点02一元二次方程的6大解法1，直接开平方法的方法如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=,x2=.直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。2，配方法的用法1、配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开；2、把常数项移到等号的右边；3、方程两边都除以二次项系数；4、方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；5、若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。3，公式法的用法一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为x=，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。公式法解一元二次方程的具体步骤：方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值确定公式中a,b,c的值，注意符号；求出b2-4ac的值；若b2-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，则方程无实数根。4，因式分解法的用法1.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.特别说明：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式；（4）解一元二次方程时如果能用因式分解法进行解题，它是首选。5，换元法的用法1、解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理.2、我们常用的是整体换元法,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程,从而达到降次的目的.,6，十字相乘法的用法十字相乘法，形如x²+(a+b)x+ab=0的一元二次方程可变形为(x+a)(x+b)=0.例如x²+5x+6=0解：(x+2)(x+3)=0,解得x1=-2,x2=-3.用十字相乘法解一元二次方程X2x3步骤：①因式分解竖直写；3x+2x=5x②交叉相乘验中项；(x+2)(x+3)=0③横向写出两因式。考点1直接开平方法考点2配方法考点3公式法考点4因式分解法考点5换元法考点6十字相乘法考点1直接开平方法1．（2023春·海南海口·八年级海师附中校考期末）解方程(1)(2)2．（2023秋·全国·九年级专题练习）解方程：．3．（2023秋·全国·九年级专题练习）解方程：(1)；(2)4．（2023秋·江苏·九年级专题练习）解方程．考点2配方法5．（2023春·安徽蚌埠·八年级统考阶段练习）用配方法解方程：．6．（2023秋·全国·九年级专题练习）解方程：（配方法）．7．（2023秋·全国·九年级专题练习）解方程：（配方法）．8．（2023春·山东淄博·八年级统考期中）配方法解方程．考点3公式法9．（2021秋·广东深圳·九年级深圳市高级中学校联考开学考试）10．（2023春·广西梧州·八年级统考期末）解方程：11．（2019秋·广东中山·九年级校考开学考试）用公式法解一元二次方程：．12．（2023春·安徽合肥·八年级统考期末）用公式法解方程：．考点4因式分解法13．（2023春·安徽合肥·八年级统考期末）解方程：．14．（2022秋·湖南邵阳·九年级校联考期中）解下列方程：(1)；(2)．15．（2023春·安徽亳州·八年级校考期中）解方程：(1)；(2)．16．（2023春·安徽六安·八年级统考期中）解方程：．考点5换元法17．（2023·全国·九年级假期作业）已知，求的值．18．（2023·全国·九年级假期作业）阅读下面的材料：解方程这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，则，∴原方程可化为，解得，，当时，，，当时，，．∴原方程有四个根是，，，．以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解答下列问题：(1)解方程：；(2)已知实数，满足，试求的值．19．（2023春·全国·八年级专题练习）解方程：(1)配方法：；(2)．20．（2023·青海·统考一模）提出问题为解方程，我们可以将视为一个整体，然后可设，则，于是原方程可转化为，解此方程，得，．当时，，，∴；当时，，，∴．∴原方程的解为，，，．以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想．解决问题（1）运用上述换元法解方程．延伸拓展（2）已知实数m，n满足，求的值．考点6十字相乘法21．（2023春