专题5 角平分线四类常见辅助线的作法（原卷版）

专题5角平分线四类常见辅助线的作法（原卷版）角平分线四大添加辅助线的方式类型一过角平分线上的点向角的一边作垂线段典例1（2023春•普宁市校级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，且DE⊥AB，∠B＝50°，∠C＝60°．（1）求∠ADC的度数．（2）若DE＝5，点F是AC上的动点，求DF的最小值．针对训练1．（2022春•二七区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，若AB＝20，△ABD的面积为60，则CD长（）A．12 B．10 C．6 D．42．（2023•雁塔区校级开学）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝16，AD是△ABC的一条角平分线．若CD＝5，求△ABD的面积．3．（2023•惠州二模）如图，CB＝CD，∠D+∠ABC＝180°，CE⊥AD于E．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若AE＝10，DE＝4，求AB的长．4．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB于点E，并且AE=12（AB+AD），求∠ABC+∠5．（2023春•市北区校级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△EFD的面积分别为50和4.5，则△AED的面积为41．类型二过角平分线上的点向角的两边作垂线段典例2（2023春•城关区校级期末）已知：在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠BDC的度数．（2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝1，AC＝4，求△ADC的面积．针对训练1．（2023•河曲县一模）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（）A．40° B．45° C．50° D．60°2．如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B+∠D＝180°，求证：BC＝CD．3．（2023春•石阡县期中）如图，在△ABC中，∠ACB，∠ABC的平分线l1，l2相交于点O．求证点O在∠BAC的平分线上；4．如图，在△ABD和△ACE中，∠BAD＝∠CAE＝90°，AD＝AB，AC＝AE．（1）求证：△ACD≌△AEB；（2）试猜想：∠AFD和∠AFE的大小关系，试说明理由．

5．如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA，OB相交于M，N两点，请猜想PM与PN的数量关系并说明理由．6．已知，如图，点B、C分别在射线OA、OD上，AB＝CD，△PAB的面积等于△PCD的面积求证：OP平分∠AOD．类型三把垂直于角平分线的线段延长与角的另一边相交典例3（2023秋•固始县期末）已知如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE，求证CE=12针对训练1．（2021秋•惠山区期末）如图，已知△ABC的面积为12，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则△ADC的面积是（）A．10 B．8 C．6 D．4

2．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B、D在y轴上，OA＝OB，点D的坐标为（0，4），过点B作BC⊥AD，交AD的延长线于点C，且2BC＝AD．（1）求BC的延长线与x轴的交点M的坐标；（2）求点D到AB的距离．类型四借助角平分线的对称性构造全等（截长补短）典例4已知如图，在△ABC中，∠B＝60°，AD、CE是△ABC的角平分线，并且它们交于点O，（1）求：∠AOC的度数；（2）求证：AC＝AE+CD．针对训练1．（2019秋•肥东县期末）在△ABC中，AD为△ABC的角平分线．（1）如图1，∠C＝90°，∠B＝45°，点E在AB上，AE＝AC，请直接写出图中所有与BE相等的线段．（2）如图2，∠C≠90°，如果∠C＝2∠B，求证：AB＝AC+CD．

2．如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB＝AC+CD．求证：∠C＝2∠B．3．（2017春•文登区期末）已知，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，求证：AD