中考数学考点大串讲（北师大版）：专题03 概率的进一步认识（压轴30题2种题型）（解析版）

专题03概率的进一步认识（压轴30题2种题型）一、用树状图或表格求概率1．（2022秋·河北张家口·九年级统考期末）如图，动点从点出发，沿正五边形的边，每次随机顺时针或逆时针跳动1步或2步（每步长度与长相等），则点跳跃两次后，恰好落在点处的概率为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】画出树状图，找出符合结果的个数，用公式即可求解．【详解】解：画树状图得

共有种等可能结果，点跳跃两次后，恰好落在点处有种结果，；故选：A．【点睛】本题考查了用画树状图求概率，掌握解法是解题的关键．2．（2023春·山东烟台·九年级统考期中）如图，湖边建有A，B，C，D共4座凉亭，从入口处进，先经过凉亭A（已经参观过的凉亭，再次经过时不作停留），则最后一次参观的凉亭为凉亭D的概率为（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，再找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可解答．【详解】解：根据题意画图如下：

共有4种等可能的情况数，其中最后一次参观的凉亭为凉亭D的有2种，则最后一次参观的凉亭为凉亭D的概率为．故选：C．【点睛】本题主要考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）现有五张质地均匀，大小完全相同的卡片，在其正面分别标有数字，，0，2，3，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽出一张后，不放回，再从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片所标数字之和为正数的概率为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】画树状图法或列表法，根据题意利用概率计算公式，进行计算即可．【详解】解：画树状图如下：

由树状图可知，共有20种等可能结果，其中和为正数的有12种结果，所以和为正数的概率为，故选：C．【点睛】本题考查了等可能情形下的概率计算，掌握概率计算的方法是解题的关键．4．（2023·山西朔州·校联考模拟预测）2023年2月23日，“木里千秋·雕绘春景——晋作木雕作品展”在山西省太原市文化馆开展．本次展览旨在促进非遗项目走进现代生活，展出具有黄河流域特色的晋作木雕作品百余件．该文化馆有A，B两个口（可进可出），另外还有C，D两个出口（只出不进）．小明随机选择一个入口进入，再随机选择一个出口出去，其中从不同的出入口进出的概率是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】画树状图可得有8种等可能的结果，再找出从不同的出入口进出的结果数，再利用概率公式计算即可．【详解】解：画树状图如下：

共有8种等可能的结果，其中从不同的出入口进出的结果数为6种，∴从不同的出入口进出的概率为，故选：C．【点睛】本题考查用列表法或画树状图法求概率及概率公式，熟练掌握列表法或画树状图法求概率的方法是解题的关键．5．（2023·河南郑州·校考三模）为了准备第八届中国诗歌节，某校组织了一次诗歌比赛，有名女生和名男生获得一等奖，现准备从这名获奖学生中随机选出名学生进行培训，将来代表学校参加第八届中国诗歌节比赛，则选出的结果是“一男一女”的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】画树状图，共有种等可能的情况，其中选出的结果是“一男一女”的情况有种，再由概率公式求解即可．【详解】解：画出树状图如下：

共有种等可能的情况，其中选出的结果是“一男一女”的情况有种，选出的结果是“一男一女”的概率是是．故选：．【点睛】此题考查的是用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件，解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．6．（2023·安徽·校联考二模）甲、乙两名同学正在玩下表中的三个游戏，游戏规则如表所示，游戏过程中应不放回地取球．下列说法正确的是（）游戏1游戏2游戏3袋子中球的数量和颜色2个红球和2个白球2个红球和2个白球3个红球和1个白球取球规则取1个球依次取2个球依次取2个球获胜规则取到红球→甲胜两个球同色→甲胜两个球同色→甲胜取到白球→乙胜两个球不同色→乙胜两个球不同色→乙胜A．甲在游戏1取胜的概率为 B．甲在游戏3取胜的概率为C．游戏2对甲、乙双方都公平 D．乙在游戏2中最容易取胜【答案】D【分析】利用概率公式和列表法求概率分别求出3个游戏中甲，乙获胜的概率，逐一进行判断即可．【详解】解：游戏1，共有4个球，取1个球共有4种等可能的结果，取到红球有2种等可能的结果，∴甲在游戏1取胜的概率为，乙胜的概率为，故A错误；游戏2：用表示两个红球，表示两个白球，列表如下：ABCDAA，BA，CA，DBB，AB，CB，DCC，AC，BC，DDD，AD，BD，C共12中等可能的结果，其中取到两个球同色有4种等可能的结果，∴甲胜的概率为，乙胜的概率为；∴游戏2对甲不公平，故C选项错误；游戏3：用，C表示三个红球，表示白球，列表如下：ABCDAA，BA，CA，DBB，AB，CB，DCC，AC，BC，DDD，AD，BD，C共12中等可能的结果，其中取到两个球同色有9种等可能的结果，∴甲胜的概率为，乙胜的概率为；故选项B错误，∵，∴乙在游戏2中最容易取胜，故选项D正确；故选D．【点睛】本题考查列表法求概率．熟练掌握列表法和概率公式是解题的关键．7．（2023春·河南商丘·九年级校考阶段练习）不透明的袋子中装有红、绿小球各两个，除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次都摸到红色小球的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】记两个红色小球分别为红1，红2，两个绿色小球分别为绿1，绿2．根据题意，作出列表，结合列表即可获得答案．【详解】解：记两个红色小球分别为红1，红2，两个绿色小球分别为绿1，绿2．根据题意，列表如下：红1红2绿1绿2红1（红1，红1）（红1，红2）（红1，绿1）（红1，绿2）红2（红2，红1）（红2，红2）（红2，绿1）（红2，绿2）绿1（绿1，红1）（绿1，红2）（绿1，绿1）（绿1，绿2）绿2（绿2，红1）（绿2，红2）（绿2，绿1）（绿2，绿2）由表可知，共有16种等可能的结果，其中两次都摸到红色小球的结果有4种，∴两次都摸到红色小球的概率．故选：C．【点睛】本题主要考查了列举法求概率，正确作出列表或树状图是解题关键．8．（2023秋·广东深圳·九年级校考阶段练习）掷两枚普通正六面体骰子，所得点数之和为10的概率为．【答案】【分析】根据题意，列出表格，数出所有去情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式求解即可．【详解】解：列出表格如下：由表可知，一共有36种情况，所得点数之和为10的有3种情况，∴所得点数之和为10的概率，故答案为：．【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．9．（2023秋·山东青岛·九年级青岛大学附属中学校考阶段练习）我校举办以“使命·成全·梦想”为主题的庆祝建校二十周年书画展活动，如图是该书画展览馆出入口示意图．小颖和小芳从同一入口进入分别参观，参观结束后，她们恰好从同一出口走出的概是．

【答案】【分析】先画出树状图，共有种等可能的情况，其中恰好从同一出口走出的情况有种，再根据概率公式，计算即可得出结果．【详解】解：画树状图如下：

∵共有种等可能的情况，其中恰好从同一出口走出的情况有种，∴她们恰好从同一出口走出的概率为．故答案为：．【点睛】本题考查了用树状图求概率，解本题的关键在根据树状图找出所有等可能的情况数．概率等于所求情况数与总情况数之比．10．（2022秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）小明所在的学校准备在国庆节当天举办一个大型的联欢会，为此小明设计了如图所示的，两个转盘和同学们做“配紫色”（红、蓝可配成紫色）的游戏，试问使用这两个转盘可以配成紫色的概率是．

【答案】或【分析】列表法将所有可能出现的结果，找出配成紫色的结果，用该事件的结果除以所有可能的结果即可得出结果．【详解】解：用列表法将所有可能出现的结果表示如下：所有可能出现的结果共有种，蓝蓝红红（红，蓝）（红，蓝）（红，红）蓝（蓝，蓝）（蓝，蓝）（蓝，红）绿（绿，蓝）（绿，蓝）（绿，红）黄（黄，蓝）（黄，蓝）（黄，红）上面等可能出现的种结果中，有种情况可能得到紫色，故配成紫色的概率是，，故答案为：或．【点睛】此题主要是考查列表法或树状图法求概率，解题关键是列出所有可能的结果，利用概率公式进行求解即可．11．（2023·浙江杭州·校考二模）袋子里有四个完全相同的球，球上分别标有数字，，1，4，随机摸出一个球，记下数字为k：不放回，再随机摸出一个球，记下数字为b，则的图像经过第三象限的概率为．【答案】【分析】根据一次函数的性质可知：当或，时，的图像经过第三象限，然后画出相应的树状图，即可求得相应的概率．【详解】解：∵的图像经过第三象限时，∴或，时，树状图如下，

由上可得，一共存在12种等可能性，其中的图像经过第三象限的有8种可能性，∴的图像经过第三象限的概率为，故答案为：．【点睛】本题考查列表法与树状图法、一次函数的性质、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．12．（2020秋·陕西渭南·九年级统考期中）分别写有数字、、的三张大小和质地均相同的卡片，从中任意抽取两张卡片，两张都抽到无理数的概率是．【答案】【分析】根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出两张都抽到无理数的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【详解】解：根据题意画图如下：由图可知所有等可能的结果共有6种情况数，其中两张都抽到无理数的2种，则两张都抽到无理数的概率是；故答案为：.【点睛】此题考查画树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．13．（2023秋·浙江嘉兴·九年级校考开学考试）某寝室有四个同学，每个同学写一张贺卡放在一起，每人抽取一张，要求不能抽取自己写的贺卡，则不同的抽取方案共有种（用数字作答）．【答案】9【分析】本题要根据计数原理求出所抽取的都不是自己所写的贺卡的结果数，第一个人有3种结果，被拿走贺卡的人是第二个人有3种结果，则剩下的两个人只有一种结果，即可求解．【详解】解：因为甲先去拿一张贺卡，有3种方法，假设甲拿的是乙写的贺卡，接下来让乙去拿，乙此时也有3种方法，则剩下的两个人中必定有一人自己写的贺卡还没有发出去，这样两人只有一种拿法，所以总的拿法为种；故答案为：9．【点睛】本题考查了排列组合的计数问题，解题的关键是看出前两个人都抽取贺卡后，第三个人和第四个人只有一种结果．14．（2023春·河北衡水·九年级校考期中）一个的棋盘，在棋盘方格内随机放入棋子，且每一方格内最多放入一枚棋子．

（1）如图1，棋盘内已有两枚棋子，在剩余的方格内随机放入一枚棋子，这三枚棋子恰好能在同一条直线上的概率为；（2）如图2，棋盘内已有四枚棋子，在剩余的方格1，2，3，4，5内随机放入两枚棋子，则仅有三枚棋子恰好能在同一条直线上的概率为．【答案】/【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）利用列表法列出所有可能的情况数，即可得到仅有三枚棋子恰好在同一条直线上的结果数，再由概率公式求解即可．【详解】（1）棋盘内已有两枚棋子，剩余的方格数为个，则在剩余的方格内随机放入一枚棋子，这三枚棋子恰好能在一条直线上时，这个棋子只能放在最中间的方格内，所以其概率为，故答案为：；（2）在这五个方格中随机放入2枚棋子，所有可能出现的结果有：，，，，，，，，，，共有10种，他们出现的可能性相同，所有的结果中，满足“仅有三枚棋子恰好能在同一条直线上”（记为事件）的结果有4种，即，，，，所以．故答案为：【点睛】本题考查列表法或画树状图法求概率，正确列出表格是解题的关键．15．（2022·福建龙岩·校考模拟预测）李老师为了了解所教班级学生完成数学课前预习的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类，：很好；：较好；：一般；：较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：

(1)若类男生有名，请计算出类女生的人数，并将条形统计图补充完整．(2)为了共同进步，李老师想从被调查的类和类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是两位男同学的概率．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）根据类的人数和所占人的百分数求出总人数，再用总人数乘以对应的比例即可求得类的人数，然后求得类中女生人数，同理求得类男生的人数，从而补全统计图；（2）利用列举法即可表示出各种情况，然后利用概率公式即可求解．【详解】（1）解：调查的总人数（人．类学生人数：（名，类女生人数：（名，类学生占的百分比：，类学生人数：（名，类男生人数：（名，补图如下：

（2）解：由题意画树形图如下：

从树形图看出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选两位同学恰好是两位男同学的结果共有1种．所以（所选两位同学恰好是两位男同学）．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．16．（2022·福建厦门·统考模拟预测）为了丰富学生的课余生活、增强体质，某校九年级开展班级篮球比赛，经过激烈的角逐，1班、5班、6班、9班进入了年级“四强”，按规则先用抽签的方式将这4个班级分成2个组（例如1班和5班在同一组，则6班和9班在另一组），再由两个小组的胜者争夺第一、第二名，其它两个班级争夺第三、第四名．(1)求5班和6班抽到同一个小组的概率；(2)根据经验，比赛进入关键时刻3分球命中率比2分球命中率更重要，因此分别赋予它们6和4的权，某班甲、乙两名球员近八场比赛投球命中率统情况如表二．球员投球类型投球命中率甲3分球0.20.100.20.10.10.102分球0.40.30.40.40.20.40.30.4乙3分球0.10.200.20.30.20.10.12分球0.30.40.10.40.40.30.20.3若该班进入比赛关键时刻，请选择恰当的统计量，通过计算确定甲乙球员中派谁上场？【答案】(1)；(2)选择球员乙上场．【分析】（1）画树状图，共有12种等可能的结果，其中5班和6班抽到同一个小组的结果有4种，再由概率公式求解即可；（2）由平均数和加权平均数的定义进行分析判断即可．【详解】（1）抽签完的所有可能结果为：

共有12种等可能的结果，其中5班和6班抽到同一个小组的结果有4种；故概率为．（2）记球员甲3分球的平均命中率为，2分球的平均命中率为，则，．记球员乙3分球的平均命中率为，2分球的平均命中率为，则，．球员甲的平均命中率为，球员乙的平均命中率为，所以选择球员乙上场．【点睛】本题考查的是树状图法求概率以及平均数和加权平均数．树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适用两步或两步以上完成的事件．注意：概率=所求情况数与总情况数之比．17．（2022·安徽宿州·校考模拟预测）某校拟举办主题为“学党史跟党走”的知识竞赛活动．某年级在一班和二班进行了预赛，两个班参加比赛的人数相同，成绩分为A、B、C、D四个等级，其等级对应的分值分别为100分、90分、80分、70分，将这两个班学生的最后等级成绩分析整理绘制成了如图的统计图．

(1)这次预赛中，二班成绩在B等及以上的人数是多少？(2)分别计算这次预赛中一班成绩的平均数；(3)已知一班成绩A等的4人中有2个男生和2个女生，二班成绩A等的都是女生，年级要求从这两个班A等的学生中随机选2人参加学校比赛，若每个学生被抽取的可能性相等，求抽取的2人中至少有1个男生的概率．【答案】(1)这次预赛中，二班成绩在等及以上的人数是9人(2)这次预赛中一班成绩的平均数为分(3)【分析】（1）根据一班预赛成绩统计图可得一班参加比赛的总人数，将总人数乘以二班成绩在等及以上的百分比即可得；（2）利用加权平均数的公式计算即可得；（3）将一班成绩等的2个男生记为，2个女生记为，二班成绩等的2个女生记为，画出树状图，从而可得从这两个班等的学生中随机选2人参加学校比赛的所有等可能的结果，再找出抽取的2人中至少有1个男生的结果，然后利用概率公式求解即可得．【详解】（1）解：一班参加比赛的总人数为（人），因为一班和二班进行了预赛，两个班参加比赛的人数相同，所以二班成绩在等及以上的人数为（人），答：这次预赛中，二班成绩在等及以上的人数是9人．（2）解：（分），答：这次预赛中一班成绩的平均数为分．（3）解：二班成绩等的人数为（人），则二班成绩等的女生人数为2人，将一班成绩等的2个男生记为，2个女生记为，二班成绩等的2个女生记为，画出树状图如下：

由图可知，从这两个班等的学生中随机选2人参加学校比赛共有30种等可能的结果，其中，抽取的2人中至少有1个男生的结果有18种，则抽取的2人中至少有1个男生的概率为，答：抽取的2人中至少有1个男生的概率为．【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图、平均数、利用列举法求概率，熟练掌握统计调查的相关知识和列举法是解题关键．18．（2022春·福建福州·九年级校考期中）为了监控一条生产线上某种零件的生产质量，检验员每隔25分钟从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：毫米）．下表是检验员在一天内抽取的20个零件尺寸的数据统计：抽取次序12345678910零件尺寸107.5109.3108.1109.3109.6108.4108.5109.8108.9109.0抽取次序11121314151617181920零件尺寸110.2109.0107.8108.2109.4108.4109.7108.6109.1110.4零件尺寸的数据为x，按照生产标准，需对超标零件进行整改，整改费用如表：尺寸范围（m为正数）零件等级整改费用（元/个）超标零件100合格零件/优等零件/特优零件/优等零件/合格零件/超标零件80(1)求所抽取的20个零件出现超标零件的频率；(2)若从超标零件中随机抽取两件进行整改，求整改费用最低的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）找出所抽取的20个零件出现超标零件的个数，即可求解；（2）画树状图，共有12种等可能的结果，整改费用最低的结果有2种，再由概率公式求解即可．【详解】（1）解：由表格可知所抽取的20个零件出现超标零件的频数为4，∴频率为；（2）解：把零件尺寸为107.5毫米、110.2毫米、107.8毫米、110.4毫米的4个零件记为A、B、C、D．由题意可画树状图如下：

由图可知共有12种结果，费用最低的有2种，即、．∴整改费用最低的概率为．【点睛】此题考查了树状图法求概率以及频数分布表等知识．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．19．（2022·安徽淮北·淮北一中校联考模拟预测）某公司组织“红色电影知多少”主题知识竞答活动，公司随机抽取了其中50名职员的答卷，将他们的成绩（以百分制呈现，且为整数）统计后绘制了频数分布表和频数分布直方图，部分信息如下：频数分布表分组分数频数第一组49.5～59.516第二组59.5～69.5第三组69.5～79.510第四组79.5～89.5第五组89.5～100.52合计50

(1)补全频数分布表和频数分布直方图；(2)请你据此估计全公司800名职员的成绩高于80分（含80分）的人数为_____，如果把这次统计结果绘制成扇形统计图，那么成绩高于80分（含80分）的人数所占扇形的圆心角的度数为_____；(3)若从以上第四和第五组的职员中随机挑选2名参加市演讲比赛．求挑选的2名职员恰好都在第五组的概率．【答案】(1)补全频数分布表和频数分布直方图见解析(2)64，(3)挑选的2名职员恰好都在第五组的概率为【分析】（1）根据频数分布直方图可知第二组有20人，再求出第四组的人数填表或补图即可；（2）根据图表中高于80分（含80分）的人数所占百分比，即可求出人数和圆心角度数；（3）列树状图即可求出概率．【详解】（1）解：根据频数分布直方图可知第二组有20人，则第四组的人数为（人），补全频数分布表和频数分布直方图(如图表)；；（2）解：，估计公司800名职员成绩高于80分(含80分)的人数为64人，所占扇形的圆心角为；故答案为：64，；（3）解：依题意得第四组的频数是2，第五组的频数也是2，设第四组的2名职员分别为；第五组的2名职员为，画树状图如下：

由树状图可知共有12种等可能的结果.其中两个都在第五组的有两种，所以恰好都在第五组的概率为．【点睛】本题考查了频数分布表与频数分布直方图，树状图或列表法求概率，用样本频数估计总体频数，解题关键是准确的从图表中获得信息，会用树状图求概率．20．（2022秋·陕西渭南·九年级统考期末）随着中考临近，某校九年级学生小刚和小明决定从试题库中提供的四套数学试题（依次记为）中，随机抽取一套试题进行模拟测试．(1)小刚从这四套试题中随机抽取一套，恰好抽到试题的概率为_____________；(2)小刚和小明各自从这四套试题中随机抽取一套，且所抽取的试题互不影响，请用画树状图或列表的方法求他们抽取到同一套试题的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）概率=所求情况数与总情况数之比求解即可；（2）画出树状图即可；【详解】（1）小刚从这四套试题中随机抽取一套，恰好抽到试题的概率为．（2）画树状图如下：

由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中小刚和小明抽取到同一套试题的结果有4种，即，，他们抽取到同一套试题的概率．【点睛】本题考查的是用树状图法求概率；树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比21．（2022·安徽合肥·校联考模拟预测）某同学为了解本班同学对“2022年北京冬奥会”的关注度，调查了本班同学在冬奥会开赛后前5天内收看“冬奥会”节目的情况，有1天收看过记为1次，有2天收看过记为2次，……，5天都收看过记为5次（当天多次收看只记1次），调查结果统计如图所示（其中只有男生收看3次的人数没有标出）．根据上述信息，解答下列各题：

(1)该班级女生人数是，女生收看“冬奥会”节目次数的中位数是；(2)若男生收看“冬奥会”节目次数在3次或3次以上人数比女生总人数少，试求该班级男生人数，并补全条形图；(3)小明和小红在前3天中都收看过2次，求小明和小红收看这2次的日期相同的概率．【答案】(1)20；3(2)图见详解(3)【分析】（1）根据统计图数据即可求解；（2）根据题目数据即可求解；（3）应用树状图法（或列表法）求解即可；【详解】（1）解：该班级女生人数为：（人），女生收看“冬奥会”节目次数的中位数在第10到11之间，所以女生收看“冬奥会”节目次数的中位数为3．故答案为：20；3．（2）（人）；补全条形图如下：

（3）

∴P（小明和小红收看这2次的日期相同）．【点睛】本题主要考查条形统计图、树状图法（或列表法）求概率，掌握相关知识并正确计算是解题的关键．二、用频率估计概率22．（2023春·山东菏泽·七年级统考期末）下列说法错误的是（

）A．通过大量重复试验，可以用频率估计概率B．投一枚硬币，“正面朝上”的概率不能用列举法计算C．必然事件发生的概率是1D．概率很小的事件不可能发生【答案】D【分析】根据用频率估计概率（用频率估计概率，其做法是取多次试验发生的频率稳定值来估计概率）、列举法求概率、必然事件的定义（必然事件发生的可能性为1）与不可能事件的定义（不可能事件的发生的可能性为0）逐项判断即可得．【详解】解：A、通过大量重复试验，可以用频率估计概率，则此项正确，不符合题意；B、投一枚硬币，“正面朝上”的概率不能用列举法计算，则此项正确，不符合题意；C、必然事件发生的概率是1，则此项正确，不符合题意；D、概率很小的事件也有可能发生，则此项错误，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了用频率估计概率、列举法求概率、必然事件与不可能事件，熟记各概念是解题关键．23．（2023秋·浙江·九年级专题练习）某射击运动员在同一条件下射击，结果如表所示：根据频率的稳定性，这名运动员射击一次击中靶心的概率约是（）射击总次数n1020501002005001000击中靶心的次数m8174079158390780击中靶心的频率A． B． C． D．【答案】A【分析】利用频率估计概率求解即可；【详解】解：根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时击中靶心的概率约是，故选：A．【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，理解这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键24．（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）一个口袋里只有黑球10个和若干个黄球，从口袋中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回口袋中摇匀，重复上述过程，共试验200次，其中有120次摸到黄球，由此估计袋中共有球的个数是（

）A．6 B．10 C．15 D．25【答案】D【分析】先计算出黄球频率，再频率的值接近于概率，再根据黄球的概率求解即可．【详解】解：设袋中共有x个球，则黄球的个数为，∵黄球的概率近似为＝，∴，解得，经检验：是分式方程的解．故选D．【点睛】本题主要考查利用频率估计概率、分式方程的应用等知识点，掌握大量反复试验下频率稳定值即概率是解答本题的关键．25．（2021秋·陕西铜川·九年级校考阶段练习）动物学家通过大量的调查，估计某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25多的概率为0.5，据此若刚出生的这种动物共有1000只，则估计活到20岁的有只．【答案】800【分析】用概率乘以动物的总只数即可得出20年后存活的数量即可求解．【详解】解：∵某种动物活到20岁的概率为0.8，∴活到20岁的有只，故答案为：800．【点睛】本题考查利用频率估计概率，理解相关知识点是解决问题的关键．26．（2023秋·浙江·九年级专题练习）一个口袋中有15个黑球和若干个白球，从口袋中一次摸出10个球，求出黑球数与10的比值，不断重复上述过程，总共摸了10次，黑球数与10的比值的平均数为，因此可估计口袋中大约有个白球.【答案】60【分析】把作为黑球与总数的比，用15除以求出总数，减去黑球数即为所求．【详解】解：由题意知，黑球数与10的比值的平均数为，则说明黑球占总球数的，所以总球数为个，则白球数为个．故答案为：【点睛】本题考查了利用频率估计概率，关键是根据黑球的频率得到相应的等量关系求得球的总个数．27．（2023春·贵州·七年级统考期末）数学小组用某种油菜籽在相同条件下进行了10次独立的发芽试验，结果如表：每次粒数n251070130310700150020003000发芽的粒数m24960116282639133918062715发芽的频率1则估计该种油菜籽发芽的概率约为．（精确到）【答案】【分析】求各频率的平均数，后精确到即可．【详解】根据题意，得，故答案为：．【点睛】本题考查了了用频率估计概率，熟练掌握频率的平均数估计概率是解题的关键．28．（2022秋·河北廊坊·九年级校考期中）我班抽奖免作业规则，在暗箱中摸到2次白球免一次作业，班主任在箱中放了3个红球和若干白球，每个小球除颜色不同外，其质地大小无区别，同学们随机摸出一个小球，记下颜色后重新放入箱中，发现摸到红球的频率稳定左右．(1)估计箱中白球有几个？(2)小高同学从箱中摸出—个小球，记下颜色后放回箱中，摇匀后再次伸手摸出一个小球，求两次摸出的小球免作业的概率．（用树状图或列表的方法）【答案】(1)箱子里可能有1个白球(2)【分析】（1）先利用频率估计概率，得到摸到白球的概率为，再利用概率公式列方程解答即可；（2）利用列表或画树状图的方法得到所有的等可能的结果数，得到符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可得到答案；【详解】（1）解：设白球有x个，依据题意得，解得，经检验是原分式方程的解，即箱子里可能有1个