浙江专用2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.9圆锥曲线的综合问题第1课时圆锥曲线的综合问题课件

§9.9圆锥曲线的综合问题根底知识自主学习课时训练题型分类深度剖析内容索引根底知识自主学习1.直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).(1)假设a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0⇔直线与圆锥曲线；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线；③Δ<0⇔直线与圆锥曲线.知识梳理相交相切相离(2)假设a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，那么直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，①假设E为双曲线，那么直线l与双曲线的渐近线的位置关系是；②假设E为抛物线，那么直线l与抛物线的对称轴的位置关系是.2.圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么|AB|＝_____________平行平行或重合过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交.知识拓展(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线.判断以下结论是否正确(请在括号中打“√〞或“×〞)(1)直线l与抛物线y2＝2px只有一个公共点，那么l与抛物线相切.()(2)直线y＝kx(k≠0)与双曲线x2－y2＝1一定相交.()(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点.()(4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切.()(5)过点(2,4)的直线与椭圆＋y2＝1只有一条切线.()(6)满足“直线y＝ax＋2与双曲线x2－y2＝4只有一个公共点〞的a的值有4个.()思考辨析××√√×√

考点自测1.(2023·杭州高级中学月考)在同一平面直角坐标系中，方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0(a>b>0)表示的曲线大致是答案解析∴椭圆焦点在y轴上.∴抛物线焦点在x轴负半轴上，开口向左.

直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交.2.(2023·青岛模拟)直线y＝kx－k＋1与椭圆＝1的位置关系为A.相交 B.相切C.相离 D.不确定答案解析

答案解析4.(教材改编)与向量v＝(1,0)平行的直线l与双曲线－y2＝1相交于A，B两点，那么|AB|的最小值为___.答案解析4由题意可设直线l的方程为y＝m，即当m＝0时，|AB|有最小值4.题型分类深度剖析第1课时直线与圆锥曲线题型一直线与圆锥曲线的位置关系例1(2023·烟台模拟)直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；解答将直线l的方程与椭圆C的方程联立，将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0. ③方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.

(2)有且只有一个公共点；解答

(3)没有公共点.解答

(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，假设为0，那么方程为一次方程；假设不为0，那么将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解.思维升华跟踪训练1(2023·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.解答(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由.直线MH与C除H以外没有其他公共点，理由如下：代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y2＝2t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.解答题型二弦长问题例2(2023·全国甲卷)A是椭圆E： 的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.(1)当|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积.解答又A(－2,0)，因此直线AM的方程为y＝x＋2.证明将直线AM的方程y＝k(x＋2)(k>0)即4k3－6k2＋3k－8＝0，设f(t)＝4t3－6t2＋3t－8，则k是f(t)的零点，f′(t)＝12t2－12t＋3＝3(2t－1)2≥0，所以f(t)在(0，＋∞)上单调递增，有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中，

应熟练的利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.思维升华(1)求E的离心率；解答由椭圆定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，化简得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，解析(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程.设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知

题型三中点弦问题例3(1)椭圆E：＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点.假设AB的中点坐标为(1，－1)，那么E的方程为答案解析命题点1利用中点弦确定直线或曲线方程因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，(2)(4,2)是直线l被椭圆＝1所截得的线段的中点，那么l的方程是_____________.答案解析x＋2y－8＝0设直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，即x＋2y－8＝0.命题点2由中点弦解决对称问题例4(2023·浙江)椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称.(1)求实数m的取值范围；解答(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).解答设△AOB的面积为S(t)，处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率.(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解.(3)解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意：如果点A，B关于直线l对称，那么l垂直直线AB且A，B的中点在直线l上的应用.思维升华跟踪训练3双曲线x2－＝1上存在两点M，N关于直线y＝x＋m对称，且MN的中点在抛物线y2＝18x上，那么实数m的值为________.0或－8答案解析设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，∵M，N关于直线y＝x＋m对称，∴kMN＝－1，∴y0＝－3x0.解得m＝0或－8，经检验都符合.课时训练答案解析√要使直线与双曲线恒有两个公共点，即e∈(2，＋∞)，故选B.12345678910111213答案解析2.(2023·青岛模拟)抛物线y2＝2px(p>0)与直线ax＋y－4＝0相交于A，B两点，其中A点的坐标是(1,2).如果抛物线的焦点为F，那么|FA|＋|FB|等于√12345678910111213把点A的坐标(1,2)分别代入抛物线y2＝2px与直线方程ax＋y－4＝0，得p＝2，a＝2，则xA＋xB＝5.由抛物线定义得|FA|＋|FB|＝xA＋xB＋p＝7，故选D.123456789101112133.(2023·丽水一模)斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，那么|AB|的最大值为答案解析√12345678910111213设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，12345678910111213答案解析所以它与双曲线只有1个交点，故选A.A.1 B.2 C.1或2 D.0√123456789101112135.设双曲线＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，那么双曲线的离心率为答案解析√12345678910111213123456789101112136.过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们到直线x＝－2的距离之和等于5，那么这样的直线A.有且仅有一条 B.有且仅有两条C.有无穷多条 D.不存在√答案解析12345678910111213抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，准线方程为x＝－1，设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么A，B到直线x＝－1的距离之和为x1＋x2＋2.设直线方程为x＝my＋1，代入抛物线y2＝4x，那么y2＝4(my＋1)，即y2－4my－4＝0，∴x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2.∴x1＋x2＋2＝4m2＋4≥4.∴A，B到直线x＝－2的距离之和为x1＋x2＋2＋2≥6>5.∴满足题意的直线不存在.123456789101112137.抛物线y2＝4x的弦AB的中点的横坐标为2，那么|AB|的最大值为___.答案解析6设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1＋x2＝4，那么|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2，又|AF|＋|BF|≥|AB|⇒|AB|≤6，当AB过焦点F时取得最大值6.123456789101112138.过椭圆

＝1内一点P(3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是______________.答案解析3x＋4y－13＝012345678910111213设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由于A，B两点均在椭圆上，又∵P是A，B的中点，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，12345678910111213即3x＋4y－13＝0.123456789101112139.F1，F2分别是椭圆C：＝1(a>b>0)的左，右焦点，A是其上顶点，且△AF1F2是等腰直角三角形，延长AF2与椭圆C交于另一点B，假设△AF1B的面积为6，那么椭圆C的方程为__________.答案解析12345678910111213因为△AF1F2为等腰直角三角形，12345678910111213答案解析12345678910111213由题意得方程在[1，＋∞)上有两个不相等的实根，设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)，1234567891011121312345678910111213解答12345678910111213解答(2)设直线l过椭圆的焦点且与圆C相切，求直线l的方程.12345678910111213由(1)得到椭圆的左，右焦点分别是F1(－2,0)，F2(2,0)，∴F2在C内，故过F2没有圆C的切线，设l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.12345678910111213解答解得a2＝8，b2＝4.12345678910111213(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.证明12345