专题04二次函数存在性问题（四边形存在问题）九年级数学二次函数易错专题复习原卷版

二次函数易错专题复习二次函数中存在性问题（四边形存在问题）【易错点一：平行四边形】二次函数中平行四边形存在性问题，是期中、期末、中考常考题型，通常都是压轴题形式出现，对学生的要求高、考试难度大，灵活应用能力强、得分率比较低，也容易错；常错的点主要是①平行四边形与函数结合时性质考虑不全、数形结合不到位，导致找不到点与点之间的联系，而平行四边形解法有两种:第一种（常用）是中点坐标法；第二种是平行直线法②能考虑到平行四边形的位置和关系式，但是不会灵活计算变通，导致丢分【考点：平行四边形存在性问题】方法指引：先根据函数确定四边形相关点的坐标，假设存在平行四边形，设第四个点的坐标，根据中点坐标法，找出平行四边形四点关系，列出方程，解方程，检验坐标满足情况例题1．（2022下·江苏·专题练习）已知，如图，抛物线与坐标轴相交于点A(−1,0)，C(0,−3)两点，对称轴为直线x=1，对称轴与x轴交于点D．(1)求抛物线的解析式；(2)点F为二次函数图象上与点C对称的点，点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点F，A，M，N为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．例变式训练1（22·23上·重庆·阶段练习）如图，抛物线y=12x2+bx+c与x轴相交于点A、B(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P（m，n）（0＜m＜6）在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值；(3)在（2）中△PBC面积取最大值的条件下，点M是抛物线的对称轴上一点，在抛物线上确定一点N，使得以A、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．例题2．（23·24上·全国·专题练习）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A3,0、B−1,0两点，与y轴交于点C(1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标；(2)在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F为顶点、AC为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标．变式训练1．（23·24上·全国·专题练习）如图，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，OA=2OC，将矩形OABC绕原点O逆时针旋转90°，得到矩形ODEF．抛物线y=ax2+bx+c经过F、D、B三个点，其顶点在直线y=72x−112上，直线l:y=kx+m经过点E和点A，点P是抛物线y=ax(1)求abc的值；(2)设P点横坐标为t，求线段PM的长（用t的代数式表示）；(3)以A、B、P、M四个点为顶点的四边形会是平行四边形吗？如果会，写出点P的坐标，如果不会，请说明理由．针对性练习1．（22·23上·梁平·期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=−2x2+4x+6与y轴交于点A，与x轴交于点E，B（E(1)如图2，抛物线的顶点为点Q，求△BEQ的面积；(2)如图3，过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D、交AC于点F，当点P在何位置时，PD+CF最大？求出最大值；(3)在（2）条件下，当PD+CF最大时，将抛物线y=−2x2+4x+6沿着射线AB平移，使得抛物线经过点C，此时得到新抛物y′，点N是原抛物线对称轴上一点，在新抛物线y′上是否存在一点M，使以点A，D，M2．（22·23·武威·中考真题）如图1，抛物线y=−x2+bx与x轴交于点A，与直线y=−x交于点B4,−4，点C0,−4在y轴上．点P从点B(1)求抛物线y=−x(2)当BP=22时，请在图1中过点P作PD⊥OA交抛物线于点D，连接PC，OD，判断四边形OCPD(3)如图2，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动．连接BQ，PC，求CP+BQ的最小值．3．（23·24上·綦江·期中）如图，抛物线y=ax2+bx+ca≠0与y轴交于点C0，4，与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为−2，0(1)求直线BC的解析式；(2)若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使三角形BFC的面积最大，若存在，求出点F的坐标和最大值；若不存在，请说明理由；(3)平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标（直接写点的坐标）．4．（22·23下·合肥·一模）如图，已知抛物线y=−x2+4x+k与x轴的一个交点为B5,0，与(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是抛物线上位于直线AB上方的动点，分别过点P作x轴的平行线交抛物线于点Q，作y轴的平行线交直线AB于点D，以PQ、PD为边作矩形PQED，求矩形PQED周长的最大值，并求出此时点P的坐标；(3)若点N是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点M，使得以A、N、B、M为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标．5．（21·22下·菏泽·三模）如图，直线y=−x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+x+c经过B(1)求抛物线的解析式；(2)E是直线BC上方抛物线上的一动点，当点E到直线BC的距离最大时，求点E的坐标；(3)Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由．【易错点二：菱形】二次函数中菱形存在性问题，是期中、期末、中考常考题型，通常都是压轴题形式出现，对学生的要求高、考试难度大，灵活应用能力强、得分率比较低，也容易错；常错的点主要是①菱形与函数结合时性质考虑不全、数形结合不到位，导致找不到点与点之间的联系，而菱形是特殊的平行四边形，所以平行四边形解法仍然可以用，但要考虑菱形具有平行四边形不具有的其他性质来解题【考点一：菱形存在性问题】方法指引：先根据函数确定四边形相关点的坐标，假设存在菱形，设第四个点的坐标，根据中点坐标法，找出平行四边形四点关系，先证明存在平行四边形，再证明存在菱形，列出方程，解方程，检验坐标满足情况例题1．（23·24上·全国·专题练习）如图，已知二次函数y=x2−3x−4的图象与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，点(1)求S△COD(2)如图1，点P在直线CD下方抛物线上的一个动点，过点P作PQ⊥CD交于点Q，过点P作PE∥x轴交CD于点E，求PE+PQ的最大值及此时点(3)在（2）的条件下，将抛物线沿着射线DC方向平移22个单位长度得到新抛物线y1，点M在新抛物线对称轴上运动，点N是平面内一点，若以B、P、M、N为顶点的四边形是以BM为边的菱形，请直接写出所有符合条件的点变式训练1（22·23下·沙坪坝·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=−32x2+32x+3与x轴交于点A和点B(1)求直线BC的解析式；(2)点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交BC于点D，过点P作x轴的平行线交BC于点E，求PE+3PD的最大值及此时点(3)如图2，在（2）中PE+3PD取得最大值的条件下，将抛物线y=−32x2+32x+3沿着射线CB方向平移得到新抛物线y′，且新抛物线y′经过线段BC的中点F，新抛物线y′与y轴交于点M，点N为新抛物线y′对称轴上一点，点Q例题2．（21·22上·连云港·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线y=x2+bx+c经过点B，D−4,5两点，且与直线(1)求抛物线的解析式；(2)F为抛物线对称轴与x轴的交点，M为线段DE上一点，N为平面直角坐标系中的一点，若存在以点D、F、M、N为顶点的四边形是菱形．请直接写出点N的坐标，不需要写过程：(3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，连接OB、BP，探究EQ+PQ+PB是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点Q的坐标，若不存在，请说明理由．变式训练1．（21·22下·抚顺·二模）如图，抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)与x轴交于A(−1,0)，B3,0两点，与y轴轴交于点(1)求抛物线的解析式；(2)若在线段BC上存在一点M，使得∠BMO=45°，过点O作OH⊥OM交BC的延长线与点H，求点M的坐标；(3)点P是y轴上一动点，点Q是在对称轴上一动点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．针对性练习1（21·22下·济南·二模）抛物线y=ax2+2x+c过点A−1,0，点(1)求抛物线的表达式及顶点C的坐标；(2)如图1，点P在第一象限抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，AP．若S△ACP:S(3)如图2，在（2）的条件下，点E是抛物线对称轴上一点，点F是平面内一点，是否存在点E，点F，使得四边形ADFE为菱形？若存在，请求出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．【易错点三：矩形】例题1．（22·23·阜新·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−3与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点D为直线y=x上的动点，当点P在第四象限时，求四边形PBDC面积的最大值及此时点P的坐标；(3)已知点E为x轴上一动点，点Q为平面内任意一点，是否存在以点P，C，E，Q为顶点的四边形是以PC为对角线的正方形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．例题2（22·23·湖南·中考真题）