2023年人教版初中数学九年级垂直于弦的直径（教学案例1）

2023年人教版初中数学《垂直于弦的直径》（教学案例1）

一、明确学习目标

1、理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及推论。

2、通过折叠等方法理解圆是轴对称图形，从而进一步理解垂径定理及其推论。

阅读教材第81至83页内容，完成自主预习区。

如图，AB是。O的一条弦，作直径CD,使CDA.AB,垂足为M.

（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？C

（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.

【学生展示】

【教师小结】（1）是轴对称图形，其对称轴是直线CD.\

（2）AM=BM,即垂直于弦的直径CD平分弦AB,

并且平分弧AB、弧ADB.

三、合作探究

1.圆是对称图形，任何一条.都是它的对称轴，它也:

是中心对称图形，对称中心为:.

2.垂直于弦的直径弦，并且王至弦所对的两条弧，即一条直线

如果满足：①।②;

那么可以推出：③;©_=_;0_=_.

3.平分弦（一）的直径垂直于弦，并且弦所对的两条弧.

【小组讨论】

问题i

求CD的长.

【学生展示】

【教师小结】常用辅助线：连接半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形.

。。的半径为5,弦AB的长为8,M是弦AB上的动点,则线段OM

的长的最小值和最大值各为多少？

【学生展示】

【教师小结】当OM与AB垂直时，OM最小（为什么），M在A（或B）处时

OM最大.

问题已知：如图，线段AB与（DO交于C、D两点,

且。A=OB.求证:AC=BD.

【学生展示】

【教师小结】过圆心作垂径是圆中常用辅助线.

问题I已知0O的直径是50cm,。。的两条平行弦AB=40cm,

CD=48cm,求弦AB与CD之间的距离.

【教师小结】①AB、CD在点O两侧，②AB、CD在点O同侧.

【学生展示】

四、当堂检测

1.教材第83页练习

2.提升练习

(1)如图，弦AB_L直径CD于E,写出图中所有的弧

_____________________________________________________

优弧有:;乂耳_夕

劣弧有：；最长的弦是：_；

相等的线段有:；相等的弧有：；

此图是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？

(2)在。。中，直径为10cm,圆心。到AB的距离为3cm,则弦AB的

长为—

(3)在。。中，直径为10cm,弦AB的长为8cm,则圆心。到AB的距

离为_

【教师小结】圆中已知半径、弦长、弦心距三者中的任何两个，即可求出另

一个.

(4)有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示,D

正常水位下水面宽AB=60m,水面到拱顶距离

CD=18m,当洪水泛滥，水面宽MN=32m时是；匕

否需要采取紧急措施？请说明理由(当水面距拱4号=^

顶3m以内时需采取紧急措施).

五、拓展提升

已知：如图，AB是。。的直径，CD是弦，AE_LCD,垂足是E,

BF±CD,垂足是F,求证:CE=DF.

小明同学是这样证明的：/一、

证明：•••CM_LCD?，CM=MD./

VAE〃OM〃BF，1.ME=MF.'

/.ME-CM=MF-MD.£k^k_^F

即CE=DF.

横线及问号是老师给他的，老师还写了如下评语:“你的解题思路

很清晰，但证明过程欠完整，相信你再思考一下，一定能写出完整

的证明过程”.请你帮助小明订正此题，好吗？

六、课后作业

一、选择题

1.如图所示，。。的半径为5,弦AB=8,M是AB上的动点，则

0M不可能为（）

2.（潍坊）如图，。。的直径AB=12,CD是。0的弦，CD_LAB,

垂足为P，且BP：AP=1：5,则CD的长为（）

A.4/2B.8/2C.2/5D•必

3.“两龙”高速公路是目前浙江省高速公路隧道和桥梁最多的

路段，如图所示是一个单心圆曲隧道的截面，若路面AB宽

为10米，净高CD为7米，则此隧道单心圆的半径OA是

27^7（）

A.5米B.斗米C.今米D.7米

二、填空题

4.如图，。0的半径长为6cm,圆内有一点P,OP的长为

3.6cm,经过P点的最短的弦和最长的弦的长度分别是

第4题图第5题图

5.（台州）把球放在长方形纸盒内，球的一部分露出盒外，其截

面如图所示，已知EF=CD=16厘米，则球的半径为

厘米.

三、解答题

1.（邵阳）如图所示，某窗户由矩形和弓形组成.已知弓形的跨度

AB=3只，弓形的高EF=1m.