高等数学同济第六

运行时点击“刘徽割圆术”,或刘徽按钮,可放映刘徽简介数学语言描述:—、数列极限的定义引例.

设有半径为

r

的圆

,逼近圆面积

S

.如图所示,可知当n

无限增大时,无限逼近

S

(刘徽割圆术)

,当n

>N

时,用其内接正

n

边形的面积第1页/共27页总有第一章第二节记作或定义:自变量取正整数的函数称为数列,称为通项(一般项).若数列及常数

a

有下列关系:当n

>N

时,总有记作即或此时也称数列收敛

,否则称数列发散

.几何解释:则称该数列的极限为

a

,第一章第二节第2页/共27页例如,趋势不定收敛发散第一章第二节第3页/共27页例1.已知证明数列证:欲使即只要因此,取则当时,就有故第一章第二节的极限为1.第4页/共27页例2.已知证明证:欲使只要即取则当时,就有故也可由N

与 有关,

但不唯一.不一定取最小的N

.故也可取说明:取第一章第二节第5页/共27页例3.设证明等比数列欲使只要即亦即因此,取,则当n

>N

时,就有故第6页/共27页的极限为0.证:二、收敛数列的性质及且故存在

N1

,从而同理,因故存在

N2

,使当

n

>N2

时,有使当

n

>N1

时,1.收敛数列的极限唯一.证:

用反证法.

假设取

因从而矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当

n

>N

时,故假设不真!第7页/共27页满足的不等式第一章第二节例4.证明数列是发散的.证:用反证法.假设数列收敛,则有唯一极限a

存在.取则存在N

,但因交替取值1与－1,内,而此二数不可能同时落在长度为1的开区间使当n

>N

时,有因此该数列发散.第一章第二节第8页/共27页2.收敛数列一定有界.证:

设

取则当从而有取则有由此证明收敛数列必有界.说明:此性质反过来不一定成立.例如,虽有界但不收敛.时,

有数列第一章第二节第9页/共27页3.收敛数列的保号性.若

且时,有证:

对

a

>

0

,第10页/共27页取推论:若数列从某项起(用反证法证明)第一章第二节4.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.证:

设数列 是数列

的任一子数列

.若则当时,有现取正整数

K

,使于是当时,有从而有由此证明*********************第一章第二节第11页/共27页若数列有两个子数列收敛于不同的极发散!三、极限存在准则夹逼准则; 单调有界准则;柯西审敛准则.由此性质可知,限

, 则原数列一定发散

.例如，说明:第一章第二节第12页/共27页1.

夹逼准则(准则1)(P49)证:

由条件

(2)

,当时,当时,令则当时,有由条件(1)即故第一章第二节第13页/共27页例5.证明证:利用夹逼准则.且由第14页/共27页第一章第二节2.单调有界数列必有极限(准则2)(证明略)第一章第二节(

P52

)第15页/共27页例6.设证明数列极限存在

.

(P52～P54)证:利用二项式公式,有第一章第二节第16页/共27页大大正比较可知又第一章第二节第17页/共27页若不讲“柯西准则”,则点击“内容小结”按钮,继续其它内容根据准则2可知数列记此极限为

e,第18页/共27页e

为无理数,其值为即有极限.又第一章第二节运行时点击相片或柯西按钮,可出现柯西简介*3.柯西极限存在准则(柯西审敛原理)数列

极限存在的充要条件是:存在正整数

N

,使当时,证:“必要性”.设则时,有使当因此“充分性”证明从略.有第19页/共27页第一章第二节(P55)内容小结1.数列极限的“–N

”定义及应用收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性;任一子数列收敛于同一极限极限存在准则:夹逼准则;单调有界准则;柯西准则第一章第二节第20页/共27页思考与练习1.如何判断极限不存在?方法1.找一个趋于∞的子数列;方法2.找两个收敛于不同极限的子数列.2.已知,求时, 下述作法是否正确?

说明理由.设由递推式两边取极限得不对!此处第一章第二节第21页/共27页作业P303

(2)

,

(3)

,4,6P564

(1)

,

(3)4

(3)提示:可用数学归纳法证第一章第二节第22页/共27页故极限存在，备用题1.设,且求解：设则由递推公式有∴数列单调递减有下界，故利用极限存在准则第一章第二节第23页/共27页2.

设证:显然证明下述数列有极限.即单调增,又存在“拆项相消”法第一章第二节第24页/共27页刘徽(约225–295他撰写的《重年我年国)古代魏末晋初的杰出数学家.差》对《九章算术》中的方法和公式作了全面的评“割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”它包含了“用已知逼近未知,用近似逼近精确”的重要极限思想.注,

指出并纠正了其中的错误

, 在数学方法和数学理论上作出了杰出的贡献

.

他的

“

割圆术

”

求圆周率的方法

:第一章第二节第25页/共27页柯西(1789–

1857)法国数学家,他对数学的贡献主要集中他是经典分析的奠人之一,响广泛而深远

. 他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展.在微积分学,

复变函数和微分方程方面

.一生发表论文800余篇,

著书