专题10三角形全等的判定（6个知识点9种题型1个易错点）八年级数学上册核心知识点与常见题型通关讲解练

专题10三角形全等的判定（6个知识点9种题型1个易错点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.“边角边”或“SAS”基本事实（重点）知识点2“.角边角”或“ASA”基本事实（重点）知识点3.“边边边”或“SSS”基本事实（重点）知识点4.“角角边”或“AAS”定理（重点）知识点5.“斜边、直角边”或“HL”定理（重点）知识点6.利用全等三角形解决实际问题（难点）【方法二】实例探索法题型1.对三角形全等的条件进行判断题型2.证明两个三角形全等题型3.利用三角形全等证明线段相等题型4.利用三角形全等证明角相等题型5.利用三角形全等证明线段的位置关系题型6.利用三角形全等解决实际问题题型7.作辅助线构造全等三角形解决问题题型8.一题多解——证明线段间的关系题型9.动态几何探究题【方法三】差异对比法易错点考虑问题不全面，造成判定两个三角形全等出错【方法四】成果评定法【学习目标】经历探索三角形全等的条件的过程，理解判定一般三角形和直角三角形全等的条件。能灵活运用SSS,SAS,ASA和AAS证明两个三角形全等，会用HL证明两个直角三角形全等。能综合运用全等三角形的判定和性质解决线段相等或角相等的问题，并能解决实际生活中的有关问题。【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.“边角边”或“SAS”基本事实（重点）两边相等且两边夹角也相等的两个三角形全等【例1】已知：如图，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2．求证：△ABC≌△ADE【思路点拨】由条件AB＝AD，AC＝AE，需要找夹角∠BAC与∠DAE，夹角可由等量代换证得相等.【答案与解析】证明：∵∠1＝∠2∴∠1＋∠CAD＝∠2＋∠CAD，即∠BAC＝∠DAE在△ABC和△ADE中∴△ABC≌△ADE（SAS）知识点2“.角边角”或“ASA”基本事实（重点）两角相等且夹边相等的两个三角形全等【例2】（2023上·江苏常州·八年级校考阶段练习）如图三角形纸片被遮住了一部分，小明根据所学知识画出了一个与原三角形完全重合的三角形，他画图的依据是．【答案】【分析】根据图形可知图中三角形纸片两角及其夹边已知，则可根据解答．【详解】解：∵图中三角形纸片两角及其夹边已知，∴可以根据画出了一个与原三角形完全重合的三角形，故答案为：【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理有．知识点3.“边边边”或“SSS”基本事实（重点）3.三边相等的三角形是全等三角形【例3】（2023上·河北廊坊·八年级校考期中）下面是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点D、E分别是的中点，是连接弹簧和伞骨的支架，且，则判定“”的依据是（

）A．角边角 B．角角边 C．边边边 D．边边角【答案】C【分析】此题考查了全等三角形的应用．根据全等三角形判定的“边边边”定理即可证得．【详解】解：∵，点D，E分别是的中点，∴，在和中，，∴，故选：C．知识点4.“角角边”或“AAS”定理（重点）即三角形的其中两个角对应相等，且对应相等的角所对应的边也对应相等的两个三角形全等。【例4】（2023上·云南昆明·八年级昆明市第三中学校考期中）如图，，垂足分别是点D、E，，则的长是（

）A． B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据已知条件可以得出，进而得出，就可以得出，就可以求出的值．【详解】解：∵，∴，∴．∵，∴．在和中，，∴，∴．∴．故选：B．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，学会正确寻找全等三角形，属于中考常考题型．知识点5.“斜边、直角边”或“HL”定理（重点）5.即在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。【例5】（2023上·湖南长沙·八年级校联考期中）如图，已知，能直接用“”判定的条件是（）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】本题主要考查直角三角形全等的判定方法，全等三角形的判定定理有“，，，”，直角三角形还有特殊的判定方法“”．【详解】解：根据全等三角形的判定方法来解决，可以发现选项A不能判定；选项B是“”；选项C是“”；选项D是“”；故选：B．知识点6.利用全等三角形解决实际问题（难点）（求角与边，可能联想证明；求高时可能使用等积变换公式）：①找夹角：SAS三(1)已知两边对应相等②找一边：SSS角③找直角：HL形(2)已知一边一角对应相等①找一角：AAS或ASA全②找一边：SAS等(3)已知两角对应相等①找夹边：ASA②找一边:AAS【例6】．如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距离，在河岸BM上截取BC＝CD，作ED⊥BD交AC的延长线于点E，垂足为点D．（DE≠CD）（1）线段的长度就是A、B两点间的距离（2）请说明（1）成立的理由．【解答】解：（1）线段DE的长度就是A、B两点间的距离；故答案为：DE；（2）∵AB⊥BC，DE⊥BD∴∠ABC＝∠EDC＝90°又∵∠ACB＝∠DCE，BC＝CD∴△ABC≌△CDE（ASA）∴AB＝DE．【变式1】.为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A，B的距离．甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案：甲：如图①，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，使CO＝AO，DO＝BO，连接DC，测出DC的长即可．乙：如图②，先确定直线AB，过点B作直线BE，在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA，作DC＝DA，交直线AB于点C，最后测量BC的长即可．（1）甲、乙两同学的方案哪个可行？（2）请说明方案可行的理由．【解答】解：（1）甲同学的方案可行；（2）甲同学方案：在△ABO和△CDO中，AO=CO∠AOB=∠COD∴△ABO≌△CDO（SAS），∴AB＝CD；乙同学方案：在△ABD和△CBD中，只能知道DC＝DA，DB＝DB，不能判定△ABD与△CBD全等，故方案不可行．【变式2】．王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合．（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）求两堵木墙之间的距离．【解答】（1）证明：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS）；（2）解：由题意得：AD＝2×3＝6（cm），BE＝7×2＝14（cm），∵△ADC≌△CEB，∴EC＝AD＝6cm，DC＝BE＝14cm，∴DE＝DC+CE＝20（cm），答：两堵木墙之间的距离为20cm．【方法二】实例探索法题型1.对三角形全等的条件进行判断1.下列不能判断两个三角形全等的条件是（

）A．有两边及一角对应相等 B．有两边及夹角对应相等C．有三条边对应相等 D．有两个角及夹边对应相等【答案】A【分析】根据三角形全等的判定定理（、、）逐项判断即可得．【详解】解：A、有两边及一角对应相等，因为这个角不一定是这两边的夹角，所以不能判断两个三角形全等，则此项符合题意；B、有两边及夹角对应相等，满足定理，能判断两个三角形全等，则此项不符合题意；C、有三条边对应相等，满足定理，能判断两个三角形全等，则此项不符合题意；D、有两个角及夹边对应相等，满足定理，能判断两个三角形全等，则此项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握各判定定理是解题关键题型2.证明两个三角形全等2.（2023·河北石家庄·石家庄市第四十一中学校考模拟预测）求证：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．阅读下面的材料：小李作出了如图所示的四边形，并写出如下不完整的证明过程：

已知：如图，在四边形中，，．求证：四边形是平行四边形证明：……小李证明思路是：利用三角形全等，依据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明．为完成证明过程，下列说法不正确的是（

）A．需要添加辅助线：连接AC（或连接BD）B．使用SAS证明两个三角形全等C．根据全等三角形的对应角相等，进而可得两组对边分别平行D．由平行四边形的定义可以判断四边形是平行四边形【答案】B【分析】运用SSS方法求证全等．【详解】连接AC（或连接BD），得到两三角形公共边，运用SSS求证全等．故选B．【点睛】本题考查全等三角形的判定方法，结合已知条件选择合适的判定方法是解题的关键．题型3.利用三角形全等证明线段相等3．（2022秋•大丰区校级月考）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BD＝CD．试说明BE＝CF．【解答】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD＝90°．∵AD＝AD，∴△AED≌△AFD．∴AE＝AF，DE＝DF．∵BD＝CD，∴△BED≌△CFD（HL）．∴BE＝CF．解法二：利用角平分线的性质定理，可以直接证明DE＝DF，不需要全等三角形的性质证明．4.已知：如图，，，是经过点的一条直线，过点、B分别作、，垂足为E、F，求证：.【答案与解析】证明：∵，∴∴∵∴∴在和中∴≌（）∴【总结升华】要证，只需证含有这两个线段的≌.同角的余角相等是找角等的好方法.题型4.利用三角形全等证明角相等5..如图，已知AB＝CB，AD＝CD．求证：∠A＝∠C．【解答】证明：连接BD，在△ABD与△CBD中，AD=CDAB=CB∴△ABD≌△CBD（SSS），∴∠A＝∠C．6..如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．求证：∠ABD＝∠ACE．【解答】证明：在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE．题型5.利用三角形全等证明线段的位置关系7．（2022秋·江苏南通·八年级启东市长江中学校考阶段练习）知：如图所示，点B、F、C、E在同一条直线上，，，．求证：(1)；(2)．【答案】(1)见详解(2)见详解【分析】（1）由“”可证；（2）由全等三角形的性质可得，可得结论．【详解】（1）证明：，，即，，，在和中，，；（2）证明：，，．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．题型6.利用三角形全等解决实际问题8..在学习“利用三角形全等测距离”之后，张老师给同学们布置作业，测量校园内池塘A，B之间的距离（无法直接测量）．小颖的方案是：先过点A作的垂线，在上找一看得见B的点C，连接，过点C作，且，过点D作，垂足为E，则所测得的长度即为的长度．(1)小颖设计的方案你同意吗？并说明理由；(2)如果利用全等三角形去解决这个问题，请你写出和小颖依据不同的方案，并画出图形．【答案】(1)同意，理由见详解(2)作图见详解【分析】（1）根据证明三角形全等即可；（2）利用构造全等三角形即可．【详解】（1）解：同意．理由如下：∵，，，∴，∴，∴，在和中，，，，即的长度即为的长度．（2）解：如图，取一点，使得能从点到达点，，连接，，延长，到，，使得，，然后可通过“”证明，则的长度即为的长度．【点睛】本题考查作图应用与设计作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用全等三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．题型7.作辅助线构造全等三角形解决问题9．老师布置的作业中有这么一道题：甲同学认为，，这三条边不在同一个三角形中，无法解答，老师给的题目有错误，乙同学认为可以从中点出发，构造辅助线，利用全等的知识解决，丙同学认为可以从点作平行线，构造辅助线，利用全等的知识解决，你认为正确的是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．乙和丙【答案】D【分析】分别验证乙和丙的作法，延长到使得，证明，再利用三角形的三边关系即可判断乙同学的说法；取的中点，连接，则是的中位线，，再利用三角形的三边关系即可判断丙同学的说法．【详解】解：乙：如图所示：延长到使得，∵为的中点，∴，在和中，∴∴，∵，∴，即；丙：如图所示，过点作，延长交于点，∵为的中点，∴，∵∴，在和中，∴∴，，∵，∴，即，故甲的说法错误，乙和丙的说法正确，故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，熟练掌握和应用相关知识点并作出相应的辅助线是解答本题的关键．10、作出∠ABC的平分线BF，交AC于点F；然后证明：当AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝2∠ADG时，DE＝BF.【答案与解析】 证明：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠C∵BF平分∠ABC∴∠ABC＝2∠CBF∵∠ABC＝2∠ADG∴∠CBF＝∠ADG在△DAE与△BCF中∴△DAE≌△BCF（ASA）∴DE＝BF11.如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论．【答案】AE＝CD，并且AE⊥CD证明：延长AE交CD于F，∵△ABC和△DBE是等腰直角三角形∴AB＝BC，BD＝BE在△ABE和△CBD中∴△ABE≌△CBD（SAS）∴AE＝CD，∠1＝∠2又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等）∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC＝90°∴AE⊥CD12、如图，AD是△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD．【答案与解析】证明：如图，延长AD到点E，使AD＝DE，连接CE．在△ABD和△ECD中，∴△ABD≌△ECD（SAS）．∴AB＝CE．∵AC＋CE＞AE，∴AC＋AB＞AE＝2AD．即AC＋AB＞2AD．13.已知，如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，并且AE＝（AB＋AD），求证：∠B＋∠D＝180°.【答案】证明：在线段AE上，截取EF＝EB，连接FC，∵CE⊥AB，∴∠CEB＝∠CEF＝90°在△CBE和△CFE中，∴△CBE和△CFE（SAS）∴∠B＝∠CFE∵AE＝（AB＋AD），∴2AE＝AB＋AD∴AD＝2AE－AB∵AE＝AF＋EF，∴AD＝2（AF＋EF）－AB＝2AF＋2EF－AB＝AF＋AF＋EF＋EB－AB＝AF＋AB－AB，即AD＝AF在△AFC和△ADC中∴△AFC≌△ADC（SAS）∴∠AFC＝∠D∵∠AFC＋∠CFE＝180°，∠B＝∠CFE.∴∠AFC＋∠B＝180°，∠B＋∠D＝180°.题型8.一题多解——证明线段间的关系14.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．求证：AB=AC．方法1：如图，延长AD到E，使DE=AD，连接BE在△BDE和△CDA中∴△BDE≌△CDA（SAS）∴AC=BE，∠E=∠2∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2∴∠1=∠E∴AB=BE∴AB=AC方法2：如图，过点B作BE∥AC，交AD的延长线于点E∵BE∥AC∴∠E=∠2在△BDE和△CDA中∴△BDE≌△CDA（AAS）∴BE=AC∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2∴∠1=∠E∴AB=BE题型9.动态几何探究题15．（2023上·江苏徐州·八年级统考期中）（1）理解证明：如图1，，射线在这个角的内部，点，在的边上，且于点于点．求证；（2）类比探究如图2，点在的边上，点在内部的射线上，分别是、的外角已知．求证：；（3）拓展应用：如图3，在中，，点在边上，，点在线段上，．若的面积为，则与的面积之和为________．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【分析】（1）根据垂直的性质可得，根据全等三角形的判定方法即可求解；（2）根据分别是、的外角，可证，再根据全等三角形的判定和性质即可求解；（3）根据（2）中的证明方法可得，，，根据，可得，且的面积为，由此即可求解；本题主要考查全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，几何面积的计算方法的综合运用，掌握以上知识是解题的关键．【详解】解：（1），，，，，，在和中，，．（2），，，，，，在和中，，，，，；（3）根据（2）中的证明方法可得，∴，设点到边的高为，∴，且，∵，∴，∴，故答案为：．【方法三】差异对比法易错点考虑问题不全面，造成判定两个三角形全等出错16．已知：如图，AC＝DF，BC＝EF，下列条件中，不能证明△ABC≌DEF的是（）A．AC∥DF B．AD＝BE C．∠CBA＝∠FED＝90° D．∠C＝∠F【解答】解：A、由AC∥DF可得∠A＝∠FDB，再加上条件AC＝DF，BC＝EF，不能证明△ABC≌DEF，故此选项正确；B、AD＝BE可得AB＝DE，再加上条件AC＝DF，BC＝EF，可利用SSS定理证明△ABC≌DEF，故此选项错误；C、∠CBA＝∠FED＝90°可利用HL定理证明△ABC≌DEF，故此选项错误；D、∠C＝∠F可利用SAS定理证明△ABC≌DEF，故此选项错误；故选：A．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【方法四】成果评定法一、单选题1．（2023上·四川内江·八年级校考期中）已知，，与相交于点，如果，那么下列结论：①；②；③；④中正确的有A．①②③④ B．①②③ C．①② D．②③【答案】A【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，在直角三角形中，由于斜边与一直角边都相等，所以可得另一直角边也相等，进而可得，得出其对应的边角相等，进而又得出，从而即可判断题中的结论是否正确．【详解】解：如图：在与中，，，，，，，在与中，，，，即题中四个结论都正确．故选：A．2．（2023上·广东惠州·八年级校考期中）如图，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查直角三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，证明，利用三角形内角和即可求解．【详解】解：在与中，，∴，∴，∴，故选：D．3．（2023上·广西南宁·八年级校考阶段练习）如图，点P在的平分线上，若使，则需添加的一个条件，不可添加的条件是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据全等三角形的判定定理结合已知条件逐项判断即可解答．【详解】解：∵点P在的平分线上，∴,∵,∴A.添加，构成,可判定，故A选项不符合题意；B.添加，构成,可判定，故B选项不符合题意；C.添加,构成，不可判定，故C选项符合题意；D.添加,构成，可判定，故D选项不符合题题意．故选C．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的5种判定方法分别是,掌握不能判定三角形全等是解答本题的关键．4．（2023上·山东临沂·八年级校考阶段练习）下列三角形不一定全等的是（

）A．有两个角和一条边对应相等的两个三角形全等B．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等C．斜边和一个角对应相等的两个直角三角形全等D．三边对应相等的两个三角形全等【答案】B【分析】根据三角形全等的判定定理，以及通过两边及一边的对角不能判定三角形全等和已知三角对应相等不能判定三角形全等，即可解决．【详解】解：A、运用的是全等三角形判定定理中的或，因此结论正确；B、有两条边和一个角对应相等的三角形不一定全等，因为角的位置没有确定，不一定全等；C、运用的是全等三角形判定定理中的或，因此结论正确；D、运用的是全等三角形判定定理中的，因此结论正确；故选：B．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．5．（2023上·广东广州·八年级校联考期中）如图，，，添加下列哪些条件可以推证（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先证明，然后依据全等三角形的判定定理即可选项进行判断即可．【详解】解：,，即，又，要使，只能用来证明；A、添加不能证明，故此选项错误；B、添加可利用判定，故此选项正确；C、添加可得，不能证明，故此选项错误；D、添加不能证明，故此选项错误；故选：B．【点睛】本题主要考查的是全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．6．（2023上·辽宁抚顺·八年级统考期中）如图，中，，，，点在的边上，，以为直角边在同侧作等腰直角，连接，则（）A． B．2 C．3 D．【答案】D【详解】本题考查了全等三角形的判定与性质，过点作于，证明，由全等三角形的性质得出，，进而利用三角形面积公式解答即可．【解答】过点作于，，，，，在和中，，，，，，，故选：D．7．（2023上·内蒙古巴彦淖尔·八年级校考阶段练习）小明学习了全等三角形后总结了以下结论：①全等三角形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边上的中线相等；③面积相等的两个三角形是全等图形；④全等三角形的周长相等其中正确的结论个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据全等三角形的判定及性质逐一判断即可．【详解】解：①全等三角形的形状相同、大小相等；①正确，②全等三角形的对应边上的中线相等；；②正确，③面积相等的两个三角形不一定是全等图形，故③错误，④全等三角形的周长相等，④正确，∴①②④正确，共3个，故答案为：C．【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，全等三角形的对应边相等，对应角相等，对应边上的中线、高都相等，理解并掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．8．（2023上·江苏徐州·八年级校考阶段练习）如图相交于点，用“”证还需（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用对顶角相等得，则要根据“”证需添加对应边相等．【详解】解：，，∴当时，可利用“”判断．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．9．（2023上·辽宁盘锦·八年级校考阶段练习）如图：在三角形ABC中，，、，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先证明，得，再结合三角形的外角性质，即可作答．【详解】解：因为，，，所以，则，因为，所以，故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定、以及三角形的外角性质，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．10．（2023上·安徽芜湖·八年级统考期中）如图，，添加下列条件，仍不能判断的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查的是添加条件判定三角形全等，本题先把，，转化为证明全等三角形的直接条件，再逐一分析每个选项结合全等三角形的判定方法可得结论；熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键．【详解】解：∵，∴，A、：，是，不能判断三角形全等，选项符合题意；B、∵，∴，∴，，利用可得三角形全等，不符合题意；C、，，，利用可得三角形全等，不符合题意；D、∵，∴，∴，，，利用可得三角形全等，不符合题意；故选A．二、填空题11．（2023上·江苏南京·八年级校考阶段练习）如图，于点B，于点D，．若要用“”判定，则需要添加的条件为．【答案】【分析】斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，由此即可得到答案．【详解】添加的条件为，，，∵于点B，于点D，，在和中，，∴．故答案为：．【点睛】本题考查直角三角形的判定，关键是掌握直角三角形的判定方法“”．12．（2023上·浙江·八年级专题练习）和中，，，，、分别为、边的高，且，则的度数为．【答案】或【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，分、都在三角形内部，、有一个在三角形外部两种情况，再证明进行求解是解题的关键．【详解】解：若、都在三角形内部，如图1所示，∵、分别为、边的高，∴，都为直角三角形，在和中，，∴，∴；若、有一个在三角形外部，如图2所示，∵、分别为、边的高，∴，都为直角三角形，在和中，，∴，∴，∴，综上，的度数为或，故答案为：或．13．（2023上·江苏南京·八年级校考阶段练习）如图，要测量池塘的宽度，在池塘外选取一点，连接并各自延长，使，连接，测得长为，则池塘宽为，依据是．【答案】【分析】根据所给的条件，可利用证明得到，据此可得答案．【详解】解：在和中，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了全等三角形的应用，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键．14．（2023上·山东临沂·八年级校考阶段练习）如图，，，则图中全等三角形有对．【答案】6【分析】图中共有6对全等三角形，分别为，，，，，，均可以运用全等三角形的判定证明．【详解】解：连接，如图所示，，，，，，，，，同理可证：，，，则共有6对故答案为：6．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．三、解答题15．（2023上·江苏南京·八年级校考阶段练习）【问题提出】数学课上，学习了直角三角形全等的判定方法（即“”）后，我们继续对“两个直角三角形满足一条直角边和周长分别相等”的情形进行研究．【问题解决】(1)如图①，在和中，，，和的周长相等．求证：．(2)下列命题是真命题的有．A．斜边和周长分别相等的两个直角三角形全等B．斜边和面积分别相等的两个直角三角形全等C．一个锐角和周长分别相等的两个直角三角形全等【答案】(1)见解析(2)A、B、C【分析】（1）根据勾股定理和直角三角形全等的判定可得结论；（2）根据三角形全等的判定方法一一判断即可．【详解】（1）解：如图，在和中，分别延长，至，，使得，，连接，，，且和的周长相等，，，，，，，，，，，，，，，，，；（2）A．斜边和周长分别相等的两个直角三角形全等，同（1）的方法即可证明，是真命题；B．斜边和面积分别相等的两个直角三角形全等，是真命题；如图所示，，分别取中点，则，∴∴，∴，∴∴∴C．一个锐角和周长分别相等的两个直角三角形全等，如图所示，分别作等腰三角形，同（1）的方法证明，是真命题；故答案为：A，B，C．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题．16．（2023上·云南·八年级云南师范大学实验中学校考阶段练习）已知，如图，与交于点，点是线段的中点，．求证：．【答案】见解析【分析】根据中点可得，然后证明，最后利用全等三角形的的性质即可证明．【详解】证明：点是线段的中点，，，，，．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，较为简单，找到三角形全等的条件是关键．17．（2023上·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图，点B，F，C，E在直线l上（点F，C之间不能直接测量），点A，D在l的异侧，，，测得．(1)求证：；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据平行线的性质得到，由此利用证明；（2）根据全等三角形的性质得到，求出，由此求出的长．【详解】（1）证明：∵，∴，在与中，

∴；（2）∵∴∴，∵，∴．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，正确掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．18．（2023上·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在中，为的高，点E为上一点，交于点F，，．求证：．【答案】见解析【分析】首先根据题意得到，然后证明出，进而得到．【详解】∵为的高，∴，∴，