高中数学培优讲义练习（选择性必修一）：双曲线的标准方程和性质-重难点题型检测（教师版）

专题3.8双曲线的标准方程和性质-重难点题型检测参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022·全国·高二课时练习）“mn<0”是“mx2+nA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】先求方程mx【解答过程】因为方程mx2+n又当mn<0时，方程mx因此“mn<0”是“方程mx故选：C.2．（3分）（2022·全国·高二课时练习）已知平面上的定点F1，F2及动点M，甲：MF1−MF2=m（mA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据双曲线的定义直接判断即可.【解答过程】根据双曲线的定义，只有当0<m<F1F所以乙⇒甲，但甲⇏乙，所以甲是乙的必要不充分条件.故选：B.3．（3分）（2022·陕西·研究室三模（文））已知双曲线C：x2m2−yA．y=±12x B．y=±2x C．y=±【解题思路】根据双曲线离心率表达式e2=a【解答过程】由已知可得m2+3m2=2故选：D.4．（3分）（2022·全国·高二课时练习）双曲线x29−y216=1的两焦点为F1、F2，点P在双曲线上，直线PA．163 B．323 C．32【解题思路】根据已知条件求出焦距及∠F1P【解答过程】根据F1、F2为双曲线x2又直线PF1、PF2倾斜角之差为根据余弦定理可得cos∠整理得PF1根据点P在双曲线上可得PF则PF1①-②得，PF则△PF1F故选：A.5．（3分）（2022·江西鹰潭·二模（文））已知双曲线x2m−y25=1(m>0)的一条渐近线方程为5x+2y=0，左焦点为F，点P在双曲线右支上运动，点A．22+4 B．8 C．2【解题思路】根据双曲线的渐近线方程，结合双曲线的定义，结合两点间线段最短进行求解即可.【解答过程】由5x+2y=0⇒y=−52设圆x2+(y−4)2=1设该双曲线另一个焦点为F1(3,0)，所以求|PQ|+|PF|的最小值转化为求|PQ|+|PF因此当点A,Q,P,F1依次共线时，即|AF故选：B.6．（3分）（2022·安徽·高三阶段练习（理））已知O为坐标原点，双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为Fc,0，离心率e=23A．x26−C．x29−【解题思路】由题知C的渐近线方程为：y=±33x，两渐近线的夹角为60∘，根据对称性，不妨设AB与直线l1【解答过程】解：∵双曲线C的离心率e=2∴ca=23∴两渐近线的夹角为60∘不妨设AB与直线l1:y=3则∠AOB=∴c=2,a=3,b=1，即C故选：B.7．（3分）（2022·全国·高三专题练习）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告；正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚2s，已知各观测点到该中心的距离是680m，则该巨响发生在接报中心的（

）处(假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面上)A．西偏北45°方向，距离3403m B．东偏南45°方向，距离3403mC．西偏北45°方向，距离1703m D．东偏南45°方向，距离1703m【解题思路】建立平面直角坐标系，由条件确定该巨响发生的轨迹，联立方程组求其位置.【解答过程】如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系．设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（设P（x，y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得PA=PC，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=−x，因由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线左支x2依题意得a=340，故双曲线方程为x23402−y23×故PO＝故巨响发生在接报中心的西偏北450距中心340故选：A.8．（3分）（2022·安徽省高二期末）已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PA．4 B．3 C．2 D．1【解题思路】根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理、椭圆和双曲线的离心率公式进行求解即可.【解答过程】设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，设F1，F2是椭圆和双曲线的左右两个焦点，且F1F2由椭圆的定义可知：PF由双曲线的定义可知：PF由此可解得：m=a由余弦定理可知：2c2=m化简得：4c2=3所以3a1故选：A.二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022·全国·高三专题练习）若方程x23−t+y2A．若C为椭圆，则1<t<3 B．若C为双曲线，则t>3或t<1C．曲线C可能是圆 D．若C为椭圆，且长轴在y轴上，则1<t<2【解题思路】分别根据选项曲线的类型列出对应的不等式，解不等式判断即可【解答过程】若C为椭圆，则3−t>0t−1>03−t≠t−1，∴1<t<3且若C为双曲线，则(3−t)(t−1)<0，∴t>3或若C为圆，则3−t=t−1，∴t=2，故C正确若C为椭圆，且长轴在y轴上，则3−t>0t−1>0t−1>3−t，故选：BC.10．（4分）（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线M:x2a2−A．M的离心率为233 B．MC．M的渐近线方程为y=±33x D．直线x+y−2=0【解题思路】根据题意，过一三象限的渐近线的斜率为3或33两种情况，根据a>b>0【解答过程】根据题意双曲线M:x2a2−y2b2则过一三象限的渐近线的斜率为3或33，即ba=3或联立①②可得：a2=1，b2=3，c2=4或因为a>b，所以a2=3，b2=1，对A，则离心率为43对B，双曲线的方程为x2对C，渐近线方程为y=±3对D，直线x+y−2=0经过M的一个焦点(2,0)，所以D正确.故选：ACD.11．（4分）（2022·江苏省高二期末）双曲线C：x24−y22=1的右焦点为F，点PA．双曲线C的离心率为62B．若PO⊥PF，则△PFO的面积为2；C．|PF|的最小值为2；D．双曲线y24−【解题思路】由题知，双曲线方程a=2 , b=2 ，【解答过程】选项A，因为a=2 , b=2选项B，若PO⊥PF，又点P在双曲线C的一条渐近线上，不妨设在y=22x上，即2x−2y=0，点F(6,0)到渐近线的距离为d=2选项C，|PF|的最小值就是点F到渐近线的距离d=2选项D，它们的渐近线都是y=±2故选：ABD.12．（4分）（2021·山东·高三专题练习）已知P为双曲线C:x23−y2=1上的动点，过P作两渐近线的垂线，垂足分别为A，B，记线段PA，PBA．若PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1C．4m+n的最小值为3 D．|AB|的最小值为3【解题思路】写出渐近线方程，设P(x0,【解答过程】由题意双曲线的渐近线为y=±13x设P(x0,y0)，不妨设则k1=−3，kP在双曲线上，则x023m=x0−3y02，4m+n≥24mn=23，当且仅当4m=n时等号成立，即4m+n渐近线y=13x的斜率为k=13=33，倾斜角为π6，两渐近线夹角为π3，∴∠APB=2π3故选：ABD．三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022·全国·高三专题练习）点(3,0)到双曲线x216−y2b2=1【解题思路】根据双曲线的对称性不妨取双曲线x216−y2【解答过程】由题意，根据双曲线的对称性不妨取双曲线x216−故3bb2+16=9又a2=16，故故答案为：5414．（4分）（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线E：x2a2−y24=1a>0的离心率为2，若有一直线过E的右顶点A且与一条渐近线平行，交【解题思路】由双曲线的离心率求出a=2，得到A点坐标，渐近线方程，从而求出过点A且与渐近线平行的直线，从而求出B0,−2，△OAB【解答过程】双曲线E：x2a2−y所以E的右顶点A2,0，双曲线E的渐近线方程为y=±x，设过点A的直线与渐近线y=x平行，则其方程为y=x−2，则B0,−2所以S△AOB故答案为：2.15．（4分）（2022·浙江嘉兴·高三阶段练习）已知点M−5,0，点P在曲线x29−y216=1x>0上运动，点Q【解题思路】作出图形，分析可知PM=PC+6，PQ【解答过程】如下图所示：在双曲线x29−y216=1圆x−52+y2=1所以，双曲线x29−y2由双曲线的定义可得PM=PC+2a=所以，PM2当且仅当Q为射线PC与圆C的交点，且PC=4故PM2PQ的最小值是故答案为：20.16．（4分）（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的渐近线方程为y=±3x，若动点P在C的右支上，F1，F2【解题思路】根据OP⋅OF2的最小值是2a可得c=2，进而结合渐近线方程可得方程组ba=3【解答过程】设Px,y，且x≥a，F2c,0，则OP=x,y,OF2=c,0，因此OP⋅所以ba=3c=2c设PF2=t（t≥1所以PF12PF即|PF故答案为：8.四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022·全国·高二课时练习）相距2km的两个哨所A，B听到远处传来的炮弹爆炸声，在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所迟4s.已知当时的声速为340m/s，试判断爆炸点在什么样的曲线上，并求出曲线的方程.【解题思路】根据题意，建立平面直角坐标系，根据双曲线的定义，即可求得双曲线方程.【解答过程】设爆炸点为P，由已知，得PA−因为AB=2km=2000所以点P在以点A，B为焦点的双曲线并靠近点B的那一支上.以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如下所示：由2a=1360，2c=2000，得a=680，c=1000，b2因此，点P所在曲线是双曲线的右支，它的方程是x2462400−18．（6分）（2022·全国·高二课时练习）已知x21−k−(1)方程表示双曲线；(2)表示焦点在x轴上的双曲线；(3)表示焦点在y轴上的双曲线．【解题思路】利用双曲线标准方程中的分母的正负，即可得出结论．【解答过程】（1）∵x21−k−∴(k－1)(|k|－3)＜0，可得k＜－3或1＜k＜3；（2）∵x21−k−y2则k−1＞03−|k|＞0∴1＜k＜3；（3）∵x21−k−y2则|k|−3＞01−k＞0∴k＜－3．19．（8分）（2022·全国·高三专题练习）在①左顶点为−3,0，②双曲线过点32,4，③离心率问题：已知双曲线与椭圆x2(1)求双曲线的方程；(2)若点P在双曲线上，且PF1=8注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解题思路】（1）通过双曲线与椭圆x249+y224=1（2）根据双曲线定义的几何意义PF【解答过程】（1）因为双曲线与椭圆x249+y2选①，设双曲线的方程为x2a2−y2b2=1选②，设双曲线的方程为x2a2−y2b2=1a>0,b>0，由双曲线过点32选③，设双曲线的方程x2a2−y2b2=1（2）因为PF1=8，PF120．（8分）（2022·江西·高二期末（文））若F1，F(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于10，求点M到另一个焦点距离；(2)如图若P是双曲线左支上一点，且|PF1|⋅|P【解题思路】（1）利用双曲线的定义，根据点M到一个焦点的距离求点M到另一个焦点的距离即可；（2）先根据定义得到|PF2|−|PF1|=10，两边平方求得【解答过程】(1)F1,F2是双曲线点M到它的一个焦点的距离等于10，设点M到另一个焦点的距离为m，则由双曲线定义可知，|m−10|=2a=10，解得m=20或m=0（舍去）即点M到另一个焦点的距离为20；(2)P是双曲线左支上的点，则|PF则|PF2|所以|PF即|PF所以△F1P所以S△21．（8分）（2022·全国·高二课时练习）某电厂冷却塔的外形是由C1双曲线的一部分绕其虚轴所在的直线旋转所形成的曲面.如图所示，已知它的最小半径为20m，上口半径为105m，下口半径为(1)求此双曲线C1(2)定义：以（1）中求出的双曲线C1的实轴为虚轴，以C1的虚轴为实轴的双曲线C2叫做C(3)对于（2）中的双曲线C1､C2的离心率分别为e1､e2，写出【解题思路】（1）以冷却塔的轴截面的最窄处所在的直线为x轴，垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为x2a2−yAB=205m（2）以（1）中方程中的x,y互换位置可得答案；（3）e1与e2满足的一个关系式为1e12【解答过程】（1）以冷却塔的轴截面的最窄处所在的直线为x轴，垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为x2a2−y2b2=1a>0,b>0，由题意知CD=2a=40m，所以a=20，AB=205m，（2）以（1）中求出的双曲线C1的实轴为虚轴，以C1的虚轴为实轴的双曲线C2（3）e1与e2满足的一个关系式为1e12+1e22=1，证明如下，双曲线C1的半焦距c=400+1600=205，所以双曲线C1的离心率为e1=22．（8分）（2021·河北省高二期中）已知：双曲线x2a2−y2b2=1（1）求双曲线