高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课时提升作业 理试题

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·唐山模拟)命题“∀x∈QUOTE,x3+x≥0”的否定是()A.∀x∈QUOTE,x3+x<0B.∀x∈QUOTE,x3+x≥0C.∃x0∈QUOTE,QUOTE+x0<0D.∃x0∈QUOTE,QUOTE+x0≥0【解析】选C.命题“∀x∈QUOTE,x3+x≥0”的否定是“∃x0∈QUOTE,QUOTE+x0<0”.【加固训练】“∃x0∉M,p(x0)”的否定是()A.∀x∈M,p(x) B.∀x∉M,p(x)C.∀x∉M,p(x) D.∀x∈M,p(x)【解析】选C.命题“∃x0∉M,p(x0)”的否定是“∀x∉M,p(x)”.2.(2016·长沙模拟)若命题p:∃x0∈R,x0-2>0,命题q:∀x∈R,QUOTE<x,则下列说法正确的是()A.命题p∨q是假命题B.命题p∧(q)是真命题C.命题p∧q是真命题D.命题p∨(q)是假命题【解析】选B.显然p是真命题,当x=QUOTE时,QUOTE=QUOTE=QUOTE>QUOTE=x,所以q是假命题,所以q是真命题,由“或”“且”命题的真值表知B正确.【加固训练】已知命题p:{1}⊆{1,2},q:∅∈{0},则下列命题为真的是()A.p B.p∧qC.p∧(q) D.(p)∨q【解析】选C.由子集的意义知p真,q假,所以p假,p∧q假,p∧(q)真,(p)∨q假.3.(2016·郑州模拟)若命题“∃x0∈R,使QUOTE+(a-1)x0+1<0”是假命题,则实数a的取值范围是()A.[-1,3] B.[1,4]C.(1,4) D.(-∞,-1]∪[3,+∞)【解析】选A.由题意,知“∀x∈R,x2+(a-1)x+1≥0”是真命题,所以Δ=(a-1)2-4≤0,解得-1≤a≤3.4.设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:∀x∈A,2x∈B,则()A.p:∀x∈A,2x∉BB.p:∀x∉A,2x∉BC.p:∃x0∉A,2x0∈BD.p:∃x0∈A,2x0∉B【解析】选D.命题p:∀x∈A,2x∈B的否定是p:∃x0∈A,2x0∉B.【加固训练】1.(2016·南昌模拟)下列说法中正确的是()A.若命题p:∀x∈R有x2>0,则p:∀x∈R有x2≤0B.若命题p:QUOTE>0,则p:QUOTE≤0C.若p是q的充分不充要条件,则p是q的必要不充分条件D.方程ax2+x+a=0有唯一解的充要条件是a=±QUOTE【解析】选C.A选项,因为p:∃x0∈R有QUOTE≤0,所以错误;B选项,因为p:QUOTE≤0或x=1,所以错误;C选项,若p⇒q,其等价命题为q⇒p,即p是q的必要不充分条件,所以正确;D选项,当a=0时,也有唯一解,所以错误.2.已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若x>y,则x2>y2.在命题①p∧q;②p∨q;③p∧(q);④(p)∨q中,真命题是()A.①③ B.①④ C.②③ D.②④【解析】选C.由不等式的性质,得p真,q假.由含“或、且、非”的命题的真假判断得到①假,②真,③真,④假.3.(2016·汕头模拟)下列说法正确的是()A.命题“若ax2<bx2,则a<b”的逆命题是真命题B.命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为假命题C.命题“p且q”为假命题,则命题“p”和命题“q”均为假命题D.命题“∃t0∈R,QUOTE-t0≤0”的否定是“∀t∈R,t2-t>0”【解析】选D.因为当x=0时,若a<b,则ax2<bx2不成立,所以A不正确;因为原命题“若x=y,则sinx=siny”为真,其逆否命题也为真,所以B不正确;因为p与q中只要有一个为假,则p且q为假,所以C不正确;命题D显然为真.5.设a,b,c是非零向量,已知命题p:若a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q:若a∥b,b∥c,则a∥c.则下列命题中真命题是()A.p∨q B.p∧qC.(p)∧(q) D.p∨(q)【解析】选A.当非零向量a,c方向相同且都和非零向量b垂直时,有a·b=0,b·c=0成立,但是a·c=0不成立,可知命题p是假命题,命题p是真命题;易知命题q为真命题,命题q是假命题.结合复合命题的真假判断方法知,选项A正确.【加固训练】已知命题p:函数y=ax(a>0且a≠1)在R上是增函数,命题q:loga2+log2a≥2(a>0且a≠1),则下列命题为真命题的是()A.p∨q B.p∧qC.(p)∧q D.p∨(q)【解析】选D.当0<a<1时,y=ax在R上是减函数,因此p假,p真,当a=QUOTE时,loga2+log2a=-2<2,因此q假,q真.从而命题p∨(q)为真命题.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知命题p:x2+4x+3≥0,q:x∈Z,且“p且q”与“非q”同时为假命题,则x=.【解析】若p为真,则x≥-1或x≤-3,因为“非q”为假,则q为真,即x∈Z,又因为“p且q”为假,所以p为假,故-3<x<-1,由题意,得x=-2.答案:-27.已知命题p:“∃x0∈R,QUOTE-mx0+1≤0”,若p真,则实数m的取值范围是.【解题提示】联系二次函数的图象求解.【解析】因为二次函数y=x2-mx+1的图象开口向上,若p真,则Δ=(-m)2-4≥0,即m2-4≥0,解得m≥2或m≤-2.答案:(-∞,-2]∪[2,+∞)8.已知下列命题.①∃x0∈QUOTE,sinx0+cosx0≥QUOTE;②∀x∈(3,+∞),x2>2x+1;③∃x0∈R,QUOTE+x0=-1;④∀x∈QUOTE,tanx>sinx.其中真命题为.(填序号)【解析】对于①,当x0=QUOTE时,sinx0+cosx0=QUOTE,所以此命题为真命题;对于②,当x∈(3,+∞)时,x2-2x-1=(x-1)2-2>0,所以此命题为真命题;对于③,∀x∈R,x2+x+1=QUOTE+QUOTE>0,所以此命题为假命题;对于④,当x∈QUOTE时,tanx<0<sinx,所以此命题为假命题.答案:①②(20分钟40分)1.(5分)(2016·石家庄模拟)已知函数f(x)=log2(x+a)+log2(x-a)(a∈R).命题p:∃a∈R,函数f(x)是偶函数;命题q:∀a∈R,函数f(x)在定义域内是增函数,那么下列命题为真命题的是()A.q B.p∧qC.(p)∧q D.p∧(q)【解析】选C.因为当a≥0时,由QUOTE得x>a,即函数的定义域为(a,+∞),当a<0时,由QUOTE得x>-a,即函数的定义域为(-a,+∞).所以命题p为假.因为y=log2(x+a)是增函数,y=log2(x-a)是增函数,所以函数f(x)=log2(x+a)+log2(x-a)在定义域内是增函数,即q为真.故q为假,p∧q为假,(p)∧q为真,p∧(q)为假.2.(5分)(2016·太原模拟)已知命题p:∃x0∈R,QUOTE-mx0=0,q:∀x∈R,x2+mx+1≥0,若p∨(q)为假命题,则实数m的取值范围是()A.(-∞,0)∪(2,+∞) B.[0,2]C.R D.∅【解题提示】根据p∨(q)为假命题确定p,q的真假,再根据p,q的真假求m的取值范围.【解析】选B.由p∨(q)为假命题知p假q真.由p假知命题“∀x∈R,ex-mx≠0”为真命题,即函数y=ex与y=mx的图象无交点.设直线y=mx与曲线y=ex相切的切点为(x′0,y′0),则切线方程为y-QUOTE=QUOTE(x-x′0),又切线过原点,则可求得x′0=1,y′0=e,从而m=e,所以命题p为假时有0≤m<e.命题q为真时有Δ=m2-4≤0.即-2≤m≤2.综上知,m的取值范围是0≤m≤2.3.(5分)已知命题p:∃x0∈R,x0-2>lgx0;命题q:∀x∈R,-x2+x-1<0.给出下列结论:①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧q”是假命题;③命题“p∨q”是真命题;④命题“p∨q”是假命题.其中所有正确结论的序号为.【解析】对于命题p,取x0=10,则有10-2>lg10成立,故命题p为真命题;对于命题q,方程-x2+x-1=0,即x2-x+1=0,Δ=1-4×1<0,故方程无解,所以命题q为真命题.综上“p∧q”是真命题,“p∧q”是假命题,“p∨q”是真命题,“p∨q”是真命题,即正确的结论为①②③.答案:①②③【加固训练】(2016·成都模拟)已知命题p:∃x0∈R,2-x0>QUOTE,命题q:∀a∈(0,+∞)且a≠1,loga(a2+1)>0,给出下列结论:①命题p∨q是假命题;②命题p∧q是真命题;③命题p∨q是假命题;④命题p∧q是真命题.其中正确的是.【解析】对于命题p:∃x0∈R,2-x0>QUOTE,当x0=0时,此式成立,故是真命题;命题q:∀a∈(0,+∞)且a≠1,loga(a2+1)>0,当0<a<1时,对数式的值是负数,故命题q是假命题.由此知命题p∨q是真命题,命题p∧q是真命题,命题p∨q是真命题,命题p∧q是假命题.答案:②4.(12分)已知命题p:方程2x2+ax-a2=0在[-1,1]上有解;命题q:只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0,若命题“p∨q”是假命题,求a的取值范围.【解析】由2x2+ax-a2=0,得(2x-a)(x+a)=0,所以x=QUOTE或x=-a,所以当命题p为真命题时,QUOTE≤1或|-a|≤1,所以|a|≤2.又“只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0”.即抛物线y=x2+2ax+2a与x轴只有一个公共点,所以Δ=4a2-8a=0,所以a=0或a=2.所以当命题q为真命题时,a=0或a=2.因为命题“p∨q”为假命题,所以a>2或a<-2;即a的取值范围为a>2或a<-2.5.(13分)设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a>0,q:实数x满足QUOTE(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围.(2)若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值