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第八章波动【例题精选】例8-1如图，一平面波在介质中以波速u=20m/s沿x轴负方向传播，已知A点的振动方程为(SI)．(1)以A点为坐标原点写出波的表达式；(2)以距A点5m处的B点为坐标原点，写出波的表达式．解：(1)坐标为x点的振动相位为波的表达式为(SI)(2)以B点为坐标原点，则坐标为x点的振动相位为(SI)波的表达式为(SI)例8-2已知波长为的平面简谐波沿x轴负方向传播．x=/4处质点的振动方程为(SI)(1)写出该平面简谐波的表达式．(2)画出t=T时刻的波形图．解：(1)如图A，取波线上任一点P，其坐标设为x，由波的传播特性，P点的振动落后于/4处质点的振动．波的表达式(SI)(2)t=T时的波形和t=0时波形一样．t=0时按上述方程画的波形图见图B．例8-3某质点作简谐振动，周期为2s，振幅为0.06m，t=0时刻，质点恰好处在负向最大位移处，求：(1)该质点的振动方程；(2)此振动以波速u=2m/s沿x轴正方向传播时，形成的一维简谐波的波动表达式，（以该质点的平衡位置为坐标原点）；(3)该波的波长．解：(1)振动方程(SI)(2)波动表达式(SI)(3)波长m例8-4一平面简谐波沿Ox轴正向传播，波动表达式为，则x1=L1处质点的振动方程是；x2=-L2处质点的振动和x1=L1处质点的振动的相位差为2-1=．例8-5一平面简谐波的表达式为(SI)，其波速u=；波长=．338m/s例8-6已知一平面简谐波的表达式为，（a、b均为正值常量），则波长为；波沿x轴传播的速度为．2/ba/b例8-7一平面简谐波的表达式为．在t=1/时刻，x1=3/4与x2=/4二点处质元速度之比是(A)-1．(B)．(C)1．(D)3．[A]例8-8沿x轴负方向传播的平面简谐波在t=2s时刻的波形曲线如图所示，设波速u=0.5m/s．求：原点O的振动方程．解：由图，=2m，又∵u=0.5m/s，∴=1/4Hz，T=4s．题图中t=2s=．t=0时，波形比题图中的波形倒退，见图．此时O点位移y0=0（过平衡位置）且朝y轴负方向运动，∴(SI)例8-9一平面简谐波沿x轴正向传播，波的振幅A=10cm，波的角频率=7rad/s.当t=1.0s时，x=10cm处的a质点正通过其平衡位置向y轴负方向运动，而x=20cm处的b质点正通过y=5.0cm点向y轴正方向运动．设该波波长>10cm，求该平面波的表达式．解：设平面简谐波的波长为，坐标原点处质点振动初相为，则波的表达式可写成(SI)t=1s时因此时a质点向y轴负方向运动，故①b质点正通过y=0.05m处向y轴正方向运动，应有且②由①、②两式联立得=0.24m∴该平面简谐波的表达式为(SI)例8-10图示一简谐波在t=0时刻与t=T/4时刻（T为周期）的波形图，则o处质点振动的初始相位为；x1处质点的振动方程为．/2例8-11图所示为一平面简谐波在t=0时刻的波形图，设此简谐波的频率为250Hz，且此时质点P的运动方向向下，求：(1)该波的表达式；(2)在距原点O为100m处质点的振动方程与振动速度表达式．解：(1)由P点的运动方向，可判定该波向左传播．原点O处质点，t=0时,所以O处振动方程为(SI)由图可判定波长=200m，故波动表达式为(SI)(2)距O点100m处质点的振动方程是振动速度表达式是(SI)例8-12一平面简谐波在弹性媒质中传播时，某一时刻媒质中某质元在负的最大位移处，则它的能量是(A)动能为零，势能最大．(B)动能为零，势能为零．(C)动能最大，势能最大．(D)动能最大，势能为零．[B]例8-13设入射波的表达式为，在x=0处发生反射，反射点为一固定端．设反射时无能量损失，求：(1)反射波的表达式(2)合成的驻波的表达式．解：(1)反射点是固定端，所以反射有相位突变，且反射波振幅为A，因此反射波的表达式为(2)驻波的表达式是例8-14如果入射波的表达式是，在x=0处发生反射后形成驻波，反射点为波腹．设反射后波的强度不变，则反射波的表达式y2=；在x=2/3处质点合振动的振幅等于．A例8-15在固定端x=0处反射的反射波表达式是.设反射波无能量损失，那么入射波的表达式是y1=；形成的驻波的表达式是y=．例8-16驻波表达式为，则处质点的振动方程是；该质点的振动速度表达式是．例8-17在驻波中，两个相邻波节间各质点的振动(A)振幅相同，相位相同．(B)振幅不同，相位相同．(C)振幅相同，相位不同．(D)振幅不同，相位不同．[B]【练习题】8-1一横波沿绳子传播，其波的表达式为：(SI)(1)求此波的振幅、波速、频率和波长．(2)求绳子上各质点的最大振动速度和最大振动加速度．(3)求x1=0.2m处和x2=0.7m处二质点振动的相位差．解：(1)已知波的表达式为与标准形式比较得A=0.05m，=50Hz，=1.0mu==50m/s(2)m/sm/s2(3)，二振动反相8-2一平面简谐波，其振幅为A，频率为．波沿x轴正方向传播．设t=t0时刻波形如图所示．则x=0处质点的振动方程为(A)．(B)．(C)．(D)．[B]8-3已知一平面简谐波的表达式为，（b、d为正值常量），则此波的频率=；波长=．b/22/d8-4一平面简谐机械波沿x轴正方向传播，波动表达式为(SI)，则波速u=；x=-3m处媒质质点的振动加速度a的表达式为．2m/s8-5一平面简谐波沿x轴正向传播，其振幅和角频率分别为A和，波速为u，设t=0时的波形曲线如图所示．(1)写出此波的表达式．(2)求距O点为/8处质点的振动方程．(3)求距O点为/8处质点在t=0时的振动速度．解：(1)以O点为坐标原点．由图可知，该点振动初始条件为，所以波的表达式为(2)处振动方程为(3)t=0，处质点振动速度8-6如图所示，有一平面简谐波沿x轴负方向传播，坐标原点O的振动规律为），则B点的振动方程为(A)．(B)．(C)．(D)．[D]8-7已知一平面简谐波的表达式为(SI)．(1)求该波的波长，频率和波速u的值；(2)写出t=4.2s时刻各波峰位置的坐标表达式，并求出此时离坐标原点最近的那个波峰的位置．解：(1)由波数k=2/得波长=2/k=1m由=2得频率=/2=2Hz波速u==2m/s(2)波峰的位置，即y=A的位置．由有(k=0，±1，±2，…)解上式，有．当t=4.2s时，m．所谓离坐标原点最近，即|x|最小的波峰．在上式中取k=8，可得x=-0.4的波峰离坐标原点最近．8-8与例8-3相同8-9一平面简谐波沿Ox轴正方向传播，波长为．若如图P1点处质点的振动方程为，则P2点处质点的振动方程为；与P1点处质点振动状态相同的那些点的位置是．(k=1,2,…)8-10一平面简谐波在弹性媒质中传播，媒质质元从平衡位置运动到最大位移处的过程中：(A)它的动能转换成势能．(B)它的势能转换成动能．(C)它从相邻的一段质元获得能量其能量逐渐增大．(D)它把自己的能量传给相邻的一段质元，其能量逐渐减小．[D]8-11一平面简谐波在弹性媒质中传播，在某一瞬时，媒质中某质元正处于平衡位置，此时它的能量是(A)动能为零，势能最大．(B)动能为零，势能为零．(C)动能最大，势能最大．(D)动能最大，势能为零．[C]8-12一平面简谐波沿Ox轴正方向传播，波的表达式为,而另一平面简谐波沿Ox轴负方向传播，波的表达式为，求：(1)x=/4处介质质点的合振动方程；(2)x=/4处介质质点的速度表达式．解：(1)x=/4处,∵y1，y2反相∴合振动振幅,合振动的初相和y2的初相一样为．合振动方程(2)x=/4处质点的速度8-13在绳子上传播的平面简谐入射波表达式为，入射波在x=0处绳端反射，反射端为自由端．设反射波不衰减，证明形成的驻波表达式为：证明：入射波在x=0处引起的振动方程为，由于反射端为自由端，所以反射波在O点的振动方程为∴反射波为驻波方程8-14如图所示，两相干波源在x轴上的位置为S1和S2，其间距离为d=30m