复习一元二次方程知识精讲(教师用)

复习一元二次方程知识精讲〔教师用〕【本讲知识要点】1.一元二次方程的定义及解法：一元二次方程概念的学习，要抓住其本质：含有一个未知数，未知数的次数是二次，且是整式方程。它的一般形式是ax2＋bx＋c＝0〔a≠0〕解一元二次方程时，如果方程符合直接开平方的特点，就采用直接开平方法。其次考虑因式分解法，因为这种方法最快捷，再次考虑求根公式法，这种方法是万能的，它能求所有有实数根的一元二次方程，最后考虑配方法，因为这种方法较为复杂，但这种方法很重要，在后面的学习中要会用配方方法解决有关知识，同时这种方法常用于证明一个式子恒大于零或恒小于零。2.根的判别式与根与系数的关系〔韦达定理〕，3.一元二次方程的应用对于列一元二次方程解应用题，关键是审清题意，发现题目中明显的或隐藏的等量关系，将其转换成数学式子，就可获得方程从而解决问题。其根本步骤有：〔1〕审题、明确量与未知量，找出等量关系。〔2〕设未知数，可直接设也可间接设。〔3〕列方程，把等量关系转化为方程。〔4〕解方程。〔5〕检验，结果是否符合实际意义。〔6〕写出答语。【典型例题】〔一〕根底知识题例1.用适当的方法解以下方程：分析：根据方程特点选择方法。解：说明：一元二次方程解法的选择，一般为直接开平方法〔特定形式〕→因式分解法→公式法，假设没有特别说明一般不采用配方法，其中公式法是一般方法适用于任意一元二次方程；因式分解法和直接开平方法是特殊方法，在解方程时比拟简便。例2.试根据m的值讨论关于x的方程分析：此题没有明确方程的类别〔方程的次数〕，应分类讨论，因此，先要对二次项系数m－2是否为0展开讨论。在m－2≠0的情况下再利用判别式来分析。解：〔1〕〔*〕例3.假设两个关于x的方程x2＋x＋a＝0与x2＋ax＋1＝0有一个公共的实数根，求a的值。分析：首先理解公共根的意义，就是同时满足两个不同方程的根，其次利用“转化〞思想，利用方程的根的定义，将公共根代入两个方程，再利用方程组求a的值。解：设两个方程的公共根为x0，那么〔二〕应用专题1.有关数字问题解数字问题关键是正确而巧妙地设出未知量，一般采用间接设元法，如有关奇数个连续整数〔或连续偶数、奇数〕问题，一般设中间一个数为x，再用含x的代数式表示其他数，又如多位数问题，一般不直接设这个多位数，而是设这个多位数的某位上的数字，再用代数式表示其余数位的数字，然后根据题中提供的数量关系列方程。例1.一个两位数、十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数。分析：先理解数与数字之间的关系。两位数=十位数字×10+个位数字再将原来的两位数和对调后的两位数列表分析解：设原两位数的十位数字为x，那么个位数字为5-x解方程得：答：原来的两位数是32或23。2.有关面积问题解这类问题的关键是：〔1〕熟记特殊图形的面积公式；〔2〕会将不规那么图形变换成规那么图形，再找出各局部面积之间的关系，然后运用面积公式列出方程。例2.如下图，要建一个面积为130平方米的仓库，仓库的一边靠墙〔墙长为16米〕并在与墙平行的一边开一道1米宽的门，现有能围成分析：如下图，根据题意知，32米木板只须同三面、两面宽、一面长，还有1米宽的门。假设设宽为x米，那么长应为〔解：设仓库的宽为x米，那么长为〔33-2x〕米依题意得：x(33-2x)=130整理得：2x2-33x+130=0检验：答：仓库的长为13米，宽为103.有关增长率〔降低率〕问题解这类题的关键是能理解“增长了〞与“增长到〞的区别，并能理解第二次增长是在第一次的根底发生的。会通过分析、归纳，并记住公式：b=a〔1±x〕n其中a为增长〔或降低〕的根底数，x为增长〔或降低〕率，n为增长〔或降低〕的次数，b为增长〔或降低〕后的数量。例3.某农场的产量两年从50万公斤增加到万公斤，求平均每年的增长率。分析：增长了增长到第一年 50x 50+50x=50(1+x)第二年 50(1+x)·x 50(1+x)+50(1+x)·x=50(1+x)2解：设平均每年的增长率为x经检验：不合题意，舍去。答：平均每年增产率为10%。4.有关利润问题解决这类题的关键掌握两个根本数量关系：〔1〕利润=售价-进价〔单件〕〔2〕每件商品的利润×销售量=总利润例4.将进货价为40元的商品按50元的价格出售时，能卖出500个，该商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为了赚取8000元利润，售价应定为多少？这时的进货量应为多少个？售价定为多少时能获得最大利润，最大利润是多多少？分析：这个问题不能直接设，应设每个商品涨价x元，根据涨价1元，售量会减少10个，涨价x元，其销售量会减少10x个，列分析表如下：每件商品的利润销售量总利润〔50+x〕-40 〔500-10x〕 8000解：设每个商品涨价x元，那么销售价为〔50+x〕元，依题意得：答：要想赚得8000元，售价应定为60元或80元。假设售价为60元，那么进货量为400个；假设售价为80元，那么进货量为200个例5.〔创新题〕一块矩形耕地大小尺寸〔如图1所示〕要在这块土地上沿东西和南北方向分别挖2条和4条水渠，如果水渠的宽相等，而且要保证余下的可耕地面积为9600米2那么水渠应挖多宽？图1图2分析：这道题的难度是图形较复杂，如果单个考虑每一小块耕地面积，不可能找到解题思路，应理解挖渠所用土地面积只与挖渠的条数、渠道的宽度有关，而与渠道的位置无关，因此将图形稍作变换，问题即可解决〔如图2所示〕解：设水渠应挖x米宽经检验：x=96不合题意，舍去答：水渠应挖1米【应用题练习】1.一个两位数等于它的个位数字的平方，且个位数比十位数大3，那么这个两位数是〔C〕A.25 B.36 C.25或36 D.-25和-362.某商品原来每件的本钱是300元，由于连续两次降低本钱，现在的本钱是195元，设平均每次降低本钱的百分率为x，那么可列方程为〔B〕A.B.C.D.3.一个小组有假设干人，新年时互送贺年片一张，全组互送贺年片72张，那么这个小组共有人数是〔C〕A.12人 B.18人 C.9人 D.10人4.三个连续奇数，它们的平方和为251，那么这三个数分别为〔C〕A.7、9、11B.5、7、9C.7、9、11或-11、-9、-7D.5、7、9或-9、-7、-5二.解答题1.三个连续的正整数中，前两数的平方和等于第三个数的平方，求这三个数。解：设中间一个数为x，那么两端的数分别为x-1，x+1解得：〔舍去〕∴这三个数为3，4，52.某化肥厂今年一月份的化肥产量为4万吨，第一季度共生产化肥万吨，问2、3月份平均每月的增长率是多少？解：设2、3月份平均每月的增长率为x解略看清题，第一季度的产量为万吨，应为三个月产量之和3.在高尔夫球比赛中，某运发动打出的球在空中飞行的高度h〔m〕与球打出后飞行的时间t〔s〕之间的关系是：〔1〕经过多少秒钟后，球飞行的高度为9米〔2〕经过多少秒钟后，球又落到地面。解：〔1〕依题意得：〔直接利用公式〕解得：答：略4.学校把校园内一块长50m，宽40m的小长方形空地进行绿化，方案中间种花，四周留出宽度相同的地种草坪，且花坛面积占整个绿地面积的，求草坪的宽度。解：设草坪的宽度为xm〔不合题意，舍去〕答：草坪的宽度为10m。5.某人购置了1500元的债券，定期1年，到期兑换后他用去了435元后把其余的钱又购置了这种定期1年的债券〔利率不变〕，再到期后他兑换得到1308元，求这种债券的年利率。解：设年利率为x【应用题练习答案】1.C 2.B 3.C4.C二.解答题1.