XXX创新训练项目

创新训练项目——XXXXXXXXXXX的研究答辩人：XXX目录项目简介部分研究内容举例项目完成情况和体会1项目简介指导教师XXX项目负责人XXX数学项目组成员XXX信科XXX信科XXX数学XXX数学执行过程我们小组平均每两周进行一次集中讨论学习。学习形式主要是老师讲解与项目组成员轮流讲课相结合，在讨论的过程中将每个人遇到的问题解决。我们先后学习了《XXXXX》、《XXXXXX》等相关书籍，并在老师指导下补充研究了一些相关的学术论文等，深入了解了XXXX的经典理论和求解方法。项目实施第一学期：学习XXX。第二学期：先引入XXX，探讨XXX；然后介绍XXX；最后补充XXX。第三学期：总结项目内容，

完成结题报告。项目研究特色主要体现于研究方法和研究内容我们非常重视书本内容和学术论文相结合，学习后及时补充相关论文。通过查阅、学习微分方程学术论文，我们能获得启发，提高了创新思维和探究能力。了解常（偏）微分方程领域的经典理论，对课本相关内容进行深入细致的学习，还能将数学分析的知识用于微分方程求解。开拓视野，为后续研究奠定理论基础。2部分研究内容举例一类二阶变系数常微分方程的初等解法我们知道，一般的二阶变系数常微分方程是没有初等解的，但对于特殊的一些二阶变系数常微分方程可有初等解。我们讨论了称 为一元二次方程为方程(1)的特征方程，它的两个根称为特征根。由根与系数的关系，方程(1)可化为令则方程(2)变为一阶非齐线性微分方程。定理二阶变系数非齐线性方程(1)可积的一个充分条件是r为特征方程的根，不妨设 ，且(1)的通解为这里是特征根，为任意常数。首次积分先讨论常微分方程组的首次积分。常微分方程组是以n个分别带一任意常数的等式，由此引入首次积分与通积分。具体求首次积分时，将方程组写成对称形式，通过观察利用比例的性质可以积分得到一个首次积分。常微分方程组与一阶线性齐次和拟线性非齐次偏微分方程的解法关系密切，所以首次积分法也可以用于求解这两类偏微分方程。一阶线性偏微分方程的特征线法一阶线性齐次偏微分方程的一般形式为称 为上述方程的特征方程组特征方程组。做适当变换可得变量已经分离的等式，解之得相应的首次积分。如果找到n-1个彼此独立的首次积分，则原偏微分方程的通解是

核心：将一阶偏微分方程转化为常微分方程组处理，这个常微分方程组称为特征方程组，特征方程组的解称为特征曲线。称这种方法为求解一阶偏微分方程的特征线方法。用常微分方程组的经典求解办法可以求解该特征方程组。通过首次积分法也可以求解该特征方程组。例

求解初值问题解

原方程组的特征方程组为求得它的两个首次积分是这两个首次积分相互独立，于是原方程的通解为再由初始条件，本题最终的解是确定的，即分离变量法分离变量法求解非齐次方程齐次边界条件问题

特解法：由叠加原理，找非齐次方程的一个特解，可把方程齐次化，而这个特解就需要求解一个二阶常微分方程。为了保持边界条件的齐次性，还应要求特解满足齐次边界条件。

冲量法：通过冲量原理，把非齐次方程齐次初始条件的问题转化为齐次方程非齐次初始条件的问题。傅里叶级数法。3项目完成情况和体会项目成果完成情况论文《XXXXX》于XXXX年XX月发表于《XXXX》第

XX期组员XX参加XXXX年全国大学生数学建模竞赛荣获北京二等奖我们组按照计划顺利完成项目，书写结题报告心得体会三个学期的创新训练项目，我们一起学习了许多微分方程的知识，不仅对书本知识点掌握熟练了，而且对数学物理方程考试也有很大帮助，在为人处事方面也成熟许多，让我们受益终身。项目过程中，我们多次从实体书和网络上查阅文献