数学分析选讲参考答案

#bf(b)1cosf(x)dxcostdtaf(a)f(x)f(a)1f(b)costdtf(x)1f(a)costdtmf(b)1f(a)mf(b)costdt(sinf(a)sinf(b))m1f(a)mf(b)6、(10分)设yy(x)为可微函数.求y'(0)，其中yyex2eysinx7x(1)解：将已知等式两边对x求导得y'y'exyex2eyy'sinx2eycosx7 (2)将x=0代入(1)式解得y(0)0，再将x=0代入(2)得y'(0)y'(0)27,y'(0)7、(10分)(x)ln(1t)dt在-1<x<1有意义，证明(x)(x)1(x2)证明：令F(x)(x)(x)1(x2)，则dF(x)d(x)d(x)1d(x2)ln(1x)ln(1x)

xx(1)1ln(1x2)ln(1x)ln(1x)

xx(1)1ln(1x2)2x1F(x)C，即(x)(x)1(x2)C(1)21将x=0代入(1)C(0)(0)1(0)2但(0)0.C0.(x)(x)1(x2)

8、(10分)求幂级数(x1n)的收敛域。n1n2n解：由于limn1n1，则R=2，即当2x12时其绝对收敛nn2n2又当x+1=2，即x=1时，原级数为 1发散n1n当x12，即x3时，原级数为 (1)收敛n1n故原级数的收敛域为[3,1)9、(7分)证明：当x0时，(1x)ln(1x)arctanx.证明：设f(x)(1x)ln(1x)arctanx(x0)，则f(x)在［0,)连续.x2当x0时,f(x)ln(1x)0,则f(x)在［0,)单调增加。1x则对任意x0有f(x)f(0)0，即(1x)ln(1x)arctanx0(x0)110、(10分)设f(x)在0,1上可微，且满足f(1)22xf(x)dx0(1)求证：在(0,1)内至少存在一点，使f'()证明：由(1)证明：由(1)式及积分中值定理知，存在10，,12，使0f(1)21f(1)12,f(1)1f(1)(2)令F(x)xf(x),则由(2)式及假设可知F(x)在1，1上满足罗尔定理的条件，故存在(1,1)(0,1)使f'()11、(10分)求nxn1的收敛域，并求其和函数n1解：设an解：设ann2，则由liman1nan1及(1)n1n2都发散，n1可知 n2xn可知 n2xn1的收敛域为(1,-1).n1xx再由于f(t)dt n2tn1dt nxn00n1n1,x(1,1)f(x) n2xn1n1xx(0f(t)dt)'((1xx)2)'1x(1x)1x(1x)3x(1,1)112、(10分)设f(x)ex,x0试证明：f'(x)在x=0处连续.0,x0,11证明：2f'(x)limf(x)f(0)limelimx1x0xx0xx02ex12limx12x02ex2(23)xlimx12ex20x01则f'(x) x13ex,x0limx06limx064x12x12

3ex

x2limx1limx10f'(0)x因为F0F11因为F0F11ftdt0,又F在0,1上连续,在0,1内可导,由e 3ex因此f'（x）在x=0处连续.13、（6分）证明由积分确定的连续函数零点定理：设 fx在a,b上连续，若bafxdx0，则x0a,b，使得fx00.证明：用反证法.若对xa,b,fx0,由连续函数的零点定理可知,fx在a,b上不变号.不妨设在a,b上fx0,由定积分的性质可得afxdx0,此与条件矛盾,于是,必x0a,b，使得fx00.14、（10分）设fx在0,a上连续,且满足afxdx0.试证:0,a,使得faf0.证明：取变换xat,则dxdt,已知积分等式变为a0a0fxdxfatdtfatdt.注意到x0,a时,也有t0,a,因而fat在0,a上连续,于是0fxfaxdx0.由此可得0,a,使得faf0.15、(12分)设f在0,1上连续,在0,1内可导,且1fxdx0,记0xFx0xftdt,(1)求Fx;(2)求证: 0,1,使得0fxdxf;x解：(1)Fx0ftdtxfx;

罗尔中值定理,0,1,使得F0,即fxdxf;16、(7分)设x110，xn16xn(n1，2，)，试证数列xn存在极限，并求此极限。证明：由x110,x2 6x1164知，x1x2。假设xk xk1，则xk1 6 xk 6 xk1 xk 2，由归纳法知 xn 为单调下降数列，又显然有xn0，所以xn有下界。由单调有界原理知，数列xn收敛，所以可令lnimmxna，对xn16xn两边取极限得a6aa2a60，解得a3或a(2舍去),故limxn3n17、(10分)设17、(10分)设f(x)x3sin1,x0.，证明：x，证明：f(x)在x0处可微；f(x)在x00,x0.处不可微。证明：因为f(0)limf(x)f(0)limx2sin10，所以函数f(x)在x0处可x0x0x0x导，由可导与可微的关系知f(x)在x0处可微；11又当x0时，f(x)3x