一轮复习学案高考大题专项（四）突破2空间中的垂直与几何体的体积

突破2空间中的垂直与几何体的体积题型一证线线垂直及求几何体的体积【例1】(2020广东汕头一模,文18)在四棱锥P-ABCD中,平面PAC⊥平面ABCD,且有AB∥DC,AC=CD=DA=12AB(1)证明:BC⊥PA;(2)若PA=PC=22AC=2,Q在线段PB上,满足PQ=2QB,求三棱锥P-ACQ的体积解题心得证明线线垂直的方法(1)通过计算,运用勾股定理寻求线线垂直;(2)利用面面垂直寻求线面垂直,从而得到线线垂直;(3)应用等腰(等边)三角形三线合一性质,即三角形底边的中线同时是高和角分线,得到线线垂直;(4)应用两条平行线的性质,有一条与一个面中的直线垂直,则另一条也与平面中的直线垂直.对点训练1(2020广东化州二模,文18)如图,在三棱锥D-ABC中,O为线段AC上一点,平面ADC⊥平面ABC,且△ADO,△ABO为等腰直角三角形,斜边AO=42.(1)求证:AC⊥BD;(2)将△BDO绕DO旋转一周,求所得旋转体的体积.题型二证线面垂直及求几何体体积【例2】(2019全国2,文17)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⊥EC1.(1)证明:BE⊥平面EB1C1;(2)若AE=A1E,AB=3,求四棱锥E-BB1C1C的体积.解题心得证明线面垂直常用方法是线面垂直的判定定理,即证直线和平面内的两条相交直线垂直.对点训练2(2020广东湛江一模,文18)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C⊥底面ABC,E为CC1的中点,AF=2FB.(1)求证:BC1∥平面A1EF;(2)若AC=AA1=2,AB=BC=2,∠A1AC=60°,求四棱锥C1-BFA1B1的体积.题型三证面面垂直及求几何体体积【例3】(2020湖南常德一模,文19)在三棱锥P-ABC中,底面ABC与侧面PAB均为正三角形,AB=2,PC=6,M为AB的中点.(1)证明:平面PCM⊥平面PAB;(2)N为线段PA上一点,且S△CMN=34,求三棱锥P-CMN的体积解题心得证明面面垂直的常用方法是面面垂直的判定定理,即一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.为此就要先证线面垂直,而要证线面垂直又转化成证线线垂直.又要先从已知的线面垂直和勾股定理中得到线线垂直.这是一个相互转化的过程.对点训练3(2020全国1,文19)如图,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,△ABC是底面的内接正三角形,P为DO上一点,∠APC=90°.(1)证明:平面PAB⊥平面PAC;(2)设DO=2,圆锥的侧面积为3π,求三棱锥P-ABC的体积.题型四证垂直关系及求点到面的距离【例4】(2020福建泉州一模,文19)如图1,四边形ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,E为CD的中点,以BE为折痕将△BCE折起到△PBE的位置,使得平面PBE⊥平面ABCD,如图2.(1)证明:平面PAB⊥平面PBE;(2)求点D到平面PAB的距离.解题心得平面图形翻折后成为空间图形,翻折后还在一个平面上的线线和线面的关系不发生变化,不在同一个平面上的可能发生变化.解决这类问题就是要根据这些变与不变,去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值.题型五证垂直关系及求空间角【例5】如图,在四棱锥P-ABCD中,AD⊥平面PDC,AD∥BC,PD⊥PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值;(2)求证:PD⊥平面PBC;(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.解题心得求异面直线所成的角、线与面所成的角的方法是一作,二证,三求.异面直线所成的角一般利用平行线转化为同一平面内的两条直线所成的角;线与面所成的角一般找到直线在平面内的射影,转化为直线与直线在平面内的射影所成的角.对点训练4(2020江西临川二中月考,文19)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD的边长是2的正方形,PA=PD,PA⊥PD,F为PB上的点,且AF⊥平面PBD.(1)求证:平面PAD⊥平面ABCD;(2)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.突破2空间中的垂直与几何体的体积例1(1)证明不妨设AB=2a,则AC=CD=DA=a,则△ACD是等边三角形,∠ACD=π3.∵AB∥DC,∴∠CAB=π由余弦定理得,BC2=AC2+AB2-2·AC·AB·cosπ3=3a2即BC=3a,则BC2+AC2=AB2,即∠ACB=90°,故BC⊥AC.又平面PAC⊥平面ABCD,平面PAC∩平面ABCD=AC,BC⊂平面ABCD,∴BC⊥平面PAC,∵PA⊂平面PAC,∴BC⊥PA.(2)解依题意得,PA⊥PC,BC=23.VP-ACQ=VQ-PAC=23VB-PAC=23×13S△PAC·BC=23×13×1对点训练1(1)证明∵△ADO,△ABO为等腰直角三角形,斜边AO=42.∴DO⊥AD,BO⊥AB,AD=DO=AB=BO=4,取AO中点E,连接DE,BE,如图,则DE⊥AC,BE⊥AC,且DE∩BE=E,∴AC⊥平面BDE,又BD⊂平面BDE,∴AC⊥BD.(2)解由(1)知DE⊥AC,∵平面ADC⊥平面ABC,且平面ADC∩平面ABC=AC,∴DE⊥平面ABC,∴△BDE是直角三角形.∵△ADO,△ABO是直角三角形,斜边AO=42,∴BO=DO=4,DE=22,BE=22,∴将△BDO绕DO旋转一周,所得几何体是以23为底面半径,2为高的两个有公共底面的圆锥,∴将△BDO绕DO旋转一周所得旋转体的体积为V=2×13×2×π×(23)2=16π例2(1)证明由已知得B1C1⊥平面ABB1A1,BE⊂平面ABB1A1,故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1,所以BE⊥平面EB1C1.(2)解由(1)知∠BEB1=90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E,所以∠AEB=∠A1EB1=45°,故AE=AB=3,AA1=2AE=6.作EF⊥BB1,垂足为F,则EF⊥平面BB1C1C,且EF=AB=3.所以,四棱锥E-BB1C1C的体积V=13×3×6×3=18对点训练2(1)证明连接AC1,与A1E交于点M,连接MF,∵E为CC1的中点,∴C1E∥AA1,且C1E=12AA1.∴AM∶MC1=2∶1又AF=2FB,∴在△ABC1中,MF∥BC1.∵MF⊂平面A1EF,BC1⊄平面A1EF,∴BC1∥平面A1EF.(2)解∵侧面AA1C1C⊥底面ABC,AC=AA1=2,∠A1AC=60°,∴三棱柱ABC-A1B1C1的高h=3.∵V三棱锥C1-ABC=13S△∵在侧面ABB1A1中,AF=2FB,∴S梯形∴V=49∴V四棱锥例3(1)证明因为△ABC是边长为2的正三角形,M为AB的中点,所以CM⊥AB,CM=3,同理,PM=3,又PC=6,因为CM2+PM2=PC2,所以CM⊥PM.又AB∩PM=M,所以CM⊥平面PAB,又CM⊂平面PCM,所以平面PCM⊥平面PAB.(2)解(方法1)由(1)得CM⊥平面PAB,所以CM⊥MN,△CMN为直角三角形,所以S△CMN=12CM·NM=34,且CM=3,解得MN=32.在△AMN中,由cosA=AN2解得AN=12,即PN=32,即PNPA=34,S△PNM=34S△PAM=38S△PAB=38×3=33(方法2)由(1)可得CM⊥平面PAB,所以CM⊥NM,即34=12×所以NMPM=AMPA=12,得△ANM∽△APM,则所以NM⊥PA,又CM⊥PA,NM∩CM=M,所以PA⊥平面CNM,在Rt△PNM中,PN=PM2-NM2=32,所以VP-CMN对点训练3(1)证明由题设可知,PA=PB=PC.由于△ABC是正三角形,故可得△PAC≌△PAB,△PAC≌△PBC.又∠APC=90°,故∠APB=90°,∠BPC=90°.从而PB⊥PA,PB⊥PC,故PB⊥平面PAC,所以平面PAB⊥平面PAC.(2)解设圆锥的底面半径为r,母线长为l.由题设可得rl=3,l2-r2=2.解得r=1,l=3.从而AB=3.由(1)可得PA2+PB2=AB2,故PA=PB=PC=62.所以三棱锥P-ABC的体积为13×12×PA×例4(1)证明依题意知,因为CE⊥BE,所以PE⊥BE.又平面PBE⊥平面ABCD,平面PBE∩平面ABCD=BE,PE⊂平面PBE,所以PE⊥平面ABCD.又AB⊂平面ABCD,所以PE⊥AB.由已知,△BCD是等边三角形,且E为CD的中点,所以BE⊥CD.因为AB∥CD,所以AB⊥BE.又PE∩BE=E,所以AB⊥平面PBE.又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PBE.(2)解在ABD中,AB=AD=2,∠BAD=60°,所以S△ABD=3.由(1)知,PE⊥平面ABD,且PE=1,所以三棱锥P-ABD的体积V=13×3×1=33.在Rt△PBE中,PE=1,BE=3,得PB=2,由(1)知,AB⊥平面PBE,所以AB⊥PB,所以S△ABP=2,设点D到平面PAB的距离为d,则三棱锥E-PAB的体积V'=13×2×d=3例5(1)解如图,由已知AD∥BC,故∠DAP即为异面直线AP与BC所成的角.因为AD⊥平面PDC,所以AD⊥PD.在Rt△PDA中,由已知,得AP=AD2+PD2=5,故cos∠DAP=AD(2)证明因为AD⊥平面PDC,直线PD⊂平面PDC,所以AD⊥PD.又因为BC∥AD,所以PD⊥BC.又PD⊥PB,所以PD⊥平面PBC.(3)解过点D作AB的平行线交BC于点F,连接PF,则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.因为PD⊥平面PBC,故PF为DF在平面PBC上的射影,所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角.由于AD∥BC,DF∥AB,故BF=AD=1,由已知,得CF=BC-BF=2.又AD⊥DC,故BC⊥DC,在Rt△DCF中,可得DF=CD2+CF2=25,在Rt△DPF中,可得sin∠DFP=PDDF=55对点训练4(1)证明∵AF⊥平面PBD,PD⊂平面PBD,∴PD⊥AF.∵PA⊥PD,PA∩AF=A,∴PD⊥平面PAB.∵AB⊂平面PAB,∴PD⊥AB.∵四边形ABCD是正方形,∴AB⊥AD.∵PD⊥AB,AD∩PD=D,∴AB⊥