清华大学静力学(十三)

材料力学欢送学习张毅主编董桂花徐继忠潘立常副主编2006年6月第1章静力学根底第2章平面汇交力系第3章力矩平面力偶系第4章平面一般力系第6章材料力学根底第8章剪切第9章扭转第5章空间力系重心第7章轴向拉伸和压缩材料力学第10章截面的几何性质第11章弯曲内力第12章弯曲应力第13章弯曲变形第15章组合变形的强度计算第14章应力状态理论和强度准那么第16章压杆稳定材料力学第13章弯曲变形13.1弯曲变形的概念13.2积分法计算梁的变形13.3叠加法计算梁的变形13.4梁的刚度校核及提高弯曲刚度的措施13.5小结本章学习要求掌握挠度和转角的概念；了解梁挠曲线的概念及挠曲线的近似微分方程、转角方程。了解用积分法计算梁的挠度和转角。会用叠加法计算梁的变形。掌握梁的刚度条件及刚度计算；了解提高梁弯曲刚度的主要措施。13.1弯曲变形的概念图13.1梁的挠度和转角1.挠度和转角1．挠度梁任一横截面的形心沿轴方向的线位移CC'，称为该截面的挠度。2．转角梁弯曲变形以后的横截面相对于变形之前的横截面所转过的角度，称为该截面的转角。2.梁的挠曲线及挠曲线方程1．挠曲线由图13.1可见，弯曲变形后的梁轴线变成了一条光滑连续的曲线，这条曲线称为梁的挠曲线。上式称为梁的挠曲线近似微分方程。只适用于弹性范围内的小变形情况。2．挠曲线方程挠曲线上任一点的纵坐标随着横截面位置的变化而变化，即是横截面位置的函数，用方程表示，称为梁的挠曲线方程。它表示梁的挠度沿长度的变化规律。3.挠曲线近似微分方程【例13.1】如图13.2所示，简支梁AB受均布荷载q作用。EIZ为常数，试求该梁的转角和挠曲线方程，并求支座截面的转角θA、θB和最大挠度ymax。13.2积分法计算梁的变形解：(1) 求支座反力(2)建立图13.2所示直角坐标系，列弯矩方程图13.2(3)列挠曲线近似微分方程积分一次，得再积分一次，得(4)确定积分常数简支梁的边界条件是在两个铰支座A、B处的挠度等于零，即A支座处，x=0，y=0，代入(b)式得B支座处，x=l，y=0，代入(b)式得D=0将积分常数C、D分别代入(a)、(b)两式，得转角方程挠曲线方程(5)列出转角方程和挠曲线方程(6)求截面的转角θA、θB和最大挠度ymax

A截面处，将x=0代入(c)式，得θA为正值，说明其转向为顺时针。B截面处，将x=l代入(c)式，得θB为负值，说明其转向为逆时针。最大挠度发生在挠曲线微分方程一阶导数等于零的截面处，即得此时，梁的最大挠度为挠度为正值，说明其方向是铅垂向下的。【例13.4】悬臂梁受均布荷载作用，如图13.3(a)所示。Elz为常数，试用叠加法计算自由端B截面的挠度ymax和转角θA和θB。13.3叠加法计算梁的变形将作用在图13.3(b)梁上的荷载分解为图13.3(c)和图13.8(d)所示两种均布荷载。解：将均布荷载向左延长到支座A处，并在延长局部AC段上加上荷载集度相同而方向相反的均布荷载，如图13.3(b)所示。这样，图(b)所示的梁与原来梁的受力和变形是完全相同的。图13.3在图13.3(c)荷载作用下，梁自由端B截面的挠度和转角查得在图13.3(d)荷载作用下，梁在C截面的挠度和转角查得由于BC段上没有荷载作用，在这一段上梁的弯矩为零，因此，这一梁段不会发生弯曲变形，但它受AC段变形的影响而发生位移，如图13.3(d)所示，这时，B截面的挠度和转角为将图13.3(c)和(d)两种情况下的变形相叠加，即得到梁B截面的挠度和转角为13.4梁的刚度校核及提高弯曲刚度的措施根据强度条件选择了梁的截面后，往往还要对梁进行刚度校核，检查一下梁的变形是否在允许的范围以内，以便保证梁的正常工作。根据经验，在土建工程中通常只校核梁的最大挠度。由梁的挠曲线方程可知，梁的最大挠度发生在θ＝y'=0的截面或边界截面。1.梁的刚度校核对于梁的挠度，其许可值通常用许可的挠度与梁跨度的比值作为标准，因此，梁的刚度条件为2.提高梁弯曲刚度的措施要提高梁的弯曲刚度，在使用要求允许的情况下，可采取以下几条措施：1．增大梁的抗弯刚度2．减小梁的跨度3．改善荷载的作用情况1.平面弯曲的梁，在外力作用下产生两种位移：挠度和转角，二者之间的关系为13.6小结本章主要研究平面弯曲梁的变形计算，进一步建立梁的刚度条件。梁的挠曲线近似微分方程为适用条件：弹性范围。小变形。挠度的正负号为：以向下为正，向上