2021年甘肃省高考数字诊断试卷(3月份)(含解析)

2021年甘肃省高考数字诊断试卷（3月份）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.己知集合4={1,3},集合8={3,4},则4UB等于（）

A.{1}B.{3}C.{1,3,3,4）D.{1,3,4）

2.已知复数z满足z（l-i）=（l+a）3,且z为纯虚数.则实数〃的值为（）

A.-1B.-2C.：D.i

24

3.抛掷一枚均匀的骰子（骰子的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6个点）一次，观察掷出向上的

点数，设事件A为掷出向上为偶数点，事件B为掷出向上为3点，则,彝磔3谶号=（）

4.动曲线「的初始位置所对应的方程为：l（x<0）,一个焦点为Fi（-c,0）,曲线&捻-

'=1（%>0）的一个焦点为尸2（。,0）,其中a>0,b>0,c=，。2+炉,现将q沿x轴向右平行移

动.给出以下三个命题：

①心的两条渐近线与心的交点个数可能有3个；

②当心的两条渐近线与G的交点及心的顶点在同一直线上时，曲线J平移了（a+l）a个单位长

度；

③当兀与尸2重合时，若心，心的公共弦长恰为两顶点距离的4倍，则心的离心率为3.

其中正确的是（）

A.②③B.①②③C.①③D.②

5.从某企业生产的某种产品中随机抽取10件，测量这些产品的一项质量指标，其频率分布表如下:

质量指标值分组[10,30)[30,50)[50,70]

频率0.10.60.3

则可估计这批产品的质量指标的方差为（）

A.140B.142C.143D.134.8

6.等差数列隹%侬骋的前糜项和分别为黑，踪，若则使含为整数的正整数〃的

取值个数是（）

A.3B.4C.5D.6

7.已知点4(1,0),反C在单位圆上，乙50c=—“(。为坐标原点)，则而芯的取值范围是

「13-11S+1

A.[-1,0]B.C.[0,2]D.

2,2

x

8.在同一直角坐标系中，函数/(%)=logax(a>Q且a丰1)与函数g(x)=a(a>0且a丰1)的图

象可能是()

A.①②B.②③C.①④D.①③

9.一个直六棱柱的底面是边长为4的正六边形，侧棱长为6,则它的外接球的体积为()

A5OO7T400077

A--B.500TTC.D.4000TT

3

10.为了求得椭圆?+5=19>6>0)的面积，把该椭圆放入一个矩形当中，恰好与矩形相切，

向矩形内随机投入(X1,%),(%2»%)，…，Qn，%)共"个不同的点，其中在椭圆内的点恰好有m(m<

n)个.若矩形的面积是2,则可以估计椭圆的面积为()

A.-B.到C.?D.-

nn2nm

11.某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5〜8千美元的地区销售该公司A

饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP处于中等地区的年人均销售量最大，然后向两边递

减.下列几个模拟函数中用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GAP关系更合

适？(工表示人均GDP,单位：千美元，y表示年人均4饮料的销售量，单位：L)()

A.y=ax2+bx(a<0)B.y=kx+b(k*0)

x

C.y=logax+b{a>0且a。1)D.y=a+b(a>0且a*1)

12.函数f(x)=炉一3%的单调增区间为()

A.(-1,1)B.(―co,—1)U(1,+oo)

C.(—8,—1)和(L+oo)D.(—1,+8)

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

=0cx<11

1小、1，若/(。)=/(。+1),则/(6=_____.

(4(%a

x+2y—4工0

14.已知x,y满足约束条件卜-2y之2,若可行域为三角形，则〃的取值范围为.

y>ax

15.设等差数列｛斯｝，｛bn｝的前n项和分别为%,7；,若对任意自然数n都由含=黑，则房+儡

的值为__

16.已知△ABC是等腰直角三角形，4B=4C=a,是斜边BC上的高，以AO为折痕使ZBDC成

直角.在折起后形成的三棱锥A-BCD中，有如下三个结论：①直线AD1平面BC。：②侧面

48c是等边三角形：③三棱锥A-BCD的体积是.其中正确结论的序号是.（写出全部

正确结论的序号）

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17.在△ABC中，已知sir^A+siMB=siMC,求证△4BC是直角三角形.

18.求：＞41CBDE-,

三棱锥C-BDE的积.

19.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量"（吨）与相应的生产能耗y（

吨标准煤）的几组对应数据.

U9162536

y2.5344.5

⑴请按丁=点+以「建立y关于u的回归方程.

（2）已知该厂技改前10000吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据（1）求出的回归方程，预

测生产10000吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？

n一一n

2?不一同（乃一5）曲一万看

（参考公式：3=J----------=片---------_,a=y-bx）

2-12-1

20.21.（本小题满分12分）已知函数/（x）=且她0,且xw1）

x-1

（I）讨论函数/（X）的单调性；

（n）证明：y（x）＞2.

21.P是抛物线/=2y上的动点，过P(x(),yo)作圆C：x2+(y-I)2=

1的两条切线，1，办交x轴于4,B两点,

(I)若两条切线小G的斜率乘积为1，求P点的纵坐标；

(II)求当4<y0<8时，面积的取值范围.

22.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，得曲

线C的极坐标方程为p=2sin6,设A点的极坐标为(2,午).

(1)求直线OA及曲线C的直角坐标方程；

(2)设直线0A与曲线C的一个交点为P(不是原点0),过点尸作直线OA的垂线I,求直线/的极

坐标方程.

23.(1)解不等式k+l|+2|x—l|<3x+5

(2)已知la,SefO,l].求成。-a-a(a+幼的最大值;

【答案与解析】

1.答案：D

解析：解：集合4={1,3},集合8={3,4},

则AUB={1,3,4}.

故选：D.

根据并集的定义写出4UB即可.

本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题目.

2.答案：A

解析：解：z(l-i)=(1+ai)i3=a—i,

而N7_a-i_(aT)(l+i)_a+1a-1

由题意得，a+l=O,即a=-1.

故选:A.

直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数的概念得答案.

本题考查了复数的运算法则、复数的定义，属于基础题.

3.答案：B

解析:试题分析：事件点为掷出向上为偶数点，.•・科M趟i：=-,事件点为掷出向上为3点，.••斟［缄=

又事件W、点是互斥事件，事件《盛3品》为事件W、腐有一个发生的事件，.•.箕&2蹴=3,故选

署

B.

考点：互斥事件的概率.

4.答案：D

解析：解：①由已知条件知，沿x轴向右平行移动。个单位时，

得到竺艾一\=1,

a2b2

(y=±-x

联立方程组*_a)z°子_，解得X=y=0，

~-京=1

••.由椭圆的对称性知心的两条渐近线与A的交点个数不可能有3个，故①错误；

②•••心的两条渐近线与匚的交点及心的顶点在同一直线上，

•••解方程组［y=±：x,得G的移动后的图象过点(a,b),(a,-6).

把y=b代入：,-£=l(x<0),得x=—aa,

•••曲线K平移了(夜+l)a个单位长度，故②正确；

RX-2C)2y2=1

③&与尸2重合时，解方程组炉，

匕-Q=1

得6,心的公共弦长为平，

•••G，5的公共弦长恰为两顶点距离的4倍，

弓-=8<1,解得b?=4a2,从而0?=5。2,

二J的离心率为e=(=逐.故③不正确.

故选：D.

①由已知条件知，匚沿x轴向右平行移动a个单位时，令的两条渐近线与心的交点个数为1个，由此

利用由椭圆的对称性知心的两条渐近线与6的交点个数不可能有3个；②解方程组卜=土得口的

移动后的图象过点(a,b),(见一6).把丫=6代入：m—M=l(x<0),得x=—缶,由此求出曲线说

azoz

平移了(遮+l)a个单位长度；③&与尸2重合时，G-心的公共弦长为驿，由此能求出6的离心率为

e=-=V5.

a

本题考查双曲线的性质的综合应用，解题时要认真审题，注意函数的平移性质的灵活运用.

5.答案：D

解析：解：根据题意，计算质量指标的样本平均数为：

%=20X0.1+40X0.64-60x0.3=44；

所以质量指标的样本方差为

S2=(44-20)2x0.1+(44-40)2X0.6+(44-60)2X0.3=134.8.

故选：D.

根据定义，计算质量指标的样本平均数元和方差S2.

本题考查了频率分布表、平均数和方差的计算问题，是基础题.

6.答案：C

解析：试题分析：因为，等差数歹飒修蜡的前也:项和分别为鼠，.塾，若蔡鬻

由等差数列的性质，anZ3人区也生，

鬟寓

碱籁甘一最,s

所以，罢_鼠!虱_阳觎一期H4s_71㈱

就触％n嘲x书除%川gi-可-警酗-罐

鬟

经验证，使养为整数的正整数〃的取值为n=1,3,5,13,35,故使方为整数的正整数”的取

口七，

值的个数是5.

故选C。

考点：本题主要考查等差数列的性质，等差数列的求和公式。

点评：典型题，在等差数列中，幽出制=第小豁则嚓笄%=喙皆％。«n=叱皿，%=殳等工。

7.答案：B

解析:

本题考查三角函数的定义、向量的数量积、三角函数的化简求值，考查计算能力.

求出冠.而的表达式，结合角的范围，求出其取值范围.

解：设8(cos©sin㈤，C(cos用sin⑼，

2T4TN..2TT

乙BOC~f贝"a-自=7

则AB=(cosa-1,sina),AC=(cos户一1,sinj3)

则~AC=(cose—1)(cos2-l)+sinasin产

=cos⑼+1-(cosa4-cos⑼

=-g+l-(cosa+cos⑼

=；-(cosa+cos⑼

a+6a-8

-------cos--------

22

1a+§

—cos-------

22

当a,户中一个为240。，另一个为120。时,

______3

次.充有最大值为一，

2

当尸中一个为60。，另一个为—60。时,

次,充有最小值为一2，

2

故选B.

8.答案：D

解析：

本题考查指对数函数的图象，当底大于1时，图象单调递增，当0<a<l时，图象单调递减.

解：当a>l时，利用指数函数与对数函数的单调性可得：①符合；

当0<a<l时，同理可得为③，

故选

9.答案：A

解析：解：直六棱柱的外接球的直径为直六棱柱中最长的对角线，

•••一个直六棱柱的底面是边长为4的正六边形，侧棱长为6,

二直六棱柱的外接球的直径为U82+62=10.

二外接球的半径为5,

,外接球的体积为［兀x53=誓.

故选：A.

直六棱柱的外接球的直径为直六棱柱中最长的对角线，可得直六棱柱的外接球的直径，即可求出外

接球的体积.

本题考查球的体积和表面积，确定直六棱柱的外接球的直径为直六棱柱中最长的对角线是解题的关

键.

10.答案：B

解析：解：椭圆和矩形相切，矩形的面积是2,

由随机模拟实验结合几何概型中的面积型可得：普=：,

，矩形n

S__2m

••、椭圆=一：'

故选：B.

由随机模拟实验结合几何概型中的面积型可得：7^=7-即可求出.

3矩形n

本题考查了几何概型中的面积型及椭圆的面积，属简单题.

11.答案：A

解析：解：4当a<0时，为开口向下的抛物线，变化趋势满足条件，

B.当k<0为函数为减函数，当k>0时，函数为增函数，故函数为单调函数，不满足条件.

C当0<a<1为函数为减函数，当a>l时，函数为增函数，故函数为单调函数，不满足条件,

。.当0<a<l为函数为减函数，当a>l时，函数为增函数，故函数为单调函数，不满足条件.

故选：A.

根据条件得到函数不单调，在左侧为增函数，右侧为减函数，结合函数的单调性分别进行判断即可.

本题主要考查函数单调性的应用，结合条件研究函数的单调性是解决本题的关键，是基础题.

12.答案：C

解析：解：•••/。)=3/-3>0,解得xe(-8,-1)和(1,+8)

•••/(乃在(一8,-1)和(1,+8)上递增，

故选：C.

由/'(X)>0,得/'(X)在(-8,+8)递增区间.

本题考查了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题.

13.答案：28

解析：解：当0<a<l时，函数f(x)为增函数，

当a21时,函数“X)为增函数，

若/(a)=/(a+l)，

则a,a+1分别在两个不同的区间上，

即0<a<1,

则而-4(a+1-1)=4a，

即a=64a3,得a?=—,得a=i,

648

则/(6=/(8)=4x7=28,

故答案为：28

分别判断当0<a<1和a>1时都是增函数，得到0<a<1,然后结合条件建立方程求出a的值即

可.

本题主要考查分段函数的应用，根据函数的单调性判断a的范围是解决本题的关键.

14.答案：(一|分

解析：解：画出满足条件的平面

区域，如图示：，

显然当0VQ<k0力时，不等式组

表示的区域为三角形；

直线y=ax与》+2)/-4=()相交时，可行域是三角形，

由犀机;:标得:43》

则此时

K04=O

KAB="|：

满足条件的点PQ,y)表示的平面区域为一个三角形，

则a的取值范围是:(―1,^).

故答案为：(—；,[).

先画出满足条件的平面区域，由图象可直接读出a的范围.

本题考察了解得的线性规划问题，考察数形结合思想，是一道中档题.

15.答案：g

解析：解：•••等差数列｛交｝,｛,｝的前〃项和分别为Sn,Tn,

对任意自然数〃都由$=猾，

。6+。4_。6+。4_2a5

瓦+db2+bQ2b52b52b5

120Q1

Q]+Q9

10b

瓦+b921

_Sq_2x9_3_5

一为-4X9-3-11,

故答案为：高.

由等差数列的性质得产1+广，=黑+?=等=?士詈=券5="由此能求出结果.

本题考查等差数列的项数和的比值的求法，考查等差数列的性质的性质等基础知识，考查运算求解

能力，考查函数与方程思想，是基础题.

16.答案：①、②、③

解析:解：以AD为折痕使4B0C成直角，所得图形如下图所示:

由4D1BD,AD1CD,易得：①直线AD1平面BCD,正确；

由4B=4C,可得②侧面ABC是等边三角形，正确；

由B0=40=C0=当a，可得③三棱锥4—BCD的体积是为3,正确.

故答案为：①、②、③

由△力BC是等腰直角三角形，AB=AC=a,是斜边BC上的高，折起后，根据线面垂直的判定

定理可判断①的真假；由等腰三角形的判定，可知②的真假；根据棱锥体积公式求出三棱锥A-BCD

的体积可以判断③的真假.进而得到答案.

本题考查的知识点是棱锥的结构特征，线面垂直的判定，棱锥的体积，其中根据对折后，AZ）与8。

与C。的垂直关系不变，AB,AC的相等关系不变，是解答的关键.

17.答案：证明：在中，己知si案4+siMB=siMc,

由正弦定理可得：a2+b2=c2.

三角形是直角三角形.

解析：直接利用正弦定理以及勾股定理判断即可.

本题考查正弦定理的应用，考查计算能力.

18.答案：因为B_L1C,BE1A1B1,B1A1B1=B,

所以AC，平DE.（6分）

所BD1平面\AC,

所以E1平A181C,

因为nBE=B

明：为BD1AC,BD14414041=A,

所BE1IC；

所VCOE=VE-BDC=|xlx|xx2=|（4分）

解析：证明：BD1IC,B1IC,再证明CJL平面BOE；

利用VC-DVE—BD,求三棱C-DE的体积.

本题考查线面垂直，考棱锥C-8DE积，查学生析解决问题的能，属于中题.

19.答案：由系数公式可知，设及=汗，

x=4.5>

y=3.5,

-66.5-4X4.5X3.566.5-63

b=--------------------=-----7：----=0.7

86-4x4.525

^S.B-O.TX-^o.35，

所以线性回归方程为y=0.7x+0.35；

(3)当无=100时,y=0.7x+0.35=70.35,

所以预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低19.65吨标准煤.

解析：解：由系数公式可知，

x=4.5，

y=3.5，

-66.5-4X4.5X3.566.5-63

b-Q-—0.7

86-4X4.525

Z=3.5-O.7x/o.35，

所以线性回归方程为y=0.7%+0.35；

(3)当％=100时，y=0.7x+0.35=70.35,

所以预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低19.65吨标准煤.

-21nx+x--

⑴解：由〃x)=0学，得/⑸

x-i(x-1)

设g(x)=-21nx+x-L,贝1Jg(l)=O,且g'(x)="2"之。1

xx

所以g(x)在(0,+8)上单调递增，

当xG(0」)时，g(x)>o,即，(x)>0,f(x)单调递增，

因此，f(x底(01)上单调递减，在(1,+8)上单调递增；

20.答案：(2)证明：原不等式就是原+Dlnx-2>o,即上工_竺二12］>0,

x-1x-1x+1

令〃(x)=lnx-2^——,则h(l)=0,(x)=—~Z■20,

x+1x(x+l)2

所以h(X)在(0,+8)上单调递增，

v-I-1

当x£((M)时，h(x)<0,-—<0,

x-1

当x£(l,+8)时，h(x)>0,—>0,

x-1

・••当x>0且xWl时，f(x)>2.

〜1

/1-2lnx+x--

⑴解：由〃x)=S等,得，。)="

设g(x)=-21nx+x-1，贝I)g(l)=0，且g'(x)="2"之°，

xx

所以g(x)在(0,+8)上单调递增，

当x£(0,l)时，g(X)>0,即/(x)>0,f(x)单调递增，

因此，f(x灌(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增；

解析：(2)证明：原不等式就是包弛3-2>0,即四［InX-空工］>0,

x-1x-1x+1

=lnx-^―—―,则h(l)=0,A(x)=—―匕7=0,

x+1M+l)2

所以h(X)在(0,+8)上单调递增，

X+1

当x£(0,l)时，h(x)<o,——<0,

x-1

Tf-L1

当x£(l,+8)时，h(x)>o,—>0,

x-1

・••当x>0且xWl时，Rx)>2.

2L答案:解：(I)设点直线尸4PB的斜率分别为七，fc2,记P(%,yo)

・,・P4的方程：y-％>=ki(%-％°),.•・PB的方程:y-y0=k2(x-x0),

则由直线i%与圆相切得：里嗯/=1=(诏-1)1+2&(1—为求+韬一2yo=0(*)

所以的，攵2是(*)式的两根，故自42=1•即据一2y()=以—1,又%衣=2y(),

：,yo-4yo4-1=0,y0=2±V3.

(n)由⑴得当=沏一髭，XB=X-^,：.s=MAB\\y\=|yolr-rl=、益詈含।……⑴

*'■10•''2hPAB乙P4兄2乙长1(2

由(*)知：位也|=I型宇,1隹11-心|=「.：;+%1=I1坐I1=1I卷|;12"阳Z=汕需|=

，G'Xg-1G'xg-lx^-lx^-l

三点=H=9，

2y01评-2yoi|y0-2|y0-2

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