电路原理课件

基尔霍夫定律和电阻元件§1

1电路和电路模型

一.什么是电路？若干个电气设备或器件按照一定方式组合起来，构成电流的通路，叫做电路(circuit)。电路也称为电网络或网络(network)二.实际电路举例1.照明电路电源负载中间控制环节相线..中线电源连接导线和其余设备为中间环节负载2.电力系统作用：进行能量的传输、分配和转换3.收音机作用：传输或处理各种电信号(signal)信号源负载三.电路模型(circuitmodel)电路模型：由理想元件构成的电路。便于用数学的方法分析电路和设计电路。

理想元件(element)：在一定条件下能足够准确地反映实际部件（component）主要电磁性能的抽象模型。实际通电螺线管具体物理过程

1.发热（能量损耗）2.磁场储能3.电场储能理想元件及参数电阻元件(resistor)：电容元件(capacitor)：电容C(capacitance):反映电场储能性质的电路参数电感元件(inductor)：电感L(inductance):反映磁场储能性质的电路参数电阻R(resistance):反映能量损耗的电路参数四.集中参数电路(lumpedcircuit)判断：电路的部件及电路的各向几何尺寸

远小于电路工作频率对应的波长处理：认为能量损耗、电场储能、磁场储能分别集中在电阻元件、电容元件、电感元件中进行集中的电阻、电容和电感等二端元件中的电流及其端电压，在任一瞬时，具有完全确定的数值（即为时间的单值函数）。集中参数电路中任意两点间的电压数值，在任一瞬时，也是完全确定的。

同一个实际电路的器件，在不同工作条件下可以抽象成不同形式的集中参数电路模型一个实际线圈的理想化模型

R

L

R

线圈的低频模型线圈的直流模型C

L

R

线圈的高频模型对实际工程问题的解决通常需要4个步骤：1.对实际器件电磁特性和实际电路功能的分析2.问题建模3.模型分析4.将分析结果用于解决实际问题§1

2电流与电压的参考方向

电流的定义及其参考方向

(current)(referencedirection)单位：A方向：正电荷运动的方向——实际方向大小：单位时间通过导体截面的电荷数参考方向假设的电流方向，可以随意规定；但是一经规定，在计算过程中便不得随意改变。

在规定的参考方向下，计算后若

I>0参考方向与实际方向一致

I<0参考方向与实际方向相反例.正弦交流电流i(t)=Asinωt二.电压的定义及其参考方向

(voltage)单位：V实际方向：电位降低的方向参考方向也可以随意规定。但是一经规定，在计算过程中便不得随意改变。大小：单位正电荷作功的能力电压参考方向的表示1.标‘+’、‘-’极性

2.双下标在规定的参考方向下，计算后若

u>0参考方向与实际方向一致

u<0参考方向与实际方向相反

一致的参考方向

(关联参考方向)

电流从高电位流向低电位，或者说顺电流方向电位是降低的。

非一致的参考方向(非关联参考方向)

电流从低电位流向高电位，或者说顺电流方向电位是升高的。

三.功率和电能单位：W（瓦）1.功率（瞬时功率）单位时间内电场力所做的功，表示电能转换快慢的物理量。对于直流电路当u、i参考方向一致时，计算吸收功率。当u、i参考方向不一致时，计算发出功率。例1.已知元件的电流、电压，试确定元件是吸收功率还是发出功率1.2.解:1.2.发出功率吸收功率需要指出的是：

对一完整的电路，发出的功率＝吸收的功率，满足功率平衡。例2：求图示电路中各方框所代表的元件吸收或发出的功率。已知：U1=1V,U2=－3V,U3=8V,U4=－4V,U5=7V,U6=－3V，I1=2A,I2=1A,I3=－1A。解：2.电能在一定的时间内电路元件或设备吸收或发出的电能量单位：J（焦）1度=1千瓦时

对于直流电路

毫伏表直流检流计交直流钳表万用表

8通道记录电压电流表

多功能电力仪表

多功能测量仪表

电力测量仪

§1

3基尔霍夫定律

古斯塔夫·罗伯特·基尔霍夫（GustavRobertKirchhoff，1824—1887）德国物理学家，柏林科学院院士

1847年发表的两个电路定律（基尔霍夫电压定律和基尔霍夫电流定律），发展了欧姆定律，对电路理论有重大作用。与化学家本生一同开拓出一个新的学科领域——光谱分析，并发现了铯和锶两种元素。提出热辐射中的基尔霍夫辐射定律，这是辐射理论的重要基础，并成为量子论诞生的契机，促使天体物理学得到发展。基尔霍夫电流定律（Kirchhoff'sCurrentLaw，KCL）基尔霍夫电压定律（Kirchhoff'sVoltageLaw，KVL)集中参数电路中所有元件的电流和电压都应遵循的，由元件相互联接所决定的约束关系拓扑约束(topologicalconstraint）一.电路术语支路(branch)节点(node)回路(loop)网孔(mesh)二端元件(two-terminalelement)路径(path)

二.基尔霍夫电流定律

(Kirchhoff'sCurrentLaw，KCL)

形式1.

对于集中参数电路中的任何一个节点而言，在任一瞬时，流入此节点的电流之和等于流出此节点的电流之和。即：节点④

节点⑤

例：

形式2.

对于集中参数电路中的任何一个节点而言，在任一瞬时，流出(或流入)此节点的电流的代数和恒等于零。即：节点④节点⑤

注意：流出或流入相对于参考方向而言以形式2列式时，若流出节点的电流前取“+”，则流入节点的电流前取“－”；反之亦可。每项电流本身的正负取值表示该电流的的实际方向与参考方向相同或相反

3＋（－2）－1＝0

讨论：1.物理意义：

在集中参数电路中，电流具有连续性。在任一时刻流入某一节点的电荷数等于流出该节点的电荷数，在节点处没有电荷的积累。在任一节点上电荷守恒。

2.只与电路联接形式和支路电流的参考方向有关，与元件性质无关。3.适用于广义节点（高斯面，闭合面）

广义节点(supernode)：假想闭合面所包围着的节点和支路的集合

例.求电流I3A10A14A24A三.基尔霍夫电压定律

(Kirchhoff'sVoltageLaw，KVL)

对于集中参数电路中的任何一个回路而言，在任一瞬时，沿回路绕行方向，各支路的电压代数和为零。即：通常列写方程式时，若沿回路绕行方向电压降，该电压前取“+”；反之取“－”。

回路1

回路2

回路3

讨论：1.物理意义：

在任一瞬时由一点出发沿一回路绕行一周回到原出发点，该点的电位不会发生改变。

KVL是集中参数电路中任意一点瞬时电位单值性的必然结果，也就决定了集中参数电路中任意两点电瞬时电压单值性，是能量守恒的体现。2．只与电路联接形式及回路中各元件电压参考方向有关，与元件性质无关。

3.基尔霍夫电压定律不仅适用于实际的回路，也适用于假想回路。

课堂练习：对照电路接线图，判断表中数据是否正确（答案：节点2、4不满足KCL，回路cfhec不满足KVL）四.电压与电位例.求电压u①⑤和各节点的电位。

电压的计算与计算电压的路径无关。利用KVL求解

计算各节点的电位时，要先选择一个电位参考点(potentialreferencepoint)，即零电位点(zeropotentialpoint)。

(1)如以节点④作为电位参考点，即v④=0Vv①=u①④=20Vv②=u②④=u②①+u①④

=（

2+20）V=18Vv③=u③④=12Vv⑤=u⑤④=24Vu①

⑤=v①

-v⑤=20-24V=-4V(2)如以节点①作为电位参考点，即

v①=0Vv②=u②①=

2V

v③=u③①=u③②+u②①

=（

6

2）V=

8Vv④=u④①=

20V

v⑤=u⑤①=u⑤②+u②①=（

6

2）V=4V

u①

⑤=u①

-u⑤=0-4V=-4V2.任意两点间的电压(即电位差)则不随电位参考点的改变而改变。1.所选择的电位参考点的不同,各点电位也不同；§1

4电阻元件一个二端元件，如其端电压u和端电流i之间的关系可用代数方程f(u,i,t)＝0

表示，该二端元件称为电阻元件。如f(u,i,t)＝0是线性代数方程，则该二端元件为线性电阻元件(linearresistor)；反之为非线性电阻(nonlinearresistor)如f(u,i)＝0不依赖于时间变量t，则该二端元件为非时变电阻元件(time-invariantresistor)；反之为时变电阻(time-varyingresistor)一.线性非时变电阻元件的u-i关系u(t)=Ri(t)

i(t)=Gu(t)

u、i取一致的参考方向

R：电阻，衡量电阻元件的阻碍电流流动的能力单位：欧姆，符号Ω

G：电导，衡量电阻元件的导电能力单位：西门子，符号s（VCR）注意：对线性非时变电阻元件R为常数，G也为常数。R=0R→∞

u≡0短路i≡0开路u(t)＝

Ri(t)i(t)=

Gu(t)

u、i取非一致的参考方向二.线性电阻元件吸收的功率、能量一致的参考方向时p(t)＝u(t)i(t)u(t)＝Ri(t)

不一致的参考方向时p(t)＝-u(t)i(t)u(t)＝-Ri(t)无论参考方向如何R为耗能元件三.电阻电路的联接及等效变换1.串联特点：1).流过所有电阻的电流i相同2).

u=u1+u2+…+un3).

Req=R1+R2+…+Rn分压公式：2.并联特点：1).所有电阻的电压u相同2).

i=i1+i2+…+in3).例.求下列电路的等效电阻.(a)(b)解:R=8+2=10ΩR=8+2=10Ω3.电桥平衡电桥电路当电桥平衡时有：Ig=0，v2=v4平衡条件IgI1I2将Rg支路断开将Rg支路短路处理方法：例.试求图示各电路的等效电阻Req

30Ω10Ω4.星形电阻网络与三角形电阻网络的等效变换（§2

6

）1）电阻网络的星形(Y)联接和三角形(Δ)联接i1i2i32）星形电阻网络与三角形电阻网络的等效变换条件：对三个节点之外的电路等效，即流入三个节点的电流、、以及三端间的电压分别相等。求解方法：在两个网络中，当任意一对应输入端开路时，余下的一对对应端间的端口等效电阻相等。i1i2i3如令i3=0，即③端开路，则有同理令i1=0，即①端开路，则有

令i2=0，即②端开路，则有i1i2i3i1i2i3

联立求解得：星形网络中的一个电阻，等于三角形网络中联接到对应端点的两邻边电阻之积除以三边电阻之和。

三角形网络中一边的电阻，等于星形网络中联接到两个对应端点的电阻之和再加上这两个电阻之积除以另一电阻。三个电阻相等的三端网络称为对称三端电阻网络

例1

求图示电路中电压源的输出电流I。解：

－>Y例2.求解等效电阻R解：Y－>

§1

5独立源激励（excitation）：响应（response）：

由信号源输入电路的信号或由电源输入电路的电压或电流。经过电路传输或处理后输出的信号。一.基本概念激励源又称为独立源(independentsource)独立源——独立电压源（电压激励）——独立电流源（电流激励）二.电压源是一个二端元件，其端电压总能保持定值或一定的时间函数，在任意瞬时与其端电流无关。u(t)≡us(t)与端电流i(t)无关i(t)由外部电路决定

直流电压源：输出电压为一恒定数值。交流电压源：输出电压为确定的时间函数表达式（幅值、频率、初相角都不变）。如果电压源的电压为零，它相当于短路导线。各种稳压电源设备等可以近似认为是电压源。

三.电流源是一个二端元件，其端电流总能保持定值或一定的时间函数，在任意瞬时与其端电压无关。i(t)≡is(t)与端电压u(t)无关

u(t)由外部电路决定

直流电流源：输出电流为一恒定数值。交流电流源：输出电流为确定的时间函数表达式（幅值、频率、初相角都不变）。如果电流源的电流为零，它相当于开路导线。

光电池、太阳能发电厂、电子电路中的恒流源电路、各种恒流源设备等可以近似认为是电流源

例1.求解下图电路中的电流、电压，并验证功率平衡1）电压源发出的功率：电流源发出的功率：电阻吸收的功率：电压源发出的功率：电流源发出的功率：电阻吸收的功率：2）+-例2.求解下图电路中的电流、电压1）2）§1

6受控源

受控源的电压(或电流)依赖于电路中另一支路的电压或电流。只要电路中有一个支路的电压(或电流)受另一个支路的电压或电流控制，这两个支路就构成一个受控源。电压控电压源（voltage-controlledvoltagesource）电压控电流源（voltage-controlledcurrentsource）电流控电流源（current-controlledcurrentsource）电流控电压源（current-controlledvoltagesource）根据控制变量和受控变量的不同组合，受控源可分为：1.电压控电压源VCVSu2=

u1μ—电压放大倍数无量纲2.电压控电流源VCCSi2=gmu1gm—转移电导具有电导的量纲

3.电流控电流源CCCSi2=

i1

—电流放大倍数无量纲4.电流控电压源CCVSu2=rmi1rm—转移电阻具有电阻的量纲

系数

、、

gm、

rm

为常数时，为线性受控源；否则，称为非线性受控源特例：控制变量为零时，受控变量一定为零，此时，若是受控电压源则相当于一个短路元件；若是受控电流源则相当于一个开路元件。受控源是电子线路中一些具有控制特性的元器件的理想化模型含有受控源的集中参数电路仍然要遵循KVL、KCL例1.试求图示电路中的电压u

，并计算各元件的功率。解：+-独立电流源发出的功率：电阻元件吸收的功率：VCVS发出的功率：例2.图示电路，求电流Ix、Iy和电压U1。解:解得例3求图示电路中各支路电流和各电源发出的功率。解：1)由KVL可得3)2A电流源发出的功率4)50V电压源发出的功率2)由KCL可得例4求图示电路a、b端口的等效电阻Rab。1）在端口施加一激励源，求解端口VCR解：2）I解：含受控源的网络的等效电阻可以为负值小结1.受控源并不是真正的电源，受控电压源的电压和受控电流源的电流均受另一支路的电压或电流（即控制变量）的控制;2.受控源不能起激励的作用，没有独立源受控源无法工作。3.对含有受控源的线性电路，仍遵循KCL，KVL定律。求图示电路中各支路电流和各电源发出的功率。解：1)由KVL可得3)2A电流源发出的功率4)50V电压源发出的功率2)由KCL可得课堂练习6)受控源发出的功率7)电阻吸收的功率由此看出：所有电源发出的功率等于所有电阻吸收的功率，整个电路的功率达到平衡。§1

7运算放大器

运算放大器是由具有高放大倍数的直接耦合放大电路组成的半导体多端器件。(operationalamplifier)集成运算放大器的电路框图1、运算放大器的电路符号及转移特性反相输入端同相输入端输出端差分输入电压开环电压增益运算放大器的转移特性正饱和电压负饱和电压2、有限增益运算放大器条件：1)i

=0，i+=0

2)A为有限的常数当，线性工作区当，正饱和区当，负饱和区电路模型

VCVS应用举例

倒向放大器闭环电压增益3、理想运算放大器条件：1)i

=0，i+=0

，“虚断路”2)A＝，ud=0，“虚短路”

应用举例1

is=i+=0u0=us电压跟随器

应用举例2

倒相放大器应用举例3

加法器应用举例4

减法器§1-8支路分析法

电路方程法

——建立方程和求解方程的方法电路方程法支路分析法节点分析法回路分析法支路电压法支路电流法根据所采用的网络变量分类：

一.支路电流法介绍基本思路：以支路电流为变量列写独立节点的KCL方程列写独立回路的KVL方程

联立求解方程组，得到各支路电流注：利用元件的VCR关系，可将未知的支路电压用未知的支路电流来表示假设电路有nt个节点、b条支路，若采用支路电流法，一般求解变量的个数为b个，则需列写b个独立方程(1)选定各支路电流的参考方向,

列写独立的KCL方程①②③独立的KCL方程数目

n=

nt

1

④独立回路方程数目

l=b

n=b

(nt

1)

对平面网络一组网孔是相互独立的(2)选择回路，标出回路绕行方向，列写独立的KVL方程回路1回路2回路3二．含有电流源的电路的处理1）选回路时不选含有电流源支路的回路。由于含电流源支路的支路电流等于电流源电流，故总方程数为（b-1）2）增设电流源端电压，即增加一个未知量，方程总数为b例.采用支路电流法求各支路电流

解1.

联立求解得：

解2.

联立求解得：

电路中的受控源在列写方程时与独立源一样对待，如果控制变量不是支路电流，还应增加用支路电流表示控制变量的补充方程。例：求各支路电流

KCLKVL补充方程：

三．含有受控源的电路的处理例.用支路分析法求解图示电路中的各支路电流、受控电流源的端电压和输出端电压u0，设R1=500

,R2=R3=1000

,

=50,us

=5V。解法一：见教材P25解法二.不选择网孔，避免回路中含有受控电流源支路，从而减少了未知量。课堂练习：P24练习题1-8-1、1-8-2、1-8-31-8-3练习题1-8-1+-U电流源发出功率：电压源发出功率：20Ω电阻吸收功率：30Ω电阻吸收功率：练习题1-8-2练习题1-8-3I1电阻电路的分析

例1.求图示电路中的I和U采用支路电流法可得：§2

1线性电路的性质·叠加定理

定义：由线性元件和独立源构成的电路。性质：

1.齐次性

2.可加性一.线性电路(linearcircuit)齐次性：将电路中所有激励均变为原来的k倍，则所有响应也应变为原来的k倍。激励{e1(t)，e2(t)}

响应为{r1(t)，r2(t)}激励{ke1(t)，ke2(t)}

响应为{kr1(t)，kr2(t)}例2解得当所有激励乘以常数k后，方程变为则其解为可加性：激励{e1

(t)，e2

(t)}响应为{r1

(t)，r2

(t)}激励{e1

(t)，e2

(t)}响应为{r1

(t)，r2

(t)}则组合激励{e1

(t)+e1

(t)，e2

(t)+e2

(t)}

响应

{r1

(t)+r1

(t)，r2

(t)+r2

(t)}二.线性电路的叠加定理续例1.采用叠加定理重新求解图中的求I和U＝＋1）当Us单独作用时，求I'和U'2）当Is单独作用时，求I''和U''3）当Us

、Is同时作用时在若干激励源共同作用的线性电路中,若将激励一个一个地作用，则各激励分别在任一元件上产生的响应的代数和，等于所有激励共同作用时在该元件上产生的响应。这就是线性电路的叠加定理(superpositiontheorem)。例3采用叠加原理求电压Ux和各独立源、受控源发出的功率。解：1.求电压Ux1)独立电流源单独作用2)独立电压源单独作用

3)两个独立源共同作用

通过独立电压源的电流

2.独立电流源发出的功率

3.独立电压源发出的功率

4.受控电流源发出的功率

!注意：线性电路中的一个激励（或一组独立源）单独作用时，其余的激励应全部等于零。

令us=0,即电压源代之以短路

令is=0,即电流源代之以开路

所有元件的参数和联接方式均不能更动。

2.

在含受控源的电路中，受控源的处理与电阻元件相同，均须保留，但其控制变量将随激励不同而改变；3.叠加原理适用于电流和电压，而不适用于功率。4.叠加的结果为代数和，因此应注意电压与电流的参考方向；

例4采用叠加原理计算下图所示电路中的电流I和电压U，并求独立源和受控源发出的功率。1)独立电压源单独作用2)独立电流源单独作用3)两个独立源共同作用

独立电流源发出的功率

独立电压源发出的功率

电压控电压源发出的功率

！强调不同激励作用是对应不同的电路图，应分别画出，并且在图中标出式子中用到的符号例5下图所示网络N是由电阻和受控源组成的线性网络，当Is=2A，Us=3V时，测得Uo=16V;当Is=-2A，Us=1V时，测得Uo=0V。试求当Is=8A，Us=-8V时，Uo=?解：根据叠加原理，设Uo=mUs+nIs带入两次测量结果16=3m+2n0=m-2n解得m=4，n=2，则Uo=4×(-8)+2×8=-16V课堂练习：一、采用叠加原理分别计算图1中电流I、图2中电压U，并求图2中电流源发出的功率。图1图2二、图3所示电路中，Na为含源电阻网络。已知当Us＝0时，I=4mA；当Us＝10V时，I=−2mA。求当Us=−15V时I的值。图3(I=6A)(U=12V,P=120W)(I=13mA)1.电流源单独作用2.电压源单独作用3.两个电源同时作用图11)独立电压源单独作用图22)独立电流源单独作用3)两个独立源共同作用

图31）当Us＝0时，I=4mA即Na网络中的电源单独作用时，所产生的响应I=4mA2)当Us＝10V时，I=−2mA即10VUs和Na网络中的电源共同作用时，所产生的响应I=−2mA那么，Us＝10V单独共同作用时，所产生的响应I=−2

−4=−6mA则，Us＝−15V单独共同作用时，所产生的响应3)当−15VUs与Na网络中的电源共同作用时电路中的任何一个二端元件或二端网络，§2-2替代定理

若已知其端电压，可用一个电压源来代替，此电压源的电压的函数表达式和参考方向均与已知的端电压相同。若已知其端电流，可用一个电流源来代替，此电流源的电流的函数表达式和参考方向均与已知的端电流相同。证明：代替后不会影响电路中其它各支路的电流和电压。例1.已知Uy

=2V，试用替代定理求电压Ux。

解：例2若要求下图所示电路中的电流满足,求电阻Rx.I1I2解得:I=2.7875AI1=0.9756AI2=1.8118AIx=2.7875/8=0.3484AU=0.5I2-I1=-0.0697V例3.注意：(1)替代定理不仅适用于线性电路，也适用于非线性电路；(2)被替代的支路或二端网络，可以是有源的，也可以为无源的；(3)受控源的控制支路和受控支路不能一个在被替代的局部二端网络中，而另一个在外电路中。换句话说，受控源的控制量不能因替代而从电路中消失。

已知Uy

=2V§2-3戴维宁定理

1.问题的提出讨论电流I随负载RL变化的规律预备知识线性有源二端网络：含有线性元件、线性受控源和独立源的二端网络。线性无源二端网络：含有线性元件、线性受控源的二端网络。线性有源二端网络对应的无源二端网络：

线性有源二端网络中所有的独立源停止作用时所对应的二端网络。戴维宁等效电路(Thevenin

sequivalentcircuit)任意一个线性电阻性有源二端网络N，对于外部电路而言，可以用一个电压源和一个电阻元件串联组成的等效电路来代替，等效电压源的电压等于原线性有源二端网络的开路电压uoc(t)，等效电阻元件的电阻等于将原线性有源二端网络N中所有独立源的激励化停止作用时对应的无源二端网络的端口等效电阻Req。2.定理内容3.戴维宁定理的证明替代定理叠加原理N网络端口处的支路方程：电压源uoc(t)和电阻元件Req串联组成的等效电路称为戴维宁等效电路

电压源uoc(t)的电压等于原线性有源二端网络的开路电压电阻元件Req的电阻等于将原线性有源二端网络N中所有独立源的激励化为零时该网络的端口等效电阻4.戴维宁定理的应用例1.求电流I

解：1.求开路电压2.求等效电阻3.作戴维宁等效电路，求电流I例2.求电压U12

解：1.求开路电压2.求等效电阻Us+-Is3.作出戴维宁模型，求出待求量例3.求电流I

解：1）求Uoc2）求Req3）作戴维宁等效电路，求I注意：1）求开路电压Uoc、等效电阻Req的工作条件、工作状态不同，对应的电路图不同，应分别画出对应求解电路图。2）画戴维宁等效电路时应注意等效电压源的极性。3）若有源二端网络中含有受控源，求Req时应采用求输入电阻的方法，即在对应的无源二端网络输出端外接电源，按定义计算:Req＝端口电压/端口电流4）在含有受控源的网络中，受控源的控制支路和受控支路不能一个在含源二端网络内部，而另一个在外电路中。

例4.已知图（a）所示线性有源二端网络的端口特性如图（b）所示，试求此二端网络的戴维宁等效电路。解：1.当i=0时，即端口开路(a)(b)2.当u=0时，最大功率传输条件负载RL吸收的功率为：即RL＝Req时，负载RL可获得最大功率例5.在下图电路中RL为何值时可获得最大功率，此最大功率是多少？解：1）求Uocuoc=-8V2）求Req3）作戴维宁等效电路RL=8Ω时可获得最大功率课堂练习在图1所示电路中，1)采用戴维宁定理求可变电阻RL=7Ω时的电流i；2)RL为何值时可获得最大功率？并求此时的最大功率Pmax。图12.用一只内阻为500

的电压表测量蓄电池的端电压，其读数为49.02V；换用另一只内阻为2000的电压表测量时，其读数则为49.75V。试求蓄电池的内阻R0、开路电压Uoc

i=-1A;RL=2Ω,Pmax=81/8W1.解：1)求开路电压2)求等效电阻3)当RL=7Ω时，求i当RL＝Req＝2Ω时，负载RL可获得最大功率2.解：§2

4诺顿定理

诺顿定理用以简化一个线性有源二端网络，它是一个并联型等效电路。

诺顿等效电路(Norton

sequivalentcircuit)

1.诺顿定理的证明：N端口处的支路方程：电流源isc(t)和电阻元件Req并联组成的等效电路称为诺顿等效电路电流源isc(t)的电流等于原线性有源二端网络的短路电流电阻元件Req的电阻等于将原线性有源二端网络N中所有独立源的激励化为零时该网络的端口等效电阻

2.诺顿定理的应用例1.求电流I

解：1.求短路电流2.求等效电阻3.作诺顿等效电路，求电流I例2.求电压U12

解：1.求短路电流2.求等效电阻3.作出诺顿模型，求出待求量3.戴维宁模型和诺顿模型间的关系注意：电流源isc(t)的方向是电压源uoc(t)电位升的方向§2

5有伴电源的等效变换

凡电压源和电阻串联的结构均称之为有伴电压源

(accompaniedvoltagesource)(或戴维宁模型)；凡电流源和电阻并联的结构均称之为有伴电流源

(accompaniedcurrentsource)(或诺顿模型)。两种有伴电源的等效条件：1.电阻R相等；2.或电流源is(t)的方向是电压源us(t)电位升的方向注意：2.无伴电压源和无伴电流源不能进行等效变换；3.电压源并联电阻和电流源串联电阻不是有伴电源，因此它们之间不存在上述变换关系。1.这种变换对外电路是等效的。但若要计算被变换电路内部的相关量，则必须返回到原电路中进行;应用例1求图示电路中的电流I。

等效变换等效变换等效变换例2.采用电源变换法求电流I。解：有伴电压源和有伴电流源的等效变换也适用于受控源和电阻的串联组合及并联组合。不过，在变换过程中要注意保留受控源的控制变量，不得予以消除。

例3试用有伴电压源和有伴电流源的等效变换求图示电路的开路电压。等效变换等效变换由此解出

课堂练习图示电路中，1)分别采用戴维宁定理和诺顿定理求可变电阻RL=7Ω时的电流i；2)RL为何值时可获得最大功率？并求此时的最大功率Pmax。i=-1A;RL=2Ω,Pmax=81/8W解：1a)采用戴维宁定理求解A）求开路电压B）求等效电阻C)当RL=7Ω时，求i1b)采用诺顿定理求解A）求短路电流B）求等效电阻C)当RL=7Ω时，求i当RL＝Req＝2Ω时，负载RL可获得最大功率2)最大功率问题§2

7特勒根定理

预备知识：线形图、有向图①

②③123456支路电压与支路电流取一致性参考方向同构电路特勒根功率定理以④节点作为电位参考点，则①、②、③节点的电位分别为v1、v2、v3对于任一具有nt=n+1个节点、b条支路的电路，其支路电流、支路电压分别为(i1，i2，···，ib)、(u1，u2，···，ub)，且各支路电压与电流参考方向相关联，则在任意时刻t，均有

该定理表明，在任意电路中，在任何瞬时t，各支路吸收功率的代数和恒等于零。也就是说，电路中各独立源供给功率的总和，等于其余各支路吸收功率的总和，满足功率守恒。特勒根似功率定理N与为同构电路，具有相同的有向图N网络的支路电压与支路电流分别是(u1,u2,···,u6

)，(i1，i2，···，i6

)

网络的支路电压与支路电流分别是，对于网络N和，由不同的不同的元件构成，但是具有相同的有向图，即有nt=n+1个节点、b条支路的电路，其支路电流、支路电压分别为(i1，i2，···，ib)、(u1，u2，···，ub)和、且各支路电压与电流参考方向相关联，则在任意时刻t，均有

该定理表明，在有向图相同的任意两个电路中，在任何瞬时t，任一电路的支路电压与另一电路相应的支路电流的乘积的代数和恒等于零。（3）特勒根定理既可用于两个具有相同有向图的不同网络，也可用于同一网络的两种不同的工作状态。（2）每一个支路的电流、电压均取一致的参考方向。

注意：（1）该定理要求u(或)和i(或

)应分别满足KVL和KCL。

特勒根定理适用于任何（线性或非线性、有源或无源、时变或非时变）集中参数网络。

特勒根定理只与考虑电路的联接形式，与元件特性无关。例1已知下图中N为线性电阻无源网络，由图(a)中测得us1=20V，i1=10A，i2＝2A；在(b)图中，当时，为多少？+Ni2i1uS1_u1+_u2+__++_^N3Ω_＋(a)(b)解：在(a)中

在(b)中网络N由线性电阻元件组成例2如图所示电路，Is=2A,（1）若在2-2'端接2Ω电阻，则U1=3V，I2=1A；（2）若2-2'端开路，则。试求2-2'以左电路的诺顿等效电路。其中N为纯电阻电路。(a)(b)22’22’11’11’解：对于一个仅由线性电阻元件组成的无源(既无独立源又无受控源)网络N，在单一激励的情况下，当激励端口和响应端口互换而电路的几何结构不变时，同一数值激励所产生的响应在数值上将不会改变。这种特性称为互易特性。

2-8互易定理对于同一电路的两种工作状态(即激励源作用于端口11

的工作状态和激励源作用于端口22

的工作状态)，应用特勒根似功率定理，可得互易定理的第一种形式因为则故互易定理的第二种形式因为则故互易定理的第三种形式

因为则则若（数值相等）例1N0为无源线性电阻网络，求I1'解：叠加定理1)当32V电压源单独作用时，I11'＝6A2)当8V电压源单独作用时，互易性、齐次性

3)当32V和8V电压源共同作用时，I1'

＝I11'＋I12'＝5A(a)(b)I12'＝-8/32×4=-1A例2：已知N0为线性电阻无源网络，在图(a)中，当Us＝24V时，I1=8A，I2＝6A。问在图(b)中，Us＝12V时，I3＝？I2US_N0+I1(a)(b)解：根据互易定理第一种形式，当将6Ω支路短路时可求得求短路电流IscIsc_12VN0+求诺顿等效电路ReqN0外界电源法I2US_N0+I16ΩI3Isc3AReq3Ω应用互易定理时的注意事项1、适用于线性纯电阻网络。2、激励和响应的位置互换前后，网络的结构和元件的参数必须保持不变。3、互易前后激励和响应的参考方向应保持一致。4、在求解具体电路问题时，互易定理要常与叠加定理、戴维宁定理、诺顿定理等联合使用。§2-9节点分析法

(node-analysismethod)

基本思想:

以独立节点电压为求解变量，根据KCL定律对独立节点列方程，联立可解出节点电压及其它未知量节点电压(nodevoltage)

:

在电路中任选一节点作为参考节点，设其电位为零，则其它节点对该节点的电压就是节点电压。建立节点方程的步骤

(1)选定参考节点(节点③)和各支路电流的参考方向，对独立节点列KCL方程(2)用节点电压u1、u2表示支路电流

(3)移项整理后得以节点电压为变量的节点方程G11、G22分别是联接到节点①、②的各支路电导的总和，并分别称为节点①、②的自电导(selfconductance)；

G12、G21是联接到节点①和节点②之间的两支路电导之和的负值，称为节点①和节点②的共电导[或互电导(mutualconductance)]；

若电路中不含受控源，G12＝G21is11、is22分别是电流源或等效电流源流入节点①、②的电流代数和G11u1表示在节点电压u1单独作用下流出①节点的电流

G21

u1表示在节点电压u1单独作用下流出②节点的电流G12u2表示在节点电压u2单独作用下流出①节点的电流

G22

u2表示在节点电压u2单独作用下流出②节点的电流节点方程的物理意义是：在各节点电压的共同作用下，流出某节点的电流代数和等于电流源或等效电流源流入该节点的电流代数和is11是电流源或等效电流源流入节点①的电流代数和is22是电流源或等效电流源流入节点②的电流代数和利用节点电压可以求解出电路中所有的支路电流和支路电压，因此节点电压具有完备性。例1.用节点法求图示电路中各未知的支路电流。解：

由此解得U=1V

例2.用节点法求图示电路中的Uo、Ia补充方程

解得：

解2：

补充方程

解得：

①

②

a在用节点法解电路时，如果电路中含有受控源，可将受控源当作独立源一样列写电路方程，增加将受控源的控制变量用节点电压表示的补充方程。

解法一：以节点②为参考节点注意：含有无伴电压源（以理想电压源的一端为参考点）联立求解得例3用节点法求图示电路中各支路电流。解法二：以节点③为参考节点（用电流为I4的电流源替换无伴电压源）联立求解得补充方程

混合变量方程（将节点①、②、4V电压源支路、10V电压源支路构成的闭合面作为一个广义节点）解法三：U1

U2=4V联立求解得利用节点分析法求解电路时，如果电路中含有无伴电压源（含无拌受控电压源）支路，则对联接此支路的两个节点不能直接套用公式列写方程。此时有下列几种处理方法：

1.选电压源的一端节点作为参考节点，则该电压源的另一端节点电压为已知，只须对其它节点列写节点方程即可；

2.将连接此电压源的两个节点作为一个广义节点列写节点方程；

3.增设电压源的电流为未知变量，并将此电流当作电流源电流列写节点方程，再增加一个与电压源相联接节点的电压差等于电压源电压的补充方程。（首选！！！）例4求图示电路中的各节点电压U1、U2、U3和U4。

由此解出②:③:①④广义结点:补充方程:与电流源串联的电阻元件，在列写节点方程时，不计自导和共导。因为根据替代定理，此支路可用该电流源等效替代，而不影响外电路的工作状态。例5根据替代定理可等效为下图后再列方程课堂练习对下列电路列写节点电压方程

（1）（2）补充方程（1）以④节点作为参考节点（2）以④节点作为参考节点§2

10回路分析法

(loopanalysismethod)

基本思想:

以独立的回路电流为求解变量，根据KVL定律对独立的回路列方程，联立可解出回路电流及其它未知量回路电流（loopcurrent

）:

绕某回路流动的电流，为假想电流，通常取某回路独占支路的电流为该回路的回路电流。

设一个电路有nt，b条支路，则独立回路数为

b-(nt-1)

通常取一组独立的网孔

支路电流：i1、i2、i3、i4、i5、i6

以三个网孔独占支路的支路电流作为回路电流，即为：i1、i2、i3i4=i1-i3i5=i2-i3i6=i1-i2回路电流i1、i2、i3是一组独立且完备的求解变量分别i1、i2、i3为求解变量列写三个网孔的KVL方程回路1：回路2：回路3：回路1、2共有支路的电阻，称为回路1、2的互电阻[或共电阻(mutualresistance)]。由于i1、i2经过R6的方向相反，故取负回路1中各支路电阻的总和，称为回路1的自电阻(selfresistance)，恒取正

回路1、3的互电阻。由于i1、i3经过R4的方向相反，故取负表示回路电流i1在回路1中产生的电压降表示回路1中沿回路绕行方向电压源的电压升代数和表示回路电流i2在回路1中产生的电压降表示回路电流i3在回路1中产生的电压降物理意义：

当独立回路数为3时，回路方程的一般形式例1求图示电路中各支路电流。

分别以3个回路的独占支路电流I、I2、I4为回路电流其它各支路电流为例2求图示电路中各支路电流。

解法一：将电流源支路视为某一回路的独占支路，该回路的回路电流即为电流源的电流，是已知量。选其他回路时避开电流源支路注意：含有电流源支路联立求解得回路电流其它各支路电流为解法二：可先用有伴电流源与有伴电压源的等效互换法，将原电路中2mA电流源与2kΩ电阻的并联结构变成一个等效的有伴电压源支路，然后再用网孔分析法求解。可先用有伴电流源与有伴电压源的等效互换法，将原电路中2mA电流源与2kΩ电阻的并联结构变成一个等效的有伴电压源支路，然后再用网孔分析法求解。但计算2kΩ电阻支路电流I4时必须回到原电路中进行计算。联立求解得回路电流解法三：以网孔为回路，设电流源的电压为u，即用一个电压值为u的电压源替换电流源，增加一个未知量，增加一个方程补充方程利用回路分析法求解电路时，如果电路中含有无伴电流源（含无伴授控电流源）支路，则对含有此电流支路的回路不能直接套用公式列写回路方程。此时须采用下列两种处理方法：选适当的回路，使该电流源支路只属于某一个回路，则此回路的回路电流为已知量，只须对其它回路列写方程即可；增设电流源两端电压为未知变量，将此电压当作电压源电压一样列写回路方程，并增加此电流源电流与相应回路电流关系的补充方程。（首选！！！）例3求图示电路中各支路电流。

解法一：选取回路电流如图所示图中有两个无伴电流源，15A的独立电流源和受控电流源(1/9)Ux，可以分别作为两个回路的回路电流。由于存在受控源，要相应补充方程I1=15

A由此解出I2=

4AI3=2A其它各支路电流为I4=I1+I2=(15

4)A=11AI6=I3-I2=(2+4)A=6AI5=I1+I3=(15+2)A=17A解法二：选取回路电流如图所示受控电流源的控制量求解得I1=15

A各支路电流为用回路分析法解电路时，如果电路中含有受控源，可将受控源当作独立源一样列写电路方程，增加将受控源的控制变量用回路电流表示的补充方程。对下列电路列写回路电流方程

（1）（2）课堂练习以I1、I2、I5为回路电流以I1、I4、I5、I7为回路电流动态元件和动态电路导论

线性动态元件（Lineardynamicelement）的基本约束关系线性动态电路（Lineardynamiccircuit)的时域分析法简介

线性动态元件

线性电容元件（linearcapacitor）线性电感元件(linearinductor)

线性耦合电感元件(linearcoupledinductor)§3-1电容元件一个二端元件，如果其端口电压u(t)和端口电荷量q(t)之间为代数关系:

f(u(t),q(t),t)＝0则称该二端元件称为电容元件。一.电容元件的分类：线性电容元件非线性电容元件时变电容元件非时变电容元件(linearcapacitor)(nonlinearcapacitor)(time-varyingcapacitor)(time-invariantcapacitor)单位：法拉

F、微法、纳法皮法二.线性时不变电容元件1.线性时不变电容元件的q-u关系C（capacitance）

————电容元件的电容量

是与q(t)、u(t)无关的常数q-u关系曲线2.线性电容元件的u-i关系电容对直流（稳态）相当于开路，具有隔直流的作用u、i取一致参考方向动态元件

微分关系

例1.有一个事先未曾带电的1

F电容，由下图所示电压予以激励。试求0.015s和0.035s时的电容电流，并绘出电容电流的波形。

解1）在0≤t≤0.03s内

2）在0.03s≤t≤0.04s内

u、i取非一致参考方向积分形式

若t0=0，则

u(0)——电容电压的初始值

电容电流为有限值时，电容电压不跳变

电容元件具有记忆(memory)特性例2.在下图所示电路中，设电容的初始电压试求开关由位置1倒向位置2后电容电压上升到90V所需要的时间。解当开关由位置1倒向位置2后，

当时，有 故 例3.图中电容C1具有初始电压u(0)，电容C2的初始电压则为零。开关在t=0时合上。试问在R

0和R=0两种情况下，电容C2的端电压u2和电流i2是否会跳变？解：1）当R

0时

i2为有限值，u2不会跳变根据KVL，两电容电压必须相等2）当R=0时i2发生跳变（0）u2发生跳变，i2为无穷大电流3.线性电容元件中的能量

当ΔW>0，电容元件吸收能量储存电场能

ΔW<0，电容元件释放电场能电容元件是储能元件电容元件不会释放出多于吸收或储存的能量

电容元件的最大储能

电容元件是无源元件例3.求一个1

F的未带电电容元件充电到100V时极板上所带的电荷量Q及储存在电场中的能量。Q=Cuc=10–6×100=10–4C储存在电场中的能量解：电荷量4.电容元件的串联和并联两个初始电压为零的电容元件串联两个初始电压为零的电容元件并联§3-2电感元件

一个二端元件，如其端口电流i(t)和端口磁链Ψ(t)之间为代数关系:

f(i(t),Ψ(t),t)＝0则称该二端元件称为电感元件。一.电感元件的分类：线性电感元件非线性电感元件时变电感元件非时变电感元件(linearinductor)(nonlinearinductor)(time-varyinginductor)(time-invariantinductor)L——电感元件的电感量，是与ψ(t)，i(t)无关的常数1.线性电感元件的ψ-i

关系单位：亨利H、毫亨、微亨二.线性时不变电感元件线性电感元件的ψ-i关系曲线2.线性电感元件的u-i关系：

电感对直流（稳态）相当于短路u、i取一致参考方向u(t)e(t)u、i取非一致参考方向积分形式

若t0=0，则

i(0)——电感电流的初始值电感元件具有记忆特性

电感电压为有限值时，电感电流不跳变

3.线性电感元件中的能量

当ΔW>0，电感元件吸收能量储存磁场能

ΔW<0，电感元件释放磁场能电感元件是储能元件电感元件不会释放出多于吸收或储存的能量

电感元件的最大储能

电感元件是无源元件例1.对于端电压为V的一个5H电感元件来说，如果iL(0)=0，求电感电流及t=0.01s时储存在磁场中的能量。解：电感电流

磁场能量4.电感元件的串联和并联两个初始电流为零的电感元件串联两个初始电流为零的电感元件并联对偶关系

电

容

电

感

ψ(t)=Li(t)

§3

3耦合电感元件

一.互感现象和互感

i2在线圈2中产生自感磁通链

，其中一部分与线圈2交链，即互感磁通链i1在线圈1中产生自感磁通链

，其中一部分与线圈2交链，即互感磁通链总磁通链自感磁通链

L1、L2——线圈1、2的自感(selfinductance)或自感系数，取正互感磁通链

M12=M21=M——互感(mutualinductance)或互感系数

单位：亨（H）若两个线圈产生的磁场相互加强，M>0；否则M<0电流方向线圈的绕行方向M

的正负与那些因素有关？耦合系数k表示两个线圈的耦合紧密程度紧耦合全耦合k远小于1：松耦合耦合系数

k与线圈的结构、相互几何位置、空间磁介质等有关二.线性耦合电感元件1.线性耦合电感元件的u-i关系同名端自感电压互感电压2.同名端及M的正、负

M>0M<0M>0M>0注意：M<0耦合电感元件中每一元件的自感恒为正，而互感M可正可负。判断M的正负原则是：当两电感元件电流的参考方向都是由同名端进入(或离开)元件时，M为正；否则，M为负。小结：

此时，互感的正负，可根据元件1中的电流和元件2的互感电压(即元件端电压)的参考方向与同名端的连接方式而定。如果电感元件2中没有电流通过，则元件2中无自感电压，电感元件1中无互感电压。例1.写出图示互感线圈上的电压电流关系。

M<0M>0例2.习题3-16各电感电压与电流取一致参考方向例3.习题3-15

M>0§3

4单位阶跃函数和

单位冲激函数

一.单位阶跃函数(unit-stepfunction):1.定义2.移位的单位阶跃函数

3.f(t)为任意函数

例1.矩形脉冲的时间函数表达式例2.试写出下图的时间函数表达式f(t)

二.单位冲激函数(unit-impulsefunction)

1.定义

2.δ(t-t0)定义为

3.A为常数

单位冲激函数的采样性质4.

f(t)为任意函数

三.单位冲激函数和单位阶跃函数之间的关系

例3.如图所示电路，uc(0)

=0,求电容电压和电流解：如果电容电压发生跳变，必然有冲激电流流过电容，电容极板上的电荷量发生跳变电容电荷的跳变量为：解二例4.如图所示电路，iL(0)

=0,求电感电压和电流解：如果电感电流发生跳变，必然有冲激电压施加在电感两端，电感中的磁通量发生跳变电感磁通的跳变量为：解二§3

5动态电路的输入-输出方程

动态电路分析方法时域分析法复频域分析法状态变量法动态电路时域分析步骤：输入-输出方程1）根据KVL、KCL和元件的VCR列写电路的微积分方程组；2）导出以某一变量表示的微分方程；3）根据换路前和换路后瞬刻的电路，求解电路的初始状态，即得到解微分方程时所需的初始条件；4）求解微分方程；5）对求出的解进行分析，归纳出带结论性的、具有普遍意义的概念。例1.以us(t)为输入、uc

(t)为输出以us(t)为输入、i(t)为输出特征方程：电路中含有两个独立的储能元件，所列方程为二阶微分方程例2如以i1(t)为输出变量，消去变量i2(t)得

如以i2(t)为输出变量，消去变量i1(t)得

特征方程：

电路中含有三个独立的储能元件，所列方程为三阶微分方程输入-输出方程的一般形式方程的阶数等于电路中独立储能元件的个数纯电感割集纯电容回路针对同一个电路，采用不同的变量作为求解变量，所得到的微分方程所对应的特征方程均相同。特征方程只与电路自身的参数和结构有关。§3

6初始状态和初始条件

一.基本概念

换路:电路与电源的接通、切断

电路参数的突然改变

电路联接方式的突然改变

激励源的突然改变

通常认为换路是即刻完成的，以t=0作为换路时刻以t=0-表示换路前的瞬时时刻以t=0+表示换路后的瞬时时刻独立的uc(0-)、iL(0-)或q(0-)、Ψ(0-)的数值的集合称为电路的原始状态(initialstate)

独立的uc(0+)、iL(0+)或q(0+)、Ψ(0+)的的数值集合称为电路的初始状态(originalstate)

零状态是零原始状态的简称注意:二.换路定则当电容电流为有限值时当电感电压为有限值时在电容电压与电感电流不跳变的情况下，电路的初始状态可根据电路的原始状态求得；三.求初始值电路中其它电压、电流的初始值可根据换路后的电路和电容电压、电感电流的初始值，以及独立源在t=0+时的激励值，应用电路的基尔霍夫定律和元件的电压电流关系求出。例1开关闭合前电路已工作了很长时间，求开关闭合后电容电压的初始值uc(0+)及各支路电流的初始值i1(0+)、i2(0+)、ic(0+)。

解：1)t=0-时2)根据换路定则

3）t=0+时例2.开关断开前电路已工作了很长时间，求开关断开后的iL(0+)、uL(0+)、u