2023年高考数学第07讲 直线的倾斜角与斜率

第07讲直线的倾斜角与斜率、直线的点方向式方程与点法向

式方程

一、知识概要

1直线的倾斜角

一条直线/向上的方向与X轴的正方向所成的最小正角叫作这条直线的倾斜角.当直线/与X轴

平行或重合时，规定它的倾斜角为。

直线的倾斜角a的取值范围是［0,兀）.

2直线的斜率

直线/的倾斜角的正切叫作直线/的斜率.

直线的斜率常用攵表示，即左=tana.

若已知直线的方向向量〃=（"/）,则左=：（“H0）.

若已知直线的法向量〃=（。功），则左=一£（6力0）.

3斜率公式

p

给定两点片（玉,y）,6（x2,%），玉。%，经过6,2两点的直线的斜率公式为k="二M.

4直线的点方向式方程与点法向式方程

名称已知条件方程说明

工一汽_y_yo

点方向式点P（«io，）o）及方向向量［=（“，加u2+vz7^0

uV

点法向式点P（zo，y＞）及法向量克=Q,6）a（工一工。）+6（y—了（））=0a2+/KO

二、题型精析

【例1】⑴已知3点A（0,5）,5（5,0）,。（＜一3）,过点A的直线/与线段相交，试求直

线/的斜率左和倾斜角a的取值范围；

（2）判断以A（l』），8（3,2）,C（T,5）为顶点的三角形的形状.

【策略点击】

第⑴问，思路一是利用构造点T所在的线段束求直线AT（即/）的料率，实质是构造新的函数

%=/«）并利用函数/«）的单调性求解，在求得料率之后根据斜率的变化范围进而求得倾斜

角的变化范围;思路二是充分利用图形的直观性，从直线/的动态变化来求左的取值范围，同时

也求得倾科角的变化范围.第⑵问，利用直线的斜率判断三角形边的位置关系，可先求出所在直

线的料率，再依据涂率关系，判断三角形的形状.

解:（D【解法一】

由题设知CB=（9,3）为直线CB的一个方向向量，直线的方程为平=1，即

x—3y—5=0.

在线段CB:x—3y—5=0（—3效/0）上任取一点T（3r+5,f）,te[—3,0]联结AT,当.工一（

时，直线AT的斜率即为左，"=3/+5=1-3（3/+5]

设k=f（。，已知一^^在（一8,-（-1,+8）上分别是增函数.

故％=/（。在一3,-|）3（-|,0上分别为增函数.

又1=—3时，攵=2;1=0时左=—1.

故当，w-3,—时，k..2;当7w1一§,0时，K,—1.

:.k的变化范围为攵£（-8,—l]u[2，+8）・

当女时，倾斜角口£[5,彳；

当左£[2,+8）时，倾斜角aearctan2,^

TT

当人不存在时，倾斜角a=一.

2

【解法二】

如图2—1所示，直线/过定点4（0,5）,心°=:三号=2,

L=»=—L

AB0-5

当直线/从AC处绕点N逆时针方向旋转到y轴时,

图2-1

斜率%由2增大趋近于+8,

当直线/从A3处绕点A顺时针方向旋转到y轴时,

斜率%由-1减小趋近于-8.的变化范围为4€（-8,-1]u[2,+co）.

7t34,71]

当左€（一»,—1]时，倾斜角ae；当Ze[2,+oo）时，倾斜角aearctan2,—;

万'彳2

rr

当人不存在时，倾斜角a=二.

2

13

(2)kAB=—,kAC——2,kBC=——..kAlj-kAC=-1,..AB.LAC.

又|AB国aq,.•.三角形为直角三角形.

【例2】（1）已知3x+5y+14=0,其中xe[—3,2],求若的最小值;

（2）已知2x+3y—6=0,且掇/3,求上的最大值和最小值.

x

【策略点击】

第Q）问，求线段上的.点与点P（—l,—2）连线料率的绝对值，解题时要抓住线段端点并注意当倾

科角变化时料率的变化情形.第⑵问，如何把一个代数问题疏予几何背景，实现曲线与方程的沟

通是解析几何问题破解的一种重要思路，不同的沟通可以产生不同的解法，但实质都是数形结

合思想方法的灵活运用.

【解】

(1)由已知得线段3x+5y+14=0,1W一3,2］的两个端点4(—3,—1),B(2,T),而巳丁可

以看作线段A8上的点与点(-1,-2)连线斜率的绝对值.

।2

记P(—1,-2),则左小=一1，kpB=一飞.

故当3x+5y+14=0,xe［-3,2］时，左=^!，晨一：或左…一；.

••八当即普的最小值W

(2)【解法一】

如图2—2所示，方程2x+3)—6=0表示直线A3,把

%=1与/=3代入2%+3旷一6=0,

4

得M=§，%=。・

2x+3y-6=0且1毅Ik3表示以8(3,0)为

端点的线段，工是直线。P的斜率，其中。是坐标原点，P是线段AB上的任意一点，用左表

X

y4

示斜率，2的最大值、最小值分别为人3=彳，30.

x3

【解法二】

2

2x+3y—6=0且1釜/3可化为y=—§x+2（l领k3）.

领k3）.①

2

如图2-3所示，函数y=—（1勃k3）是减函数，它的最大值、

x

最小值分别是［2］=2,②⑶=3.③

1X人axJ人in3

由①③③可知，上的最大值、最小值分别是

X

2c4

---F2=—=+图2-3

X人/max33^L-tr°

方法提炼一

⑴斜率％是一个实数，每条直线都存在唯一的倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率.

⑵当倾斜角二=0时,斜率女=0;当时，女〉0;当［=、时，左不存在;当ae■，兀

时，k<Q.

arctank,（女〉。）,

⑶若已知直线的斜率为k,则其倾斜角a=，0,（左=0）,

it+arctank.（k<0）.

⑷直线的斜率可以用来描述直线的方向，要特别注意正切函数攵=tana在［0,兀）上并不是单调

的，因此当已知斜率左的取值是连续区间时，倾斜角a的取值范围有时是断开的两个区间，求

倾斜角a的取值范围的一般步骤是:①求出斜率左=tane的取值范围;②利用三角函数的单调性

借助图像，数形结合，确定倾斜角a的取值范围.

【例3】（1）求过点4（—2,5）且平行于直线4：4》—3y一9=0的直线方程；

（2）求过点8（3,-4）且垂直于直线/2：3犬+7旷一6=0的直线方程；

⑶已知ABC,4（3,2）,8（9,—8）,C（—1,4）,试求.ABC的外心。的坐标；

（4）有两条直线它们的方向向量均为。,一2）,另有两条直线44，它们的法向量均为

（1,-2）,其中4与4交于点（2,T）,4与乙交于点（2,4）,求44,4/4的直线方程.

【策略点击】

对于第Q）问和第（2）问，由直线/:ar+/?y+c=0的一个法向量为”=,一个方向向量为

d=（—b,a）,根据此条件可求出与直线/平行或垂直的直线方程,对于第⑶问，_ABC的外心0

是中垂线交点，易求得3条中垂线方程（用点法向式），再通过解方程组求外心坐标.对于第⑷问，

确定直线需要两个独立条件（位置和方向），而题设中两个条件是具备的，求之极易.

【解】

（1）4=（4,-3）是4的一个法向量，也是所求的与4平行直线的法向量，由点法向式方程得所求

直线方程是4（x+2）-3（y-5）=0,即4x—3y+23=0.

⑵4=（3,7）是L的一个法向量，也是所求的与4垂直直线的一个方向向量，由点方向式方程

得所求直线方程是一=皇，即7x—3y—33=0.

⑶设点。,分别为A5,5C,C4的中点，3条中垂线方程分别为/“Jg，由中点坐标公式知

:D（6,-3）,E（4,-2）,F（1,3）.

A5=（6,—10）为直线4的一个法向量，由于直线4经过点。（6,—3）,

直线4的点法向式方程为：6（x—6）—10（y+3）=0,即3x—5y-33=0；同理可知，直线乙的

点法向式方程为：一10。―4）+12（丁+2）=0,即5n一6），-32=0；直线&的点法向式方程为

:4（x-l）-2（y-3）=0,即2x-y+l=0.

由一ABC三边的垂直平分线交于同一点易得o",-：）.

⑷由方向向量4=（1,一2）及直线上点（2,-4）知：，的点方向式方程为三2=券,即

1—2

2x+y=0.同理可知的点方向式方程为：三2=哼,即2x+y-8=0.由法向量

1—2

〃=（1,—2）及直线上点（2,—4）知：4的点法向式方程为：（x—2）—2（y+4）=0,即

x-2y-10=0.同理可知:4的点法向式方程为:（x—2）—2（y—4）=0,即x-2y+6=0.

方法提炼二

（1）直线的法向量和方向向量的关系互相转化：

直线的一般式方程以+6y+c=0中，的系数可构成直线的一个法向量〃=（。力），也可构

成直线的一个方向向量d=（—"。）；

(2)与直线/:av+加+c=0平行的直线可以统一写成以+制+j=0的形式;

(3)与直线/:dx+打+c=。垂直的直线可以统一写成bx-ay+c2=0的形式.

三、易错警示

【例】直线/过不同的两点A(cos6,sin%),5(0,1),求直线/的倾斜角a的取值范围.

sin%-1-cos26^

【【错解】一】:tana==—cosOw[―1,1].

cosff-0cosff

0„a＜肛.•.直线/的倾斜角a的取值范围是：aG

TT

H错解】二】：在上述【解法一】中，还要考虑cos。=0的情形，此时a=万.故tana不存在.

..•直线/的倾斜角a的取值范围是:a£0,—D.

【评析及正解】

上述【错解】中讨论了cos6=0时的情况，但此时点A的坐标也是(0,

1),与B,点重合，可见cosOwO,由此tanaw0,从而aw0,因此正

确的结果应是a0，Wu彳,4J.本例还可以运用数形结合法求解:

如图2—4所示，点A的轨迹是抛物线丁=一%2+1(0＜凶,，1),直线/的

倾料角a的取值范围应满足＜tana,,kRA或kRA„tana＜kRA.

7C..3乃c(八兀7134)

因此0<a,、—或—,，a<7c、即aw|0,—D

44I4

(注:此处就不再另附正确解法的具体步聚)

四、难题攻略

【例】已知以点E(0,4)为中心的正方形A8CD的顶点，按逆时针方向排列，且％＞4,

|AB|=|V2,对角线8。所在直线的斜率为研=：下(10,4)为定点，过动点P&0)作直线

PQ,使kg。+嚷=0.

若直线尸。与正方形ABC。的边界有公共点，求实数f的取值范围.

【破解析疑】

本题中P,Q都是动臭，P在x轴上移动，Q在正方形边界上移动，解决此题最关键的是运用化

归思想，把直线PQ与正方形边界有公共，点转化为与正方形对角线BO有公共点，继而又转化

为求直线满足某种倾斜程度的条件，通过解不等式求，的取值范

围，在化归过程中，数形结合化"形"为"数”，通过对“数”

的求解完成对“形”的刻画，非常精彩.

4

【解】如图2—5所示，易得直线8。的方程为＞=§x+4,

设点。的坐标为0（xgx+4）,由四=|正知，

|班=；|明考.网=|.

由此得（X—0）2+.解得

8,16„,_4

而可'叨=—可7刁,又称=_而'

4

知kpQ+kpF0,故kpQ

t-10

直线尸。与正方形ABC。边界有公共点的充要条件是:直线尸。与线段8。有公共

点,故效kpQkpB＜0、从而得_3（；匕）刃二0＜。，

即-6（1+1）轰*（1-10）—3（Z—1）,解得m麴）-y.

~1743~

即实数/的取值范围为—.

五、举一反三

1.⑴分别在X轴和直线y=x上各找一点民C,使它们与点4（4,2）组成的

三角形的周长最短；

⑵已知。为坐标原点，点A的坐标为（4,2）,P为线段0A的垂直平分线上一

点，若20P4为钝角，求点P的横坐标的取值范围；

⑶如图2-6所示，P是直线3x-y=0上位于第一象限的点，M（3,2）为

一定点，直线QM交x轴正半轴于点面积的最小值及此时直线PQ的方程.

【解】

⑴易知点4（4,2）关于x轴的对称点A（4,-2）点4（4,2）关于直线y=x的对称点A,（2,4）.

AA=（—2,6）,直线442的方程为^^=?.即*+k10=0.

—26

3x+y-10=0y-x55

由，得由・•得C

y=03x+y-10=02,2

⑵OA=（4,2）为。4垂直平分线I的一个法向量，又/过04的中点（2,1）,

故/的方程为4（x—2）+2（y_l）=0,即2x+y—5=0.

点P在/上，可设P（x,-2x+5）,PA=（4—x,2x-3）,PO=（—x,2x-5）,

.•.NPO=（4—祖一x）+（2x—3）（2x—5）=5/-20x+15.

PA-PO5x"—20x+15

又ZOPA为钝角，故cos/OPA=।—---1=-一^r一---1~-<0.

附n叫n「。|

解得I<x<3,又xw2,否则尸（2,1）恰为0A中点，与NOPA为钝角矛盾，故点P横坐标

xe（l,2）。（2,3）.

⑶由点P在直线3x-y=0上且位于第一象限，可设P（a,3a）（a>0）.

又设点Q&0）在x正半轴上j>0.

而MP=（a-3,3。-2）为直线MP的一个方向向量,MP方程:、|=卷二方