(适用辅导班)2023-2024年高二数学寒假讲义（基础班）1.2《充分条件与必要条件、全称量词与存在量词》 (教师版)

页第二节充分条件与必要条件、全称量词与存在量词核心素养立意下的命题导向1.与函数、不等式、解析几何等知识结合考查充分条件与必要条件的判断及应用，凸显逻辑推理的核心素养．2．以函数、不等式为载体考查全称命题、特称命题的否定及真假判断的应用，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．[理清主干知识]1．充分条件与必要条件的相关概念记p，q对应的集合分别为A，B，则p是q的充分条件p⇒qA⊆Bp是q的必要条件q⇒pA⊇Bp是q的充要条件p⇒q且q⇒pA＝Bp是q的充分不必要条件p⇒q且qpABp是q的必要不充分条件pq且q⇒pABp是q的既不充分也不必要条件pq且qpAB且A⊉B[提醒]不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题．2．全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个、任给等∀存在量词存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等∃3.全称命题和特称命题名称形式全称命题特称命题结构对M中的任意一个x，有p(x)成立存在M中的一个x0，使p(x0)成立简记∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)否定∃x0∈M，¬p(x0)∀x∈M，¬p(x)[澄清盲点误点]一、关键点练明1．(充分、必要条件的判断)“x<0”是“ln(x＋1)<0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：B2．(全称命题的否定)命题“所有可以被5整除的整数，末位数字都是0”的否定为________________．答案：“有些可以被5整除的整数，末位数字不是0”3．(特称命题的否定)命题“∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)﹣x0﹣1>0”的否定为________________．答案：∀x∈R，x2﹣x﹣1≤04．(全(特)称命题的真假判断)下列命题中的真命题是______(填序号)．①∃x0∈R，lgx0＝1；②∃x0∈R，sinx0＝0；③∀x∈R，x3>0；④∀x∈R,2x>0.解析：当x＝10时，lg10＝1，则①为真命题；当x＝0时，sin0＝0，则②为真命题；当x≤0时，x3≤0，则③为假命题；由指数函数的性质知，∀x∈R,2x>0，则④为真命题．答案：①②④二、易错点练清1．(混淆否命题与命题的否定)命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是______________________．答案：存在一个奇数，它的立方不是奇数2．(对充分、必要条件的概念理解不清)已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q的__________条件．答案：充分不必要考点一充分条件与必要条件的判断[典例](1)设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析](1)由a2>a得a>1或a<0，反之，由a>1得a2>a，则“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件，故选A.(2)由m，n，l在同一平面内，可能有m，n，l两两平行，所以m，n，l可能没有公共点，所以不能推出m，n，l两两相交．由m，n，l两两相交且m，n，l不经过同一点，可设l∩m＝A，l∩n＝B，m∩n＝C，且A∉n，所以点A和直线n确定平面α，而B，C∈n，所以B，C∈α，所以l，m⊂α，所以m，n，l在同一平面内．故选B.[答案](1)A(2)B[方法技巧]充分、必要条件的判断方法利用定义判断直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假．在判断时，确定条件是什么、结论是什么从集合的角度判断利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题[针对训练]1．(多选)下列说法正确的是()A．“ac＝bc”是“a＝b”的充分不必要条件B．“eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)”是“a＜b”的既不充分也不必要条件C．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆BD．“a＞b＞0”是“an＞bn(n∈N，n≥2)”的充要条件解析：选BCc＝0时，由ac＝bc不能得出a＝b，A错误；eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)与a＜b相互不能推导，如a＝2，b＝﹣1时，满足eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)但不满足a＜b，反之若a＝﹣1，b＝2，满足a＜b但不满足eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，∴“eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)”是“a＜b”的既不充分也不必要条件，B正确；由充分、必要条件与集合之间的包含关系可知C正确；由a＞b＞0能得出an＞bn，当a＝﹣4，b＝﹣2时，a2＞b2，但a＜b，D错误．2．设λ∈R，则“λ＝﹣3”是“直线2λx＋(λ﹣1)y＝1与直线6x＋(1﹣λ)y＝4平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A当λ＝﹣3时，两条直线的方程分别为6x＋4y＋1＝0,3x＋2y﹣2＝0，此时两条直线平行；若直线2λx＋(λ﹣1)y＝1与直线6x＋(1﹣λ)y＝4平行，则2λ×(1﹣λ)＝﹣6(1﹣λ)，所以λ＝﹣3或λ＝1，经检验，两者均符合．综上，“λ＝﹣3”是“直线2λx＋(λ﹣1)y＝1与直线6x＋(1﹣λ)y＝4平行”的充分不必要条件，故选A.

考点二根据充分、必要条件求参数范围[典例](1)已知p：x≥k，q：eq\f(3,x＋1)＜1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是()A．[2，＋∞)B．(2，＋∞)C．[1，＋∞)D．(﹣∞，﹣1](2)已知p：(x﹣m)2>3(x﹣m)是q：x2＋3x﹣4<0的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________．[解析](1)由eq\f(3,x＋1)＜1得，eq\f(3,x＋1)﹣1＝eq\f(2－x,x＋1)＜0，即(x﹣2)(x＋1)＞0，解得x＜﹣1或x＞2，由p是q的充分不必要条件知，k＞2，故选B.(2)p对应的集合A＝{x|x<m或x>m＋3}，q对应的集合B＝{x|﹣4<x<1}．由p是q的必要不充分条件可知BA，所以m≥1或m＋3≤﹣4，即m≥1或m≤﹣7.[答案](1)B(2)(﹣∞，﹣7]∪[1，＋∞)[方法技巧]根据充分、必要条件求参数范围的思路方法(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．[针对训练]1．若“x>2”是“x>a”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是()A．{a|a<2}B．{a|a≤2}C．{a|a>2}D．{a|a≥2}解析：选C“由x>2”是“x>a”的必要不充分条件，知{x|x>a}是{x|x>2}的真子集，将这两个集合表示在数轴上(如图)，由数轴知a>2，故选C.2．设命题p：eq\f(2x－1,x－1)<0，命题q：x2﹣(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．解析：解eq\f(2x－1,x－1)<0，得eq\f(1,2)<x<1，所以p：eq\f(1,2)<x<1；由q：x2﹣(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，得a≤x≤a＋1，即q：a≤x≤a＋1.要使p是q的充分不必要条件，则(eq\f(1,2),1)[a，a＋1]，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1≥1，,a≤\f(1,2)，))解得0≤a≤eq\f(1,2)，所以实数a的取值范围是[0,eq\f(1,2)].答案：[0,eq\f(1,2)]考点三全称量词与存在量词考法(一)全(特)称命题的否定[例1](1)命题“∀x>0，eq\f(x,x－1)>0”的否定是()A．∃x0<0，eq\f(x0,x0－1)≤0B．∃x0>0,0≤x0≤1C．∀x>0，eq\f(x,x－1)≤0D．∀x<0,0≤x≤1(2)已知命题p：∃m∈R，f(x)＝2x﹣mx是增函数，则¬p为()A．∃m∈R，f(x)＝2x﹣mx是减函数B．∀m∈R，f(x)＝2x﹣mx是减函数C．∃m∈R，f(x)＝2x﹣mx不是增函数D．∀m∈R，f(x)＝2x﹣mx不是增函数[解析](1)因为eq\f(x,x－1)>0，所以x<0或x>1，所以eq\f(x,x－1)>0的否定是0≤x≤1，所以命题的否定是“∃x0>0,0≤x0≤1”，故选B.(2)由特称命题的否定可得¬p为“∀m∈R，f(x)＝2x﹣mx不是增函数”．[答案](1)B(2)D[方法技巧]全(特)称命题进行否定的方法(1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；(2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可．[提醒]对于省略量词的命题，应先挖掘命题中的隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．考法(二)全(特)称命题的真假判断[例2](多选)下列命题说法错误的是()A．∃x0∈R，ex0≤0B．∀x∈R,2x>x2C．a＋b＝0的充要条件是eq\f(a,b)＝﹣1D．若x，y∈R，且x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1[解析]根据指数函数的性质可得ex>0，故A错误；x＝2时，2x>x2不成立，故B错误；当a＝b＝0时，eq\f(a,b)没有意义，故C错误；因为“x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1”的逆否命题为“x，y都小于等于1，则x＋y≤2”，是真命题，所以原命题为真命题，故D正确．故选A、B、C.[答案]ABC[方法技巧]判断全称命题、特称命题真假的思路考法(三)根据全(特)称命题的真假求参数[例3]已知命题“∀x∈R，ax2＋4x＋1>0”是假命题，则实数a的取值范围是()A．(4，＋∞)B．(0,4]C．(﹣∞，4]D．[0,4)[解析]当原命题为真命题时，a>0且Δ<0，所以a>4，故当原命题为假命题时，a≤4.故选C.[答案]C[方法技巧]根据全(特)称命题的真假求参数的思路与全称命题或特称命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．[针对训练]1．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n>x2”的否定形式是()A．∃x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n≤x2C．∃x∈R，∀n∈N*，使得n≤x2D．∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2解析：选C根据全称命题的否定是特称命题，则命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n>x2”的否定形式是“∃x∈R，∀n∈N*，使得n≤x2”．故选C.2．下列命题中的假命题是()A．∃x0∈R，lgx0＝0B．∃x0∈R，tanx0＝0C．∀x∈R,3x>0D．∀x∈R，x2>0解析：选D∃x0＝1，lgx0＝0；∃x0＝0，tanx0＝0；∀x∈R,3x>0；∀x∈R，x2≥0，所以D为假命题．故选D.3．已知命题p：∃x0∈R，log2(3x0＋1)≤0，则()A．p是假命题；¬p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0B．p是假命题；¬p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0C．p是真命题；¬p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0D．p是真命题；¬p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0解析：选B∵3x>0，∴3x＋1>1，则log2(3x＋1)>0，∴p是假命题，¬p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0.故选B.4．已知命题“∃x0∈R,4xeq\o\al(2,0)＋(a﹣2)x0＋eq\f(1,4)≤0”是假命题，则实数a的取值范围为________．解析：因为命题“∃x0∈R,4xeq\o\al(2,0)＋(a﹣2)x0＋eq\f(1,4)≤0”是假命题，所以其否定“∀x∈R,4x2＋(a﹣2)x＋eq\f(1,4)>0”是真命题，则Δ＝(a﹣2)2﹣4×4×eq\f(1,4)＝a2﹣4a<0，解得0<a<4.答案：(0,4)创新思维角度——融会贯通学妙法避免充分必要条件在解题应用中的失误学习充分条件和必要条件的重要意义，在于自觉地把它们应用到解题中，其实有许多题目，本身虽然没有出现充分条件和必要条件的字样，但在思考中，会运用充要条件的概念．如果理解不到位，在做题时就会经常出错．一、解题变形时错将必要不充分条件代替充要条件[例1]已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，求f(x)的解析式．[错解展示]f′(x)＝3x2＋2ax＋b.依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′1＝0，,f1＝10，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋b＋3＝0，,a2＋a＋b＋1＝10，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝－11))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝3.))当a＝4，b＝﹣11时，f(x)＝x3＋4x2﹣11x＋16.当a＝﹣3，b＝3时，f(x)＝x3﹣3x2＋3x＋9.[易错矫正]本题错误的根源在于：f′(x0)＝0是连续可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要而非充分条件，只有在x＝x0的左右两侧导数符号相反时，函数f(x)才在x＝x0处取得极值．在错解中得到a，b的值后，再进一步对驻点情况加以判定．当a＝4，b＝﹣11时，f′(x)＝3x2＋8x﹣11＝0的驻点是x＝﹣eq\f(11,3)和x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(11,3)))﹣eq\f(11,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,3)，1))1(1，＋∞)f′(x)＋0﹣0＋f(x)极大值极小值由表格可知，f′(x)在x＝1两侧符号相反，故f(x)在x＝1处取得极小值10，符合题意．当a＝﹣3，b＝3时，f′(x)＝3x2﹣6x＋3＝3(x﹣1)2≥0，经检验，不合题意，应舍去．综上，所求解析式是f(x)＝x3＋4x2﹣11x＋16.二、解题变形时错将充分不必要条件代替充要条件[例2]设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S3＋S6＝2S9，求数列的公比q.[错解展示]因为S3＋S6＝2S9，所以eq\f(a11－q3,1－q)＋eq\f(a11－q6,1－q)＝2·eq\f(a11－q9,1－q)，整理得q3(2q6﹣q3﹣1)＝0.由q≠0得方程2q6﹣q3﹣1＝0，所以(2q3＋1)(q3﹣1)＝0，解得q＝﹣eq\f(\r(3,4),2)或q＝1.[易错矫正]在错解中，由eq\f(a11－q3,1－q)＋eq\f(a11－q6,1－q)＝2·eq\f(a11－q9,1－q)，整理得q3(2q6﹣q3﹣1)＝0时，应有a1≠0和q≠1.在等比数列中，a1≠0是显然的，但公比q完全可能为1，因为q≠1是数列{an}为等比数列的充分不必要条件，因此，在解题时应先讨论公比q＝1的情况，再考虑q≠1的情况．若q＝1，则有S3＝3a1，S6＝6a1，S9＝9a1但a1≠0，即得S3＋S6≠2S9，与题设矛盾，故q≠1.又依题意S3＋S6＝2S9⇒eq\f(a11－q3,1－q)＋eq\f(a11－q6,1－q)＝2·eq\f(a11－q9,1－q)⇒q3(2q6﹣q3﹣1)＝0，即(2q3＋1)(q3﹣1)＝0，因为q≠1，所以q3﹣1≠0，所以2q3＋1＝0，解得q＝﹣eq\f(\r(3,4),2).[名师微点]解题变形时先求出其必要条件，然后再检验其充分性并将扩大的部分舍去；或先求出一个充分条件，再对可能出现的遗漏进行补充．三、解题变形时错将既不充分也不必要条件当成充要条件[例3]若函数f(x)＝eq\f(a－3x,1＋a·3x)(a为常数)在定义域上为奇函数，则a的值为________．[错解展示]因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0.即eq\f(a－1,1＋a)＝0，所以a＝1.[易错矫正]f(0)＝0是函数f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件，而本题错作为充要条件来用．因为f(x)是奇函数，所以f(x)＋f(﹣x)＝0.即eq\f(a－3x,1＋a·3x)＋eq\f(a－3－x,1＋a·3－x)＝0，所以eq\f(a2－13－x＋3x,1＋a·3x1＋a·3－x)＝0对定义域中的任意x都成立，得a＝±1.当a＝1时，f(x)＝eq\f(1－3x,1＋3x)，此时函数f(x)的定义域为(﹣∞，＋∞)；当a＝﹣1时，f(x)＝﹣eq\f(1＋3x,1－3x)，此时函数f(x)的定义域为(﹣∞，0)∪(0，＋∞)，都关于原点对称．故a＝±1.[答案]±1eq\a\vs4\al([课时跟踪检测])1．已知命题p：∀x∈(1，＋∞)，x2＋16>8x，则命题p的否定为()A．¬p：∀x∈(1，＋∞)，x2＋16≤8xB．¬p：∀x∈(1，＋∞)，x2＋16<8xC．¬p：∃x0∈(1，＋∞)，xeq\o\al(2,0)＋16≤8x0D．¬p：∃x0∈(1，＋∞)，xeq\o\al(2,0)＋16<8x0解析：选C全称命题的否定为特称命题，故命题p的否定¬p：∃x0∈(1，＋∞)，xeq\o\al(2,0)＋16≤8x0.故选C.2．下列命题中的假命题是()A．∀x∈R,2x﹣1>0B．∀x∈N*，(x﹣1)2>0C．∃x0∈R，lgx0<1D．∃x0∈R，tanx0＝2解析：选B∀x∈R,2x﹣1>0，根据y＝2x﹣1的图象知A正确；∀x∈N*，(x﹣1)2>0，取x＝1，计算知(x﹣1)2＝0，故B错误；∃x0∈R，lgx0<1，取x0＝1，计算lgx0＝0<1，故C正确；∃x0∈R，tanx0＝2，y＝tanx的值域为R，故D正确．故选B.3．设x∈R，则“2﹣x≥0”是“(x﹣1)2≤1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B由2﹣x≥0，得x≤2；由(x﹣1)2≤1，得﹣1≤x﹣1≤1，即0≤x≤2，据此可知：“2﹣x≥0”是“(x﹣1)2≤1”的必要不充分条件．4．已知函数f(x)＝3x﹣3﹣x，∀a，b∈R，则“a>b”是“f(a)>f(b)”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C易知函数f(x)＝3x﹣3﹣x为(﹣∞，＋∞)上的单调递增函数，从而由“a>b”可得“f(a)>f(b)”，由“f(a)>f(b)”可得“a>b”，即“a>b”是“f(a)>f(b)”的充要条件．5．(多选)对下列命题进行否定，得到的新命题是全称命题且为真命题的有()A．∃x∈R，x2﹣x＋eq\f(1,4)<0B．所有的正方形都是矩形C．∃x∈R，x2＋2x＋2≤0D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0解析：选AC命题的否定是全称命题，则原命题为特称命题，故排除B选项．命题的否定为真命题，则原命题为假命题，又选项A、C中的命题为假命题，选项D中的命题为真命题，故选A、C.6．设集合A＝{x|x>﹣1}，B＝{x|x≥1}，则“x∈A且x∉B”成立的充要条件是()A．﹣1<x≤1B．x≤1C．x>﹣1D．﹣1<x<1解析：选D∵集合A＝{x|x>﹣1}，B＝{x|x≥1}，x∈A且x∉B，∴﹣1<x<1；又当﹣1<x<1时，满足x∈A且x∉B，∴“x∈A且x∉B”成立的充要条件是“﹣1<x<1”．7．已知p：m＝﹣1，q：直线x﹣y＝0与直线x＋m2y＝0互相垂直，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A由题意得直线x＋m2y＝0的斜率是﹣1，所以eq\f(－1,m2)＝﹣1，m＝±1.所以p是q的充分不必要条件．故选A.8．定义在R上的可导函数f(x)，其导函数为f′(x)，则“f′(x)为偶函数”是“f(x)为奇函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B∵f(x)为奇函数，∴f(﹣x)＝﹣f(x)．∴[f(﹣x)]′＝[﹣f(x)]′＝﹣f′(x)，∴f′(﹣x)＝f′(x)，即f′(x)为偶函数；反之，若f′(x)为偶函数，如f′(x)＝3x2，f(x)＝x3＋1满足条件，但f(x)不是奇函数，所以“f′(x)为偶函数”是“f(x)为奇函数”的必要不充分条件．故选B.9．(多选)下列命题正确的是()A．“a>1”是“eq\f(1,a)<1”的充分不必要条件B．命题“∃x0∈(0，＋∞)，lnx0＝x0﹣1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，lnx≠x﹣1”C．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的必要不充分条件D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件解析：选ABD若eq\f(1,a)<1，则a>1或a<0，则“a>1”是“eq\f(1,a)<1”的充分不必要条件，故A正确；根据特称命题的否定为全称命题，得“∃x0∈(0，＋∞)，lnx0＝x0﹣1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，lnx≠x﹣1”，故B正确；当x≥2且y≥2时，x2＋y2≥4，当x2＋y2≥4时却不一定有x≥2且y≥2，如x＝5，y＝0，因此“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件，故C错误；因为“ab＝0”是“a＝0”的必要不充分条件，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，故D正确．故选A、B、D.10．若x>2m2﹣3是﹣1<x<4的必要不充分条件，则实数m的取值范围是()A．[﹣3,3]B．(﹣∞，﹣3]∪[3，＋∞)C．(﹣∞，﹣1]∪[1，＋∞)D．[﹣1,1]解析：选D∵x>2m2﹣3是﹣1<x<4的必要不充分条件，∴(﹣1,4)(2m2﹣3，＋∞)，∴2m2﹣3≤﹣1，解得﹣1≤m≤1，故选D.11．(多选)设a是实数，则a<5成立的一个必要不充分条件是()A．a<6B．a<4C