2022-2023学年人教版七年级下册数学压轴题训练

七年级下学期数学压轴题训练

1.如图，直线A38,点E在直线A8上，点F在直线CD上，点P在直线A8,CD

之间，连接PE,PF,EF,ZPFE=50°,直线1与直线A8,8分别交于点M,N,

ZWC=a(0°<£Z<9()°),E。是ZMEF的平分线，交直线CO于点0.

(1)求证：ZAEP+ZPFC=^EPF；

②若PF〃MN,OE〃MN时，求a；

(3)将直线1向左平移，并保持尸尸MN,在平移的过程中(除点M与点E重合时),

求NEOF的度数(用含a的式子表示).

(1)如图1,AB//CD,ZPAB=130°,ZPCD=120°.求NAPC度数.小颖同学的解题

思路是：如图2,过点P作PE〃/W,请你接着完成解答

⑵如图3,AO〃8C,点P在射线。河上运动，当点P在A、B两点之间运动时，

ZADP=^a,48。「=/月.试判断/。「。、Na、之间有何数量关系？(提示：过

点P作PE〃A£>),请说明理由；

(3)在(2)的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时(点P与点A、B、0三点不重

合)，请你猜想NCPZX4a、N4之间的数量关系.

3.汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间

查看河水及两岸河堤的情况.如图，灯A射出的光束自AM顺时针旋转至AN便立即回

转，灯B射出的光束自3P顺时针旋转至8。便立即回转，两灯不停交叉照射巡视.若

灯A射出的光束转动的速度是a。/秒，灯B射出的光束转动的速度是〃/秒，且a、b满

足|“-34+(a+6-4)2=0.假定这一带水域两岸河堤是平行的，即P。MN,且

图1图2

⑴求a、b的值；

(2)如图2,两灯同时转动，在灯A射出的光束到达AN之前，若两灯射出的光束交于点

C,过C作CDLAC交尸。于点D,若/3CO=20。，求N5AC的度数；

(3)若灯B射线先转动30秒，灯A射出的光束才开始转动，在灯B射出的光束到达BQ之

前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？

4.如图1,已知两条直线Afi,CD被直线E尸所截，分别交于点E,点F,平分NAE尸

交C。于点M,且NFEM=NFME.

(1)判断直线A8与直线CD是否平行，并说明理由；

⑵如图2,点G是射线MD上一动点(不与点M,F重合)，EH平分NFEG交CD于点、

II,过点H作〃于点N,设NEHN=a,NEGF=B.

①当点G在点F的右侧时，若a=30。，求B的度数：

②当点G在运动过程中，a和p之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证

明.

5.已知直线点P,Q分别在直线A3,CD±.

图①图②

(1)如图①，当点E在直线A8,CO之间时，连接PE,QE.探究NPEQ与NBPE+NDQE

之间的数量关系，并说明理由；

(2)如图②.在①的条件下，PF平分NBPE,QF平分NOQE,交点为F.求NPFQ与

ZBPE+NOQE之间的数量关系，并说明理由；

(3)如图③，当点E在直线AB,CZ)的下方时，连接PE,QE,PF平■分ZBPE,Q”平

分NCQE,。”的反向延长线交P尸于点F,若4=40。时，求N尸的度数.

6.如图，直线AB〃C。，直线EF与A8、8分别交于点G、H,NEHD=a0<a<90。).小

安将一个含30。角的直角三角板P/WN按如图①放置，使点N、M分别在直线48、CD

上，且在点G、”的右侧，ZP=90°,NPMN=60°.

图①图②

(1)填空：NPNB+NPMD_NP(填“>”“<”或“=")；

(2)若NMNG的平分线N。交直线CO于点O,如图②.

①当ON〃EF,PM〃EF时,求a的度数：

②当〃4'时，求NMQV的度数(用含a的式子表示).

7.张老师将教鞭和直角三角板放在量角器上.如图①，是量角器的直径，点。是

圆心，教鞭。C与。河重合，直角三角板的一个顶点放在点。处，一边0B与。N重合,

N4QB=30°.如图②，现将教鞭0C绕点。沿顺时针方向以每秒3。的速度旋转，同时将

直角三角板绕点。逆时针方向以每秒2。的速度旋转，当0C与ON重合时，三角板和教

鞭OC同时停止运动.设旋转时间为1秒.

图①图②

(1)在旋转过程中，求NAON的度数(用含f的代数式表示).

(2)在旋转过程中，当r为何值时，0ALMN.

(3)在旋转过程中，若射线OC,OA,。8中的两条射线组成的角(指大于0°而不超

过180。的角)恰好被第三条射线平分，求出此时，的值.

8.如图1,A8〃C£>,点E,F分别在直线CD,ABh,NBEC=2/BEF,过点A作

AG_L3E的延长线交于点G,交CD于点N,AK平分NB4G,交EF于点H,交BE于

⑴直接写出NFAH,—KE”之间的关系：.

⑵若NBEF=；NBAK,求/AHE.

(3)如图2,在(2)的条件下，将绕着点E以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转

时间为t,当KE边与射线重合时停止，则在旋转过程中，当oQE的其中一边与

一ENG的某一边平行时，直接写出此时t的值.

9.已知：如图，直线。b,AC18c于点C,连接A8且分别交直线。、b于点、E、F.

(1)如图①，若/和/EFG的角平分线EM、FM交于点M,请求的度数：

图①

⑵如图②，若NEDC的角平分线DM分别和直线b及NFGC的角平分线G。的反向延长

线交于点N和点M,试说明：Zl+Z2=135°；

图②

(3)如图③，点M为直线。上一点，连结MF,NMFE的角平分线7W交直线。于点N,

过点N作NQLN尸交/印加的角平分线尸。于点。，若NDEA记为£,请直接用含尸

的代数式来表示4MNQ+ZHFQ.

10.已知：直线EF分别交直线AB,CD于点G,H,且NAG"+NDH尸=180。,

图1图2图3

(1)如图1,求证：AB//CD；

⑵如图2,点M,N分别在射线GE,HF上，点P,Q分别在射线CA,HC上，连接MP,

NQ,且/MPG+/NQ¥=90°,分别延长MP,NQ交于点K,求证：MKINK；

⑶如图3,在(2)的条件下，连接KH,KH平分NMKN,且HE平分若

17

/DHG=—/MPG,求NXMZV的度数.

7

11.几何模型在解题中有着重要作用，例如美味的“猪蹄模型”.

图②

图⑤

(1)导入：如图①，己知AB"CD〃EF,如果NA=26。，ZC=34°,那么ZAEC=

。・

(2)发现：如图②，已知请判断Z4EC与NA,NC之间的数量关系，并说

明理由；

(3)运用：(i)如图③，已知A8〃CO,/4EC=88。，点/、N分别在AB、CD±,

MN//AE,如果NC=28°,那么4fiV£)=_°；

(ii)如图④，己知A3〃C£>,点M、N分别在AB、CO上，ME、NE分别平分Z4MF

和NCNF.如果NE=116。，那么NF=一。；

(iii)如图⑤，已知A3〃a),点M、N分别在48、CD±,MF、NG分别平分/而WE

和NCNE,且EG〃M尸.如果NMEN=a,那么NEGN=_.(用含a的代数式表示)

12.如图1,将三角板A8C与三角板ADE摆放在一起，其中NACB=3()。，/D4E=45。，

ZBAC=ZD=90°,固定三角板MC,将三角板AOE绕点A按顺时针方向旋转，当点

E落在射线AC的反向延长线上时，即停止旋转.

(1)如图2,当边AC落在—D4E内，

①NC4。与N84E之间存在怎样的数量关系？试说明理由；

②过点A作射线AF,AG,若NC4F=；NCA£>,NBAG=；NE4G,求NE4G的度数；

(2)设VA0E的旋转速度为3°/秒，旋转时间为t,若它的一边与一他C的某一边平行

(不含重合情况)，试写出所有符合条件的t的值.

13.已知如图A8〃CQ.

(1)由图①易得/8、NBED、的关系(直接写结论)；由图②易得/8、

ABED.ND的关系(直接写结论).

⑵从图①图②任选一个图形说明上面其中一个结论成立的理由.

(3)利用上面(1)得出的结论完成下题：

已知，AB//CD,/年与N8E两个角的角平分线相交于点/.若NE=60。，求

NBFD的度数.

14.如图1,在平面直角坐标系中，点A(a,O)点8(40)为龙轴上两点，点C在丫轴的正

半轴上，且。，匕满足等式〃+2"+/=0.

图1图2图3

(1)判断一的形状并说明理由；

(2)如图2,M,N是OC上的点，ELZCAM=AMAN=ZNAB,延长8N交AC于尸,

连接PM,判断与4V的位置关系，并证明你的结论.

(3)如图3,若点。为线段BC上的动点(不与8,C重合)，过点。作。他于E,

点G为线段OE上一点，且NBGE=ZACB,尸为A£)的中点，连接CF,FG.求证:

CF1FG.

15.小明同学遇到这样一个问题：

如图①，已知：ABCD,E为AB、CD之间一点，连接BE,ED,得到NBE£).

求证：NBED=NB+ND.

小亮帮助小明给出了该问的证明.

图①

证明：过点E作£F〃AB,则有N8£F=N8

■:ABCD

：.EFCD

：.AFED=AD

/BED=/BEF+4FED=ZB+4D

请你参考小亮的思考问题的方法，解决问题:

(1)直线直线EF和直线4、4分别交于C、。两点，点AB分别在直线4、4上,

猜想：如图②，若点P在线段8上，NR4c=15。，NPBD=60°,求NAPB的度数.

(2)拓展：如图③，若点P在直线EF上，连接以、PB(BD<AC),直接写出

ZPAC.ZAPB、NPBQ之间的数量关系.

16.如图①，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(-1，0)、(3,0),现同时将点A、

B向上平移2个单位长度，再向右平移一个单位长度，得到A、B的对应点C、D,连接

AC、BD、CD.

3

(1)写出点C、D的坐标并求出四边形ABOC的面积；

(2)在x轴上是否存在一点F,使得一。FC的面积是..少B面积的2倍？若存在，请求出

点F的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)如图②，点P是直线8。上一个动点，连接PC、PO,当点P在直线8。上运动时,

请直接写出NOPC与NPCD、NPOB的数量关系.

17.如图，点A的坐标为(4,3),点B的坐标为(1,2),点M的坐标为三角形ASM

的面积为3.

_______11111A」I111111AII111111A

O12345X-2-If；I23456x-2-10123456^

-lr-1r--11-

(1)三角形ABM的面积为3,当m=4时，直接写出点M的坐标______；

(2)若三角形A8M的面积不超过3,当加=3时，求n的取值范围；

(3)三角形ABM的面积为3,当14M<4时，直接写出m与n的数量关系；

18.在平面直角坐标系X。)，中，对于任意两点M,N,给出如下定义：点〃，N的横

坐标之差的绝对值与纵坐标之差的绝对值的和叫做这两点之间的“直角距离”，记作：

dMN,即点M(%，％)与点N(&,%)之间的“直角距离"为4^=|%-々|+|必-必|・已

知点4(-3,2),点8(2,1).

A

X

(1)A与B两点之间的“直角距离"C!AB=；

⑵点。(。,力为y轴上的一个动点，当t的取值范围是时，幺0+〃。的值最

小；

(3)若动点P位于第二象限，且满足Bw/p,请在图中画出点P的运动区域(用阴影

表示).

参考答案:

1.(1)见解析

(2)a=50。

(3)N比万的度数为ga+25。或65。—；。

【分析】(1)根据A3CD,得到NAE尸+NCFE=18()。，进而得到

ZAEP+ZPEF+ZPFE+ZPFC=\SO0,根据三角形内角和定理

ZPEF+ZPFE+ZEPF=180°,即可得证；

(2)根据平行线的性质，以及角平分线平分角，进行角的转化，求解即可;

(3)分点M在点E右侧和点M在点E左侧，两种情况进行讨论求解.

【解析】(1)解：・・・48CD,

：.ZAEF+ZCFE=\S00.

：.ZAEP+ZPEF+ZPFE+ZPFC=180°,

・・•/PEF+APFE+/EPF=180°,

.・.ZAEP+APFC=ZEPF.

(2)VPF//EO,

/.NFEO=/PFE=5。。,

*/E1。是Z收的平分线，

JNMEO=NFEO=50。,

・.・ABCD,

；・ZEOF=ZMEO=50°,

・.・OEMN,

・•・乙MNC=/EOF=50°,

：.a=50°,

(3)当点M在点E右侧时，

PFMN,

:./PFC=AMNC=a,

・.・ABCD,

.•・NBEF=NCFE=a+50。,

•/EO是Z/收的平分线，

・・・Z.BEO=-Z.BEF=L+25。,

22

,/ABCD,

:.ZEOF=ZBEO=-a+25°；

2

当点M在点E左侧时，如图，

ME

B

'；PFMN,

：.ZPFC=ZMNC=a,

：.ZCFE=a+50°,

,/ABCD,

二ZAEF=\80°-ZCFE=\30°-a,

：EO是ZMEF的平分线，

/.ZAEO=-NBEF=65°--a,

22

■:ABCD,

ZEOF=ZAEO=65°--a,

2

.../EOF的度数为!a+25。或65。-：。.

22

【点评】本题考查利用平行线的性质，三角形的内角和定理.熟练掌握平行线的性质，是解

题的关键.

2.（1）见解析

（2）ZCPD=Za+Z/3,理由见解析

⑶当P在84延长线时，NCP£）=N£-Na；当P在30之间时，NCPD=Na-N。.理由

见解析

【分析】（1）作出平行的辅助线，根据平行线的性质和判定得到同旁内角互补的关系，直接

求解；

（2）作出平行的辅助线，根据平行线的性质和判定得到内错角相等的关系，直接求解；

（3）分类讨论P点的位置，同（1）（2）可证角度的数量关系，直接求解.

【解析】（1）过P作PE〃/

AB//CD,

：.AB//CD//PE,

AAPE=\800-ZA=50°,NCPE=1800-ZC=60°,

二ZAPC=500+60o=110°；

（2）ZCPD=Za+Z/?,理由如下：

如图3,过P作尸E〃A£＞交CO于E,

AD//BC,

：.PE//AD//BC,

：.Za=ZDPE,“=NCPE,

：.ZCPD=ZDPE+NCPE=Na+N4；

M

图3

(3)当P在54延长线时，NCPD=N£-Na；

如图4,过P作/石〃A£>交CO于E,

,?AD//BC,

：.PE//AD//BC,

：.4a=NDPE,2/3=NCPE,

：.ZCPD=ZCPE-ZDPE=Z/7-Za；

当P在5。之间时，ZCP£>=Za-Z^.

理由：如图5,过P作依〃AD交CD于E,

■:AD//BC,

PE//AD//BC,

；.Z«=ZDPE,40=4CPE,

：.NCPD=ZDPE-ZCPE=Na-N/7.

【点评】此题考查平行线的性质和判定，解题关键是平行线的判定为：两直线平行，内错角

相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同位角相等.

3.(1)a=3>b=1

(2)30°

⑶当r=15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行.

【分析】(1)根据|a-3b|+(a+b-4)2=0,可得a—%=0,且a+6—4=0,进而得出a、b

的值；

(2)设灯A射线转动时间为t秒，根据/8CD=90。-ZBCA=90°-(180°-2/)=-90°=20°

可得t的值，根据NR4C=45。-（180。-3，）=3，-135。可得/R4C；

（3）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：①在灯A射线转到AN

之前，②在灯A射线转到AN之后，分别求得t的值即可.

【解析】（1）•.•卜—34+（“+。—4『=0.

XV|a-3/?|>0,（a+fe-4）2>0.

/.a=3,b=\；

（2）设A灯转动时间为t秒，

如图，作CE//PQ,而PQ//MN,

/.PQHCEHMN,

ZACE=ZCAN=180°-3t°,ZBCE=ZCBD=t°f

：.ZBCA=ZCBD+ZCAN=t+\800-3t=180°-2t,

・・・ZACD=90°,

.・./BCD=90。-ZBCA=90°-(180°-2r)=2r-90°=20°,

・・・f=55。，

VZC47V=180°-3r,

・・.ABAC=45°-(180°-3r)=3r-l35°=165°-135°=30°；

(3)设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行.

依题意得Ovr<150

①当OVE<60时，3z=(30+f)xl,

解得，=15；

②当60v，vl20时，3r-3x60+(304-r)xl=180,

解得f=82.5；

③当120<f<150时，3r-360=f+30,

解得，=195>150（不合题意）

综上所述，当1=15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行.

【点评】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分

类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补.

4.⑴ABCD,理由见解析

（2）①尸=60。；②当点G在点F的右侧时a=g/7,当点G在点F的左侧时，a=9（T-g/，

证明见解析

【分析】（1）依据角平分线，可得ZAEM=AFEM,根据NFEM=ZFME,可得ZAEM=NFME,

进而得出A3CD.

（2）①EH平分NFEG,平分NAEF,即可得到NME4=,再根据析_LME,

即可得到N〃EN=60。，进而求出4EG=120。，再根据平行线的性质可得答案；②分两种

情况进行讨论：当点G在点F的右侧时.当点G在点F的左侧时，根据平行线的性质和角平

分线的定义讨论求解即可.

【解析】（1）解：钻CD,理由如下：

EM平分NAEF,

:.ZAEM=/FEM,

XVZFEM=NFME,

：.ZAEM=ZFME,

：.ABCD.

（2）解：①如图2,:•EH平分NFEG,EM平分NAEF,

：.ZHEF=-NFEG,NMEF=-ZAEF,

22

NMEH=-ZAEG,

2

又,：HNLME,即Z/fVE=90。，

:.ZHEN=180°-ZEHN-ZHNE=60°,

ZAEG=\20°,

'：ABCD,

二ZAEG+ZEGM=180。，

2=180°-120°=60°；

②点G是射线MD上一动点，故分两种情况讨论：

如图2,当点G在点F的右侧时，a=1/?,证明如下：

,?ABCD,

ZAEG=180°-ZEGF=180°-4，

又♦：EH平分NFEG,平分/

，ZHEF=-Z.FEG,NMEF=-ZAEF,

22

NMEH=gZAEG=180。-£),

又•：HNLME,即4VE=90°,

二ZEHN=180°-ZHEN-ZHNE=180°-90°-^(180°-,

图2

如图3,当点G在点F的左侧时，。=90。-(4，证明如下:

证明：ABCD,

：.AAEG=AEGF=/3,

又•；EH平分NFEG,平分/AEF,

ZHEF=-NFEG,NMEF=-AAEF,

22

ZMEH=ZMEF-ZHEF

=；(ZAEF-NFEG)

=-ZAEG

2

又：HNLME,

：.4EHN=180°-ZMEH-NENH=180°-；4-90°,

.♦.a=90。-

【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义,熟知平行线的性质是解题的关键.

5.(1)NPEQ=Z.BPE+ZDQE

(2)ZPFQ=；(NBPE+ZDQE)

(3)"=110。

［分析］(1)过点E作EM//AB,则ZBPE=NPEM,EM。，进而得出=NQEM,

即可得出结论；

(2)同(1)的方法，得出NBPF+NDQF=NPFQ,根据角平分线的定义得出N8P尸

NBPE,NDQF=士NDQE,即可得出结论；

(3)过点E作EN〃AB,根据平行线的性质得出NCQE=220。-N8PE,同(1)的方法,

即可求解.

【解析】(1)解：NPEQ=NBPE+NDQE,

理由如下：

如图所示，过点E作EM〃A8,

图①

:.ZBPE=ZPEM,

AB//CD,

:.EM//CD,

NDQE=NQEM,

NPEQ=NPEM+NQEM=NBPE+NDQE,

即NPEQ=NBPE+ZDQE；

(2)NPFQ=；(NBPE+NDQE),理由如下:

PF平分NBPE,QF平分NOQE,

NBPF=|NBPE,NO"=；NDQE,

APB

图②

由(1)可"PEQ=NBPE+NDQE,

同理可得NBPF+ZDQF=ZPFQ,

NPFQ=iNBPE+1NDQE=1(NBPE+ZDQE)=^ZPEQ,

即ZPFQ=；(NBPE+NDQE)；

(3)如图，过点E作硒〃/W,

图③

:./PEN=ZBPE,

PF平分ZBPE,QH平分NCQE,

ZBPF=yNBPE,ZCQH=|NCQE,

；NFQD=NCQH=1ZCQE,

AB//CD,AB//EN,

CD//EN,ZPEQ=40°,

NCQE=180°-ANEQ=180°-(APEN-ZPEQ)=180°-NBPE+40°=220°-NBPE,

由(1)可得NF=NBPF+NFQD

WNBPE+3NCQE

=ZBPE+(220°-ZBPE)

=110°.

【点评】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的性质，掌握平行线的性质与判定是解

题的关键.

6.(1)=

⑵①a=60。；②ZMON的度数为30。+ga或6(T-ga

【分析】（1）过尸点作PQ//AB,根据平行线的性质可得/PNB=/NPQ,/PMD=/QPM,

进而可求解；

（2）①由平行线的性质可得NQNM=NPMN=60。，结合角平分线的定义可得

ZANO=ZONM=60°,再利用平行线的性质可求解；

②可分两种情况：点N在G的右侧时，点N在G的左侧时，利用平行线的性质及角平分线

的定义计算可求解.

【解析】（1）解：过P点作PQ〃A3,

/.4PNB=ZNPQ,

AB//CD,

PQ//CD,

4PMD=4QPM,

/.NPNB+NPMD=ZNPQ+/QPM=/MPN,

故答案为：=

(2)①ON//EF,PM//EF,

・•.PO〃PM,

ZONM=ZNMP,

/PMN=60。,

:"ONM=/PMN=0f,

NO平分NMVO,

.\ZANO=ZONM=60°,

AB//CD,

ZNOM=ZANO=60°,

:.a=ZNOM=60°；

②点N在G的右侧时，如图②，

//EF.ZEHD=a

/.Z.PMD=a,

/.ZW£>=60°+a,

AB//CD,

ZANM=/NMD=60。+a,

NO平分NAW,

ZANO=|ZANM=30°+ga,

AB//CD,

AMON=ZANO=30°+ga；

点N在G的左侧时，如图,

PM//EF,ZEHD=a,

:.APMD=a,

:.ZNMD=600+a,

AB//CD,

：.ZBNM+ZNMO=180°,NBNO=NMON,

NO平分NMNG,

...Z8NO=g[180°-(60°+a)]=60°-ga,

.♦./MON=60。"心,

综上所述，ZMON的度数为30。+30或60。-3&.

【点评】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，分类讨论是解题的关键.

7.⑴30。+2。/或(30+2f)度或30。+(〃)。

⑵当t=30秒时，0ALMN

⑶当f=24秒或33秒或42秒时，射线OC,OA,。3中的两条射线组成的角恰好被第三条

射线平分

【分析】(1)根据题意，可得ZAON=ZAOB+ZBON,据此列出代数式即可求解；

(2)当OA_LMN时，ZAON=90°,根据题意列出方程，解方程即可求解.

(3)分3种情况：①如图3,当。4平分NCO8时，NCOA=NAOB=30。.②如图4,当OC

平分/A08时，ZAOC=^COB=-ZAOB=15°.③如图5,当08平分NAOC时，

2

ZAOB=^COB=30°,分别列出方程，解方程即可求解.

【解析】（1）解：如图1,•••/4。8=30°,NBON=（2t）°.

：.ZAON=ZAOB+ABON

=（30+2。。.

图1

（2）如图2,:当OA_LMN时，NAON=90。,

/.ZA07V=300+（2r）0=90°,

解得：7=30（秒）.

.•.当f=30秒时，0ALMN

（3）分3种情况：

①如图3,当。4平分NCOB时，ZCOA=ZAOB=30°.

Z.COM+ZBON=180°-NCOB,

3r+2r=180-60

解得：f=24（秒）.

图3

②如图4,当OC平分/AQ8时，AAOC=ZCOB=^ZAOB=15°.

,ZCOM+ZBON=180°-ACOB,即3r+2f=180-15

解得：/=33（秒）.

图4

③如图5,当。B平分ZAOC时，ZAOB=ZCOB=30°.

二NCOM+ZBON-NCOB=180°.

3r+2r-30=180

解得：7=42（秒）

图5

，综上所述，当f=24秒或33秒或42秒时，射线OC,OA,。8中的两条射线组成的角恰

好被第三条射线平分.

【点评】本题考查了几何图形中角度的计算，一元一次不等式的应用，列代数式，分类讨论，

数形结合是解题的关键.

8.(1)ZAHE=ZFAH+ZKEH

⑵75°

⑶6,12,21,24,30

【分析】(1)根据平行线的性质和三角形的外角性质可得答案；

(2)根据=分别表示出N54K、ZBEC、NBAK、ZKAG.ZAME^ZAHE,

再由AG_L8E,可得ZBEF的度数；

(3)结合(2),分以下几种情况求解:①当NG时，延长在交GN边于P,②当K”EG

时，③当KHEN时，即EK与EG在同一直线上时，④当KENG时，⑤当"ENG时.

【解析】⑴ABCD,

•••ZKEH=ZAFH,

ZAHE是的外角，

•••ZAHE=ZAFH+ZFAH,

ZAHE=NFAH+NKEH,

故答案为：ZAHE=ZFAH+ZKEH；

(2)ABCD,

NBAK=NMKE,ZABE=NBEC,

NBEF=>4BAK,

2

ZBAK=2ZBEF,

ZBEC=2/BEF,

：,/BAK=/BEC,

••・ZBAK=ZABE,

AK平分ZB4G,

.・./BAK=ZGAK=/ABE,

AG工BE,

ZAGB=90°9

:.3ZBAK=90°f

/BAK=ZABE=ZGAK=30°,

・•.ZBEF=-ZABE=\50,

2

・•.ZCEF=45°,

/.ZCEF=ZAFE=45°,

・•.ZAHE=ZAFE+ZBAK=75°；

(3)①当KHNG时，延长K石交GN边于尸，如图,

NEKH=NEPG=30。,

・•.ZPEG=90°-ZEPG=60°,

AGEN=90°-ZENG=30°,

・・./PEN=ZPEG-ZGEN=30°,

/./CEK=/PEN=30。,

当△口/E绕E点旋转30。时，EKGN,

30°

t=-^-=6(秒)

②当K”EG时，如图，

ZEKH=ZKEG=30°fANEK=ANEG+ZKEG=60°,

・•,NN£K=60。，

ZCEK=\20°9

当AAHE绕点E旋转120。时,HKEG,

.：=孽120°-=24（秒），

③当K”EN时，即EK与EG在同一直线上时,

NCEK=150。当绕点E旋转150。时，KHEN,

.,1=1母50°=30（秒），

④当KENG时，

；NGEK=30°,/.Z.CEK=90°-ZGEK=60°,

当△AHE旋转60°时，KENG,

.r=攀=12（秒）

⑤当NG时，

NGEK=30。，NKEH=45°,

ZCEK=Z.CEH+Z.HEK=90°-Z.GEK+NHEK=105°,

•••当△咫iE旋转105。时，HENG,

r=f=21（秒），

综上所述，当的其中一边与△&VG的某一边平行时t的值为6,12,21,24,30.

【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，三角形的内角和，一元一次方程在几

何问题中的应用，理清题中的数量关系并分类讨论是解题的关键.

9.（1）ZEMF=90°

（2）说明见解析

(3)ZMNQ+ZHFQ=^

【分析】(D由平行线的性质及角平分线的定义可得/r»EF+NGEE=180。，

NDEM=；NDEF；NGFM=；NGFE,BPZDEM+ZGFM=(ZDEF+ZGFE)=90°,过

点M作直线/。交AB于点H,可得NHME=NDEM,ZHMF=NGFM,进而可得

ZEMF=NHME+ZHMF=ADEM+ZGFM=90°.

(2)过点C作直线/a,由平行线的性质可得NFGC+N4=180o,NEOC+N5=I80。，由题

意得N4+N5=90。，可得NFGC+NAGC=270。，由角平分线的定义可得

Z6+Z7=-(ZFGC+ZFGC)=135°,由a匕得N6=Z3=N2,由对顶角相等可得N7=4,

2

可得Nl+N2=135°；

(3)由题意可知N〃EF=NDE4=£,根据平行线的性质及角平分线的定义可得

ZHFf=180°-/7,NEFN=4MFN=；4MFE=x,ZHFQ=ZMFQ=|AHFM=y,,进而

180°-/

可得x+y=,由。b,NQ工NFNHFN+NMNF=180°,NQNF=90°,即

2

NMNQ+NQNF+NMFN+NMFQ+NHFQ=180。,njffZMNQ=900-x-2y,进而可求

ZMNQ+ZHFQ.

【解析】⑴b,

二ADEF+ZGFE=\80°.

'：EM、分别平分4DEF和/GFE,

ZDEM=-ZDEF；NGFM=-ZGFE,

22

:.ZDEM+Z.GFM=-(ZD£F+NGFE)=90°,

过点M作直线/。交A8于点”，，

,：ab,

：.l//b,

二ZHME=ADEM,AHMF=NGFM,

ZEMF=ZHME+ZHMF=ZDEM+NGFM=90°.

ab,

：.I//b,

：.ZFGC+Z4=180°,NEDC+Z5=180°.

又；N4+Z5=90°

/.ZFGC+ZFGC=270°

又：GQ、分别平分ZFGC和NEDC,

：.Z6+Z7=-(ZFGC+ZFGC)=135°

ab,

.・.Z6=Z3=Z2

XVZ7=Z1

JZl+Z2=135°.

(3)ZMNQ+ZHFQ=^-.

理由如下：由题意可知NMEF=N£>E4=4，

":ah,

ZAffiF+ZHBE=180°,即NHFE=180。-Q,

VFN平分ZMFE,尸。平分ZHFM,

/.ZEFN=NMFN=|NMFE=x,ZHFQ=ZMFQ=gZHFM=y,

N”FE=180O-£=2(N£7W+NMFQ)=2(x+y),EPx+y=180°-^,

•：ab,NQ1NF

ZHFN+4MNF=180°,2QNF=90°,

则NMNQ+NQNF+NMFN+Z.MFQ+NHFQ=180°,

ZMNQ=90°-x-y-y=90°-x-2y,

：.ZMNQ+ZHFQ=900-x-2y+y=90°-x-y=90o-180°-^=.

【点评】本题考查平行线的性质及角平分线的定义，理解平行线的性质，利用其性质转换角

度之间的关系是解决问题的关键.

10.(1)见解析

(2)见解析

⑶50°

【分析】(1)利用再利用等量代换，即可解决；

(2)过K作用〃因为48CD,所以RK〃AB〃CD,则ZMPG=ZMKR,NNQH=NRKN,

代入即可解决.

(3)过M作MT//AB，过K作KR//AB,可以得到MT//AB//CD//KR,设NDHG=17x,NMPG=lx,

利用平行线的性质，用X表示出角，即可解决.

【解析】（1）JCHG=/DHF,ZAGH+ZDHF=180°,

，ZAGH+NCHG=1&）。,

/.AB//CD,

（2）过K作m〃AB,如图，

AB//CD,

RK//AB//CD,

:.ZMPG=ZMKRfZ.NQH=ZRKN,

/MPG+/NQH=琳，

:.ZMKR+ZNKR=90°

.\ZM7GV=9O°

:.MKLNK

(3)如图，过M作MT〃/IB,过K作依〃AB,

AB//CD,

.\MT//AB//CD//KRf

KH平分"KN

:.ZMKH=ZNKH=45°

17

/DHG=—/MPG

7

可设ZDHG=11x,4MPG=lx,

■:HE平64KHD

..ZKHM=ZDHG=17x

:.AKHD=Mx

/.NK//Q=180。—34x

CD//KR

4RKH=4KHQ=180°-34x

MT//AB//KR

ZTMP=ZMKR=ZMPG=lx,NTMH=ZMHD=17x

ZMKH=45°

ZRKH+AMKR=180°-34x+lx=45°

;.x=5°

AKMN=ZTMH-NTMK

.­.ZAMV=17X-7X=10A-=50°

【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是过拐点作平行线，利用平行线

的性质进行导角.

11.(1)60°

(2)ZAEC=ZA+ZC,理由见解析

(3)(i)20；(ii)28；(iii)90°+1a

【分析】(1)根据平行线的性质得出ZA=4E£NC=ZFEC,进而根据

ZAEC=ZAEF+ZCEF,即可求解；

(2)过点E作EF〃⑷3,根据(1)的方法即可求解；

(3)(i)由(2)可得NAEC=NA+NC=88。，NC=28°,得出NA=60。，根据

ZMND=18O0-ZBMN,即可求解；

(ii)由“猪蹄模型”，可得NEnNAWE+NCVEnllG。，ZF=ZBMF+ZDNF,根据角

平分线的性质得出NAMEJAAMF/CNEJNCNF,继而根据

22

NF="MF+4DNF=12N,即可求解；

(iii)如图所示，延长GE交A8于点”，设4ENG=B,ZHME-0,根据平行线的性质

1on_nn

得出==——=90°--,a=0+2/3,ZEGN=Z.GNC+ZAHE

22

=ZGNC+ZAMF,即可得出结论.

【解析】(1)解：如图1,

图①

,?AB//CD//EF

：.ZA=ZAEF,ZC=ZFEC

：/4=26。，ZC=34°,

ZAEC=ZAEF+NCEF=ZA+ZB=26O+34°=60°

，ZA£C=60°

故答案为：60.

(2)ZAEC=ZA+ZC,

如图所示，过点E作小〃AB,

图②

EF//AB,

・•・ZA=ZAEF,

EF//AB,AB//CD,

・•・EF//CDf

ZFEC=ZC,

/.ZAEC=ZAEF+ZFEC=ZA+NC；

(3)解：(i)由(2)可得NAEC=NA+NC=88。，ZC=28°,

.•・ZA=60°,

・・,MN//AE,

；・/BMN=ZA=60。,

・.・AB//CD,

：.ZMND=180°-NBMN=180°-60°=l20°,

故答案为：120.

图③

(ii)解：如图所示，：AB//CD

由“猪蹄模型”，可得ZE=ZAME+NCNE=116。,ZF=ZBMF+ZDNF；

♦・•ME、NE分别平分Z4MF和NCN/

・・・ZAME=-ZAMF,ACNE=-/CNF

22

・・・ZAMF+ZCNF=116°x2=232°

・•・ZMBF+ZDNF=360°-232°=128。，

・・・NF=ZBMF+ZDNF=128°,

故答案为：128.

(iii)解：如图所示，延长GE交AB于点”,

AHMB

图⑤

设.匕ENG=B，AHME-6

'：MF、NG分别平分NBME和NCNE,

iin

・・・NBMF二万NBME=3(180。-6)=90。一万,/CNE=2NENG=20,

■:HG//MF

：.NMHE=/BMF=⑻一"=90°--,

22

■:AB//CD

：.AMEN=ZAME+/CNE,

/.a=e+20

：.ZEGN=AGNC+ZAHE

=/GNC+ZAMF

n

=£+夕+90。-5

n

=#+90。+万

=90°+-.

2

【点评】本题考查了平行线的性质与判定求角度，掌握平行线的性质是解题的关键.

12.W®ZBAE-ZCAD=45°(或=NC4£>+45°),理由见解析；②105。

⑵5或15或35或45或50

【分析】(1)①由角的和差关系可得乙a4E+NC4£=90。，ZCAD+ZCAE=45°,再把两

4

式相减即可得到结论；②先求解NE4E=45。-ND4E=45。-ENCA。，-

444

NEAG=NBAE+NBAG=-NBAE,结合ZFAG=/FAF.+/F.AG,=45°一一ZCAD+-ZBAE

333

4-

=45°+-(ZBAE-ZCAD),从而可得答案；

(2)分5种情况讨论：如图，当AD〃BC时，如图，当£>E〃A8时，如图，当。E〃BC时，

如图，当£>E〃AC时，如图，当4E〃BC时，再结合平行线的性质可得答案.

【解析】(1)解：@ZBAE-ZCAD=45°(或NBAE=NC4£)+45。)；

理由如下：ZS4E+ZC4£=90°,

ZC4D+ZC4E=45°,

两式相减得：ZBAE-^CAD=45°,

②VZCAF=^ZCAD,

4

，ZFAE=45。一ZDAF=45°——ZCAD,

3

・.,ZBAG=-ZE4G,

4

：.ZBAG=-ZBAE

3f

4

・•・ZEAG=/BAE+/BAG=-/BAE,

3

・・・ZFAG=ZFAE+ZEAG,

44

=45°——ZCAD+-NBAE

33

4

=45°+-(NBAE-NCAO)

4

=45°+-x45°=105°；

3

AZZMC=ZACB=30°,