2022年广东省深圳市高考数学一模试卷及答案解析

2022年广东省深圳市高考数学一模试卷

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号

条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标

号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。

3、非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在

试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.已知复数2=(1+i)i(i为虚数单位)，则其共加复数2=()

A.1+iB.1-/C.-1+iD.-1-/

2.设集合"={m，=石},N={y|y=l-f}，则MCN=()

A.(-8,01B.[1,+8)C.[0,1]D.(0,1)

3.(1-2x)(x+2)3的各项系数和为()

A.-27B.27C.16D.-16

4.已知sin(a+$=一|,则cos(a-*)=()

443

A.-B.一；C.-

555

5.为了分析某次考试的情况，随机抽取了若干学生，将其考试成绩分组为：[60,70),170,

80),180,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,

150],并绘制成如图所示的频率分布直方图，据此可估计该次考试成绩的中位数，“6(吼

A+1),则整数上的值为()

成绩/分

第1页共22页

A.99B.100C.101D.102

6.设实数a>0,则“2。>2”是“/oga（a+》>0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.在正方体ABCO-4B|CiDi中，。为正方形ABC。的中心，P为44的中点，则直线产。

与AG所成的角为（）

7171n71

A♦—B•一C・—D.一

2346

8.阿波罗尼斯（公元前262年〜公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被

誉为古希腊三大数学家.阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他

的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A,B,则所有满足髭=入（入>0,且入W1）

的点P的轨迹是一个圆.已知平面内的两个相异定点P,Q,动点M满足|MP|=2|MQ|,

记M的轨迹为C,若与C无公共点的直线I上存在点R,使得|MR|的最小值为6,且最大

值为10,则C的长度为（）

A.2irB.4JTC.811D.167r

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

（多选）9.已知点。是边长为1的正方形ABCQ的中心，则下列结论正确的为（）

A.AO=^（AB+AD）B.AB-BO>0

C.AO=BOD.\2AB-AD\=V5

（多选）10.已知d为等差数列｛〃"｝的公差，S”为其前〃项和，若｛而｝为递减数列，则下列

结论正确的为（）

A.数列｛%｝为递减数列

B.数列爵｝是等差数列

C.S3,$6,S9依次成等差数列

D.若S15>0，S16V0，则S8>$9

（多选）11.在平面直角坐标系xOy中，点A（1,0）,动点M（xo，和）（刈20）,记W到

y轴的距离为止将满足|AM|=d+l的M的轨迹记为「，且直线/：反-产2=0与「交于

相异的两点尸（xi,yi）,Q（X2,”），则下列结论正确的为（）

第2页共22页

A.曲线「的方程为y2=2xB.直线/过定点(-1,0)

C.xix2=lD.%可能是整数

(多选)12.在△ABC中，ABLBC,且AC=2,BC=\,若将△A8C沿AC边上的中线8。

折起，使得平面平面BCD.点E在由此得到的四面体48。的棱4C上运动，则

下列结论正确的为()

TT

A.Z.ADC=J

1

B.四面体A8CD的体积为己

1

C.存在点E使得△3。七的面积为二

4

137r

D.四面体ABC。的外接球表面积为亍

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数/(x)的图象关于原点对称，且在定义域内单调递增，则满足上述条件的基函

数可以为/G)=.

e*T,x<1

14.已知函数/(%)=1,则/(x)的最大值为.

----X+1,X>1

x2y2

15.在平面直角坐标系xOy中，F为双曲线C：--^=1(b>a>0)的一个焦点，以F

为圆心的圆与C的两条渐近线交于O,A,B三点，若四边形OAFB的面积为3|O7f,

则C的离心率为.

16.已知存在实数x,v£(0,1),使得不等式二+—<2y2~y+t成立，则实数t的取值

X1-x

范围为•

四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(10分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosC=七竽吗

(1)求角B的大小；

(2)若边AB上的高为一，求cosC.

4

第3页共22页

18.(12分)已知数列｛斯｝满足ai=l,。2=2,且”"+2=3斯+1-2斯(〃eN").

(1)证明：数列｛念+1-即｝是等比数列；

(2)记｛即｝的前及项和为S”若V”6N*,均有&＜而”，求实数人的最小值.

第4页共22页

19.(12分)已知甲、乙、丙三个研究项目的成员人数分别为20,15,10.现采用分层抽样

的方法从中抽取9人，进行睡眠时间的调查.

(1)应从甲、乙、丙三个研究项目的成员中分别抽取多少人？

(2)若抽出的9人中有4人睡眠不足，5人睡眠充足，现从这9人中随机抽取3人做进

一步的访谈调研，若随机变量X表示抽取的3人中睡眠充足的成员人数，求X的分布列

与数学期望.

第5页共22页

20.(12分)如图，在三棱锥A-BCD中，△A8D为等腰直角三角形，AB=AD,△BCD为

等边三角形.

(1)证明：6D1AC；

7T

(2)若直线AC与平面AB。所成角为1点E在棱AO上，S.DE=2EA,求二面角E-

BC-。的大小.

第6页共22页

xy

21.(12分)在平面直角坐标系xOy中，点A(0,1)在椭圆C：—+—=1(a>〃>0)

上，过点8(2,-1)的直线/与C交于M,N两点(异于点A),记直线AM,AN的斜

率分别为％1,比，当所=1时，HM=竽.

(1)求C的方程；

(2)证明：向+幻为定值.

第7页共22页

22.(12分)己知定义在R上的函数f(x)=eav-1-x(aGR).

(1)求/(x)的单调递增区间；

(2)对于Vx€(0,+°°),若不等式/(x)(1-/nr)-ar恒成立，求a的取值范围.

第8页共22页

2022年广东省深圳市高考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.已知复数2=（1+/）i（，为虚数单位），则其共拢复数5=（)

A.14-ZB.1C.-1+ZD.-1-z

解：Vz=(1+i)i=-1+z,

z=—1-Z.

故选：D.

2.设集合M={Ry=y},N={y\y=\-J?],则MAN=()

A.(-8,0]B.[1,+8)C.[0,1]D.(0,1)

解：・・•集合加=｛如，=爪｝=｛小20｝,

N={y|y=l-7}={yg},

・・・MnN=30«l}.

故选：C.

3.（1-2x）G+2）3的各项系数和为（)

A.-27B.27C.16D.-16

解：令x=l,则（l-2x）（x+2）3的各项系数和为（1-2X1）(1+2)3=-27,

故选：A.

4.已知已n(a+.)=_,,则cos(a一看)=()

443_3

A.-B•一耳C.D.-

555

71n71

解：因为cos（a-亲）=cos(--a)=cosl-—(a+-)]

6

=sin(a+号)=

故选：D.

5.为了分析某次考试的情况，随机抽取了若干学生，将其考试成绩分组为：[60,70）,[70,

80),[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,

150],并绘制成如图所示的频率分布直方图，据此可估计该次考试成绩的中位数加E（匕

KI）,则整数化的值为（）

第9页共22页

成绩/分

A.99B.100C.101D.102

解：考试成绩在[90,100)内的频率为：

P=\-(0.004+0.008+0.015+0.025+0.015+0.006+0.004+0.002)X10=0.21,

该次考试成绩的中位数为，小

则0.04+0.08+0.15+0.21+(.m-100)X0.025=0.5,解得％=100.86(hk+1),

所以4100.

故选：B.

6.设实数〃>0,则“2。>2”是的()

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

解：；实数。>0,

则由“2">2”，可得可得1oga(a+》>0,故充分性成立；

若bga(a+》》,则a>l或0<aV],故必要性不成立；

故选：A.

7.在正方体ABC£>-AI8ICI£>I中，。为正方形A8C。的中心，P为的中点，则直线PO

与AOi所成的角为()

7T717171

A•—B•一C・一D,一

2346

解：建立空间直角坐标系，如图所示，

第10页共22页

设正方体A8CD-48iCiCi的棱长为2,

则P(2,0,1),O(1,1,0),A(2,0,0),D\(0,0,2),

：.PO=(-1,1,-1),值=(-2,0,2),

J.POAD^=0,BPPOLAD],

n

：.直线PO与AD\所成的角为

故选:A.

8,阿波罗尼斯(公元前262年〜公元前190年)，古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被

誉为古希腊三大数学家.阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他

的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A,B,则所有满足髭=入(入＞0,且入W1)

的点P的轨迹是一个圆.已知平面内的两个相异定点P,Q,动点M满足|MP|=2|MQ|,

记M的轨迹为C,若与C无公共点的直线/上存在点R,使得|MR|的最小值为6,且最大

值为10,则C的长度为()

A.2nB.4JTC.8TTD.16TT

解：根据阿波罗尼斯圆的定义可知，M的轨迹为C为圆，

设圆心到直线/的距离为“，圆的半径为〃

因为直线/与圆无公共点，

所以IA/RI”而=4-r,\MR\max=d+r,

故解得r=2,

所以圆的周长为2irr=4n,

故选：B.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有

第11页共22页

多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

（多选）9.已知点。是边长为1的正方形ABC。的中心，则下列结论正确的为（）

A.AO+AD）B.AB-BO>0

C.AO=B0D.\2AB-AD\=45

解：选项A,因为。为8。的中点，所以公=2（n+而），即A正确；

选项B,AB'BO=\AB\'\BO\cosl35°<0,即8错误：

选项C,品（与应）的大小相等，但方向不同，即C错误；

选项O,\2AB-AD\=J（2AB-Ab）2=J4AB2-4AB-AD+AD2=>/4x1-0+1=

V5,即。正确.

故选：AD.

（多选）10.已知d为等差数列｛%｝的公差，S”为其前〃项和，若｛即｝为递减数列，则下列

结论正确的为（）

A.数列｛SQ为递减数列

B.数列都｝是等差数列

C.S3,S6,S9依次成等差数列

D.若S15>O,S16<0,则&>S9

解：若0>0,d<0,则数列｛S”｝先增后减，A显然不符合题意；

由题意得，引=〃1+号”，即数歹IJ｛卷｝是等差数列，B正确；

由等差数列的性质可知，S3,%-S3,S9-S6成等差数列，S3,S6,的不是等差数列，C

错误；

Si5==1548>0,516=8（ai+ai6）=8（as+ag）<0,

所以。8>0，。8+〃9<0,

则S9-S8=a9V0,O正确.

故选：BD.

（多选）11.在平面直角坐标系xOy中，点A（1,0）,动点M（xo，和）（xo>O）,记M到

y轴的距离为乩将满足凶M=4+l的M的轨迹记为「，且直线/：fcv-y+Z=0与「交于

相异的两点P（xi，yi）,Q（X2,>2），则下列结论正确的为（）

第12页共22页

A.曲线「的方程为y2=2xB.直线/过定点（-1,0）

C.xix2=lD.%可能是整数

解：因为动点M（xo，yo）（%o>O）,M到y轴的距离为d且满足b4M="+l，

所以，5•-1尸+%2=l+x（）,

两边平方并整理得yo2=4xo，

所以曲线「的方程为丫2=©，故A错误；

将直线I：kx-y+k=0变形为y=k（x+1）,

令x+l=0,y=0,可得x=-1,y=0，

所以直线/过定点（-1,0）,故8正确；

联立『2=菰+消去y整理得必/+（兼2-4）X+F=0,

由韦达定理可知X1X2=1,故C正确：

直线/过（-1,0）,

当直线/与抛物线相切时，△=（）,

即（2必-4）2-4/=0,

解得k=±l,

即当时，直线/与「交于相异的两点，故《不可能为整数，。错误；

故选：BC.

（多选）12.在△ABC中，A8J_8C,且AC=2,BC=\,若将△ABC沿AC边上的中线BO

折起，使得平面ABC平面BCD点E在由此得到的四面体ABCD的棱AC上运动，则

下列结论正确的为（）

7T

A.AADC=

1

B.四面体A8CD的体积为三

C.存在点E使得ABOE的面积为二

4

137T

D.四面体A8C。的外接球表面积为丁

解：对于A：取8c的中点连接CM,因为BC=C£>=1,所以CM80,

又平面ABO_L平面BCD,所以CM_L平面BCD,则CM_LA。，若/A£>C=$

则AO_L平面CM。，则AOL8。，显然不可能，故A错误；

第13页共22页

n

对于&考查三棱锥A-BCD的体积，易知△SCO的面积为一，在平面A8O中，

4

过A作8。的垂线，交BD的延长线于点H,易知AH=亨，因为平面A8O_L平面BCD,

所以平面BCD,

即三棱锥A-BCD的高为”所以三棱锥A-BCD的体积为V=|Xx1

2D4Zo

1

即四面体ABCD的体积为一，故B正确；

对于C：显然当AC,平面BQE时，△BCQ的面积取得最小值，

易知€7/=冬且AH=坐，所以AC=AM/P+m=争,

又四面体ABCD的体积为士所以工=-xSx孚，

8832

即5=密V』，且△BCQ的面积为座＞之所以存在点E使得△或＞£的面积为士故

41u4-444

C正确；

对于。：设△BCO和△A8O的外心依次为0|,02,过01作平面BCD的垂线4,过。2

第14页共22页

作平面ABO的垂线3

则四面体ABCD的外接球的球心为直线/1与12的交点，则四边形MO\OO2为矩形，且

。2〃=警OiC=停,

所以四面体ABCD的外接球的半径为R=OC=J。。+。停2="2“2+。£2=

则外接球的表面积为S=4n7?2=4nx号=手，故。正确.

故选：BCD.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.己知函数f(x)的图象关于原点对称，且在定义域内单调递增，则满足上述条件的箱函

数可以为/(x)=x3.

解：对于/(X)=?,是奇函数即其图象关于原点对称且在定义域内单调递增，符合题

意，

故答案为：X3.

e"T,x<1

14.已知函数f(%)=h,则的最大值为1.

—%+1,x>1

改

解：当xWl时，f(x)=/飞(0,1],

当x>l时，f(x)=i-x+l是减函数，则/(x)</(1)=1-1+1=1,

则f(x)的最大值为1.

故答案为：1.

15.在平面直角坐标系xQy中，尸为双曲线C：--^=1(/»>a>0)的一个焦点，以尸

为圆心的圆与C的两条渐近线交于。，A,B三点,若四边形04F8的面积为与|O/f,

则C的离心率为2.

第15页共22页

解：如图，由以尸为圆心的圆与C的两条渐近线交于。，A,B三点，四边形0AF8的

V3,

面积为■y|OF|-,

可得三角形OAF的面积为虚c2,

4

1

又三角形OAF的面积为5co2s讥乙4F。,

/.ZAFO=60°,

•••△Q4F为等边三角形，

tanZiAOF=V3,=y/~3,

a

则C的离心率为Jl+盘=2.

⑹已知存在实数x,ye(0(1),使得不等式%±<2-+减立’则实数，的取值

范围为(3,+8).

一,11x+l-xx+l-x1—YX11—x~x~

解：因为一+;=------+------=2+——+p—>2+2--r—=4,

Xl-xXl-xxITNx1x

当且仅当X=l-X,即x另时取等号，

所以存在实数ye(0,1),使得4<2旷7+3

所以44-2好-y,

当0<y<l时，一;Wy2-y<o,

12

所以2FW2,r<l,

所以4-2y2-y>3,

所以43.

第16页共22页

故答案为：(3,+8).

四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(10分)设△ABC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,且cosC=文等生.

(1)求角B的大小；

(2)若边48上的高为工，求cosC.

4

解：(I)由于°”。=纥等理=好好,

DZab

整理得：序=/+《2-2acsin&

由于b2=a2+c2-2accosB,

所以sin3=cos3,

所以tanB=l；

由于OVBVir,

故B=?；

(2)由于边AB上的高为A

4

1c1

所以S—BC=24=2acsEB,

整理得a=^c,

由余弦定理/=a2+c2-2accosB=(亨>+c2-2-亨・c•导=等，

解得b=辛

所以8$。=呼理=一络.

18.(12分)已知数列｛如｝满足“1=1,。2=2,且斯+2=3〃"+1-2斯(〃eN*).

(1)证明：数列｛z+i-即｝是等比数列；

(2)记｛即｝的前〃项和为S”若V〃CN*,均有SnV福In,求实数人的最小值.

(1)证明：因为an+2=3an+i-2an

所以dn+2~斯+1=2(Cln+l~dn)>

又因为。2-。1=1,

所以仅"+L斯｝是以1为首项，2为公比的等比数列；

(2)解：由(1),得与+1-册=2=-1,

第17页共22页

所以每一an_i=2九一2,0n-1一an-2=2九-3,…，a2—ar=2°(n>2),

所以〃〃=(an-an-\)+(如-L4/1-2)+…++〃1

=2丁2+2〃7+…+2。+1=2〃7,522),

经检验当〃=1时:0=1,亦满足。九=2nT,

所以an=2nT(ziEN*),

所以Sn=岑声=2"—1,

因为任意“6N*,均有SUM”,

所以人>费=浸=2—六(neN*),

又因为(〃€N*),

所以入22,即实数人的最小值为2.

19.(12分)己知甲、乙、丙三个研究项目的成员人数分别为20,15,10.现采用分层抽样

的方法从中抽取9人，进行睡眠时间的调查.

(1)应从甲、乙、丙三个研究项目的成员中分别抽取多少人？

(2)若抽出的9人中有4人睡眠不足，5人睡眠充足，现从这9人中随机抽取3人做进

一步的访谈调研，若随机变量X表示抽取的3人中睡眠充足的成员人数，求X的分布列

与数学期望.

解：(1)由已知，甲、乙、丙三个研究项目的成员人数之比为20：15：10=4：3：2,

...应从甲、乙、丙三个研究项目中分别抽取的人数为4x,3x,2x,

：.4x+3x+2x=9,解得x=l,

...应从甲、乙、丙三个研究项目的成员中分别抽取4人，3人，2人.

(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,

则P(X=0)=-1^=若，

C5C45

P(X=l)=

Cg_14，

C5C410

P(X=2)=『五’

僚:_5

P(X=3)=可一针

.♦.随机变量X的分布列为:

X0123

第18页共22页

P5W5

21142142

E(X)=0X2^+1X+2X2Y+3X42=

20.(12分)如图，在三棱锥4-BC。中，△A3。为等腰直角三角形，AB^AD,△BCD为

等边三角形.

(1)证明：BDLAC-,

71

(2)若直线4c与平面A8O所成角为了点E在棱AD上，且OE=2EA,求二面角E-

BC-D的大小.

解：(1)证明：如图，取8。的中点O,连接04,OC,

\'AB=AD,C.BDLAO,：△BC。为等边三角形，J.BDLC0,

又•.,A0DC0=。，0A,OCu平面AOC,平面AOC,

又；ACu平面AOC,：.BD1AC；

(2)由(1)不难知道，在平面AOC内，若过C作直线A0的垂线，则该垂线亦为平面

ABD的垂线，

故直线AC在平面ABD内的射影为直线AO,

.♦.NOAC为直线AC与平面所成角，即NOAC=*

不妨设BD=2,VZBAD=。为8。的中点，：.OA=OB=OD=],

:/XBCD为等边三角形，0C=V3,

在△OAC中，由正弦定理得sinNOAcT，：.OAC=^>-ZAOC=Bp0A10C,

由(1)知，OO_LOC,JS0D10A,

以O为坐标原点，OC,OD,OA所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

第19页共22页

12

易得。（0,0,0）,C（V3,0,0）,B（0,-1,0）,E（0,一，-）,

33

Tt42

则有8C=（V3,1,0）,BE=（0,-）,

33

易知蔡=（0,0,1）为平面BC。的一个法向量，

设平面BCE的一个法向量为m=(x,y,z),

则包•个=0,即倍，1，一°,令尸_扬贝z=2百,

^m-BE=0(3y+3z=0

所以平面8CE的一个法向量为祕=(1,-V3,2V3),

/t、n-m2\/3月

cos<n>血>=迷^=向=丁'

由图可知，二面角E-BC-。为锐角,

••・二面角EMC-。的余弦值为圣•••二面角EMC-。的大小%

x2y2

21.(12分)在平面直角坐标系xOy中,点A（0,1）在椭圆C：/+0=1（心心0）

上，过点B(2,-1)的直线/与C交于M,N两点(异于点A),记直线AM,AN的斜

率分别为幻，上，当％=1时，依用|=竽.

(1)求C的方程;

(2)证明：衍+依为定值.

(1)解：•••点A(0,1)在椭圆C上，所以6=1,

当心=1时，直线AM的方程为y=x+l,

>=x+1]2

联立得（方+1）7+2%=0,解得x=0或一

F+*=1a2az+l

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：.\AM\=71+/X|0-(一-港)|=挈，解得/=2,

az+lJ

故C的方程为5~+y2=1.

(2)证明：由题意知，直线/的斜率存在，设