初高中数学衔接课件（二次方程与不等式）

初高中数学衔接HELLO目录CONTENTS数与式01二次方程02二次不等式03相似形04三角形、圆05二次方程022.1.1根的判别式1、

叫做一元二次方程

＝0（a≠0）的根的判别式。

通常用符号“Δ”来表示。2、判断一元二次方程

＝0（a≠0）的根的情况（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根

＝

；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根

＝

＝－

；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根。2.1.1根的判别式例1判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根。（1）

＝0；（2）

＝0；解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根

（2）该方程的根的判别式Δ＝

－4×1×(－1)＝

＋4＞0，

所以方程一定有两个不等的实数根

2.1.1根的判别式当堂练习：判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根。（1）

＝0；（2）

＝0判别式a取值公式法确定值2.1.2根与系数的关系（韦达定理）1、如果

＝0（a≠0）的两根分别是

，

，

那么

＋

＝

，

·

＝

．这一关系也被称为韦达定理2、以两个数

，

为根的一元二次方程（二次项系数为1）：2.1.2根与系数的关系（韦达定理）例：已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数。解法一：设这两个数分别是x，y，则x＋y＝4，①

xy＝－12．②由①，得y＝4－x，代入②，得x(4－x)＝－12，因此，这两个数是－2和6．2.1.2根与系数的关系（韦达定理）解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程

＝0的两个根．

解这个方程，得

＝－2，

＝6．

所以，这两个数是－2和6．满足：以两个数

，

为根的一元二次方程（二次项系数为1）：

2.1.2根与系数的关系（韦达定理）

当堂练习：

1、已知，当k取何值时，方程kx2＋ax＋b＝0有两个不相等的实数根？4．已知方程＝0的两根为和，求(－3)(－3)的值．

二次不等式03图象和性质一般式顶点式交点式3.1二次函数图像和性质

（1）当a＞0时，函数y＝

图象开口向上；

顶点坐

标为

，对称轴为直线x＝－

；

当x＜时

，y随着x的增大

而减小；

当x＞时

，y随着x的增大而增大；

当x＝时，函数取最小值y＝

（2）

当a＜0时，函数的性质也可以通过图像来发现和记忆。xyOx＝－AxyOx＝－A图像和性质

当堂练习：

1、已知函数y＝，－2≤x≤a，其中a≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值．

解：（1）当a＝－2时，函数y＝

的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x＝－2；（2）当－2＜a＜0时，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝a时，函数取最小值y＝

；（3）当0≤a＜2时，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝0时，函数取最小值y＝0；（4）当a≥2时，当x＝a时，最大值y＝

；当x＝0时，函数取最小值y＝0．图像和性质2、已知函数y＝

，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值：（1）x≤－2；（2）x≤2；（3）－2≤x≤1；（4）0≤x≤3．函数的三种表示方法1、一般式：y＝（a≠0）；2、顶点式：y＝

（a≠0），其中顶点坐标是（－h，k）3、交点式：y＝

（a≠0），其中

，

是二次函数图象与x轴交点的横坐标．函数的三种表示方法抛物线y＝

(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝

存在下列关系：（1）当Δ＞0时，抛物线y＝

(a≠0)与x轴有两个交点；

反过来，若抛物线y＝

(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立．（2）当Δ＝0时，抛物线y＝

(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；

反过来，若抛物线y＝

(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立．（3）当Δ＜0时，抛物线y＝

(a≠0)与x轴没有交点；

反过来，若抛物线y＝

(a≠0)与x轴没有交点，则Δ＜0也成立．函数的三种表示方法

当堂练习：

根据下列条件，求二次函数的解析式．（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；（2）当x＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；（3）函数图象与x轴交于(1－，0)和(1＋，0)，并与y轴交于(0，－2)．简单的二元二次方程组的解法具体步骤是：①先将方程组中的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数；②把所得的代数式代入另一个方程中，使其转化为一个一元二次方程或一元一次方程；③解所得的一元二次方程或一元一次方程，求出一个未知数的值；④把所求的未知数的值代入第一步所得的关系中求出另一个未知数的值；⑤写出方程组的解．简单的二元二次方程组的解法例：解方程组(1)当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个方程组，解这两个方程组，所得的解都是原方程组的解．(2)当方程组中两个二元二次方程都可分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程分别与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程组的解．

一元二次不等式的解法

二次函数（

）的图象

一元二次方程

有两个不等实根

有两个相等实根

无实根

R