第1讲（微专题）集合中的思想 （讲义）-高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

【专题1】集合中的思想方法重要知识点讲解知识点1：元素与集合之间的关系【方法讲解】当一个集合中的元素含有字母，求解字母的值或范围时，一般可先利用集合中元素的确定性解出集合中字母的所有可能的值或范围，再根据集合元素的互异性进行检验。【例题精讲】例题1已知集合含有两个元素和，若，则实数的值为______；【答案】；变式1设集合，集合，则集合中的元素个数为______．【答案】6【解析】因为，，，所以的可能结果有种，依次是，所以中有个元素，故答案为.1．解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准．2．在解方程求得字母的值后，常因忘记验证集合中元素的互异性，而造成过程性失分．提醒：解答此类问题易忽视互异性而产生增根的情形．例题2设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则11-a∈A(a求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】(1)若a∈A，则11-a∈A.又∵2∈A，∴11∵－1∈A，∴11-(-1)＝12∈A.∵12∈A，∴11-12(2)若A为单元素集，则a＝11-a，即a2－a＋1∴a≠11-a变式2已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，a∈R.(1)若－3∈A，试求实数a的值；(2)若a∈A，试求实数a的值．【答案】（1）0或－1；（2）1.【解析】(1)因为－3∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a－1.若－3＝a－3，则a＝0.此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意．若－3＝2a－1，则a＝－1.此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.(2)因为a∈A，所以a＝a－3或a＝2a－1.当a＝a－3时，有0＝－3，不成立；当a＝2a－1时，有a＝1，此时A中有两个元素－2,1，符合题意．综上所述，满足题意的实数a的值为1.知识点2：元素个数、集合个数的讨论【例题精讲】例题1已知集合.（1）若中只有一个元素，求的值；（2）若中有两个元素，求的取值范围.【答案】（1）当，即时，方程有两个相同解，即中只有一个元素.（2）当，即时，方程有两个不同解，即中有两个元素.变式1写出由方程的解组成的集合中的元素；【答案】当时，则由方程的解组成的集合中的元素为，若，则由方程的解组成的集合中的元素为；1．若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如上面例题中集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题．2．在学习过程中要注意数学素养的培养，如本例中用到了等价转化思想和分类讨论的思想．例题2已知集合；（1）若是单元素集合，求集合；（2）若中至少有一个元素，求的取值范围；【答案】（1）当时，；当时，；（2）；变式2已知集合.若，求实数的值；（2）若中只有一个元素，求的值；（3）若中有两个元素，求的取值范围.变式3已知，，，且，，中至少有一个不是空集，求实数的取值范围．【答案】．分析：至少有1个不是空集，考虑方法有两种：第1种：或或也就是，和取并集．第2种，至少有1个不是空集的反面是什么？如我们班至少有1个男生反面是不到1个男生，也就是没有男生，∴“至少有1个不是空集”的反面是“全都是空集”．“全都是空集”取，，的公共部分也就是交集，再取个补集就行．当遇到正面分类讨论比较多时，不妨考虑问题反面．若改成“至少有两个是空集”，那么反面是什么？最多有1个空集．比如某富二代说“我家至少有10栋房”，那么反面是他家至多有9栋房知识点3：集合与集合之间的关系【方法讲解】1．判断集合间关系的方法有三种：（1）一一列举观察；（2）集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么？弄清楚元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系；（3）数形结合法：利用数轴或韦恩图；2．和同时成立，则（真子集）能更准确地表示之间的关系；集合间的基本运算的关键点(1)∅：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．(2)端点值：已知两集合间的关系求参数的取值范围时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的条件，常用数轴解决此类问题．【例题精讲】判断集合之间的关系例题1已知集合，，试判断与的关系.【答案】（1）对于任意，，∵，∴，∴，由子集定义知.（2）∵，此时，即，而，因在时无解.综合（1）、（2）知，.变式1已知，，试确定和的关系；【答案】；例题2若，，，则，，的关系是（） B． C．D．【答案】C；变式2（18-19学年东莞一中月考）设集合，，则() B． C． D．【答案】C变式3设集合，，，则集合、、的关系是() B． C． D．【答案】C根据集合之间的关系求满足条件的集合例题3根据题意，完成下列各题：（1）满足的集合有几个；（2）已知集合，且中至少有一个元素为奇数，则这样的集合共有多少个？并用恰当的方法表示这些集合.【答案】（1）由可以确定集合必含有元素、，且至少含有元素，，中的一个，因此依据集合的元素个数分类如下：含有三个元素：，，；含有四个元素：，，；含有五个元素：.故满足题意的集合共有个（2）这样的集合共有个.∵，且中至少有一个元素为奇数，∴当中含有个元素时，可以为；当中含有个元素时，可以为，.变式4满足条件的集合的个数是________；【答案】；变式5已知，集合的子集的个数是_______；【答案】；根据集合之间的关系求参数的值或范围【方法讲解】数形结合——数轴法用图形来表示数，形象而直观，因此数形结合的思想在教学中广泛使用，数轴是表示实数的，任何一个实数在数轴上均可以用一个点来表示，反之，数轴上任何一个点都代表一个实数，在数轴上表示一个不等式的取值范围，形象而直观。因此也广泛应用于求子集的问题中。【例题精讲】例题1已知集合，，且，求实数的取值范围；【答案】因为，由题意知：（1）当时，，解得；（2）当时，，解得；综上所述，实数的取值范围是；变式1若上题中，将“”改为“”，其他条件不变，则实数的取值范围是多少？【答案】由题意知，解集为空集，所以这样的实数不存在；变式2已知集合，，若，求实数的取值范围；【答案】；变式3已知集合,，是否存在实数满足，若存在，求出的范围；【答案】的范围是；变式4已知集合，，则能使成立的实数的取值范围是；【答案】；例题2设集合,,如果，求实数的取值集合；【答案】，因为，所以：（1）当为时，即，解得；（2）当中只有一个元素时，即，解得，代入中得，满足；（3）当中只有两个元素时，由题意知，所以，解得；综上所述，实数的取值范围是；变式5设，，其中，如果，求实数的取值范围；【答案】，因为，所以：（1）当为时，即，解得；（2）当中只有一个元素时，即，解得，代入中得，满足；（3）当中只有两个元素时，由题意知，所以，解得；综上所述，实数的取值范围是；1．利用集合的关系求参数问题(1)利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题．(2)空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．2．数学素养的建立通过本例尝试建立数形结合的思想意识，以及在动态变化中学会用分类讨论的思想解决问题．知识点4：集合的运算集合基本运算的关注点(1)看元素组成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．【例题精讲】例题1（改编自东华高级中学18-19学年中段考）已知，.（1）求和；（2）若记符号，在图中把表示“集合”的部分用阴影涂黑，并求出.【参考答案】（1）（2）【解析】：（1）由得.即..①集合如图中的阴影部分；17题图②由于所以；例题2（2020-2021光明中学期中考试）已知集合，.（1）当时，求.（2）若，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【详解】（1）时，；；（2）由得；当时，有，则；当时，有解得.综上所述，实数m的取值范围是或.变式1设集合，；（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围；（3）若，求实数的值；变式2设集合，，若，则实数的取值范围是__________；若，则实数的取值范围是___________．①或；②；例题3（山东实验中学19-20学年第一次月考）设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，C＝{x|x2－mx＋2＝0}，且A∪B＝A，A∩C＝C，求实数a，m的取值范围．解A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}．因为A∪B＝A，所以B⊆A，所以B可能为∅，{1}，{2}，{1,2}，因为Δ＝(－a)2－4(a－1)＝(a－2)2≥0，所以B≠∅，又因为x2－ax＋a－1＝(x－1)[x－(a－1)]，所以B中一定有1，所以a－1＝1或a－1＝2，即a＝2或a＝3.经验证a＝2，a＝3均满足题意，又因为A∩C＝C，所以C⊆A.所以C可能为∅，{1}，{2}，{1,2}．当C＝∅时，方程x2－mx＋2＝0无解，所以Δ＝m2－8＜0，所以－2eq\r(2)＜m＜2eq\r(2).当C＝{1}时，m无解；当C＝{2}时，m也无解；当C＝{1,2}时，m＝3.综上所述，a＝2或a＝3，－2eq\r(2)＜m＜2eq\r(2)或m＝3.变式3设全集，集合，；若，求实数的值；知识点5集合新定义问题解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点(1)紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质搞清楚．(2)寻找特殊元素，解题时要善于发现试题中可以使用集合性质的特殊元素，用好集合的性质．例题1（山东省实验中学19-20学年月考）若集合A具有以下性质．(1)0∈A,1∈A；(2)若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，eq\f(1,x)∈A.则称集合A是“好集”．下列命题正确的个数是()①集合B＝{－1,0,1}是“好集”；②有理数集Q是“好集”；③设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A.A．0 B．1C．2 D．3【答案】①集合B不是，因1－(－1)＝2不在集合B中．②③对．变式1定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素的和为()A．0 B．2C．3 D．6【答案】x的取值分别是1,2，y的取值分别是0,2，则z＝0,2,4，集合A*B3个元素的和为6.变式2设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，2，3，4，，则的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有A．10个 B．11个 C．12个 D．13个【解答】解：“孤立元“是1的集合：；，3，；，4，；，3，4，；“孤立元“是2的集合：；，4，；“孤立元“是3的集合：；“孤立元“是4的集合：；，2，；“孤立元“是5的集合：；，2，；，3，；，2，3，．共有13个；故选：．变式3（2021•上海模拟）已知非空集合满足：对任意，总有且，若，1，2，3，4，，则满足条件的个数是A．11 B．12 C．15 D．16【解答】解：由题意是集合，3，4，的非空子集，有15个，且2，4不同时出现，同时出现有4个，故满足题意的有11个，故选：．变式4已知数集具有性质对任意的，与两数中至少有一个属于．⑴分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；⑵证明：，且．⑴由于与均不属于数集，所以该数集不具有性质．由于，，，，，，，，，都属于数集，所以该数集具有性质．⑵因为具有性质，所以与中至少有一个属于．由于，所以，故．从而，故．因为，所以，故．由具有性质可知．又因为，所以．从而，故．限时训练：方法1：数形结合法【例题精讲】数轴法例题1已知集合，，若，则实数的取值范围是_________；【答案】a变式1设集合，，若，则实数的取值范围是_________；【答案】a韦恩图法例题2某班有36名同学参加数