2022届高三一轮复习提高-学案15-数列的求和（学生版）

一—

第十五讲

数列的求和

授课教师：授课日期：

知识框架

数列求和的前几项探究考点

知识梳理

一、数列的前〃项和

1.数列的求和核心是处理省略号，处理求和时可以先观察其通项是否具有常见规律，然后再去观察首末数

据是否具有组合性规律，最后再去尝试前几项观察是否具有组合规律或不完全归纳探究规律

二、数列求和的通项考点

1.通项为〃的一次型：可考虑等差数列公式求和

2.通项为"的指数型：可考虑等比数列公式求和

3.通项为"的一次指数加减型：可考虑分组求和

4.通项为"的一次指数乘除型：可考虑错位相减求和

5.通项为"的分式型：可考虑裂项求和

6.关注：通项具有奇偶分段形式，可考虑分段求和

7.注意：求和方式不唯一，如裂项求和不一定表现为分式，但分式型大概率是裂项求和

三、数列求和的首末考点

1.数列的首末或类似于首末项具有对称规律的可考虑倒序相加求和

四、数列求和的前几项探究考点

1.数列具有周期性可考虑周期内求和

2.数列具有组合形考虑构建新数列求和，如S”，S2„-S„,Sin-S2„……

例题讲解

例1.（2020黄浦区校级期中）己知数列｛叫满足：％=1,记数

列｛4｝的前〃项和为S“，若对所有满足条件的｛g｝,耳。的最大值为M=—.

【难度】★★★

例2.（2019奉贤区校级期中）在数列｛q｝中，如果存在非零常数T，使得对于任意/eN*都

成立，则称数列也｝为周期数列，其中T为数列｛《,｝的周期.已知周期数列他,｝中，如|=|。“一切」

（”22,〃eN*）,且仿=1,b『x（xeR,x#O）,当也,｝的周期最小时，该数列的前2019项的和是

【难度】★★★★

例3.（2020浦东新区校级期中）已知多边形，444LA-A”的顶点都在抛物线氏f=4y上，若人

的横坐标为XO，Q.A,为4%所在直线的斜率（04i，i，jwN,〃eN*），则女4为一人&&+心必一

…+（T）'i勺,+（—1）"%44=——•

【难度】★★★

例4.（2020上海专题）已知等差数列仅“｝中4=d=l,2=tana”wN*）,则数列｛》“｝的

前n项和Sn=___.

【难度】★★★

例5.（2020青浦区一模专题）记为数列｛3"｝在区间（O,m］（n£N*）中的项的个数，则数列｛《“｝的前

100项的和5100=.

【难度】★★★

例6.（2020金山区校级）将正整数12分解成两个正整数的乘积有1x12,2x6,3x4,三种，其中3x4

是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3x4为12的最佳分解，当pxq（pWq”N*,qGN）

是正整数n的最佳分解时，我们定义函数/（〃）=4一〃，例如/（12）=4—3=1,则数列｛/（3"）｝的前2020

项和为.

【难度】★★★★

例7.数列｛a“｝中，已知q=l,a2-a,a“+|=+4+2)对任意〃eN*都成立，数列｛0“｝的前"项和为

S„.(这里°,后均为实数)

(1)若｛4｝是等差数列，求S“；

(2)若a=l,k=--,求S.；

2

【难度】★★★

针对训练

1.数列｛〃〃｝满足4=〃2=1，4+4+1+为+2=cos?—(〃wN*),若数列｛〃〃｝的前〃项和为S〃，

则S2012的值为()

A.-672B.-671C.2012D.672

【难度】★★★

2.定义Hn=q+2%+…+2”&为数列｛a,,｝的均值，已知数列｛么)的均值Hn=2用，记数列也-妨｝的前

n

〃项和是5“，若5心反对于任意的正整数“恒成立，则实数上的取值范围是

【难度】★★★

3.在数列｛q｝中，4=1,all+2+(-\)"a„=l,则数列｛4｝的前4〃项之和为

【难度】★★★

4.数列｛a,,｝的通项为q=(-l)"(2〃-l)vos皇+1前〃项和为S“，则%=

【难度】★★★

5.已知函数/(x)=上，规定：<=/(-)+/(-)+/(-)+...+A(-)(«,HIGN),且5,：=4"+W+…

1+xnnnn

+<(n,weN),则£器的值是

【难度】★★★

6.已知函数/(x)=/g(l+!)，点45，O)(〃eN*),过点A“作直线》=〃交f(x)的图象于点纥，设O为

X

坐标原点.记q=N30+AA+i(〃eN*),化简求和式S“=tanq+tan02+...+tan^,=

【难度】★★★★

7.(2020徐汇区期末)已知数列｛%｝、｛b„｝的通项公式分别为a„=3.2",b„=2n+4(〃e7*),取出数列｛凡｝、

｛包｝中的不同的项从小到大排列组成一个新的数列｛%｝,设数列｛%｝的前n项和为S”,则51W=

【难度】★★★

8.(2018上海二模)已知数列仅“｝的各项均为正数，其前〃项和为5.，且满足45“=(%+1)\若数列也｝

满足伪=2,b2=4,且等式汇=〃_也,+|对任意.2成立.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)将数列｛““｝与｛〃,｝的项相间排列构成新数列q,bt,a2,b2,a„,b„,设该新数列为｛C“｝,

求数列｛C„｝的通项公式和前2〃项的和男；

【难度】★★★★

能力提升

1.(2020宝山区校级模拟)已知数列｛4｝与电｝前〃项和分别为S“，7；,且为>0,2S“=a：+a,,

2"4.1

b„=——汨=------,对任意的〃eN*,%>7；恒成立，则A的最小值是()

(2+/)(2+1)

A.1B.-C.-D.-

236

【难度】★★★★

2.数列他“｝的前w项和为S.，若对任意都有+则数列｛%"_｝的前”项和

为________

【难度】★★★★

3.数列他“｝满足4=3,a,,“=d-4+l,则T=_L+-L+…的整数部分是()

2%a2a20\6

A.0B.1C.2D.3

【难度】★★★★

4公

熟练精进,

1.（2019徐汇区校级三模）已知数列｛4｝的通项公式为%=（-1）"・"+2",〃€m，则这个数列的前“项

和S,,=--------------

【难度】★★★

2设数列口的首项V，前〃项和为“且满足则满足M强4的所有〃

的和为_____

【难度】★★★

3.对于数列｛4｝,规定｛△/｝为数列｛〃“｝的一阶差分数列，其中△〃“=a“M-%（〃eN*）.对于正整数&,

规定｛△〃"｝为｛4｝的左阶差分数列，其中△*」=△*_/向一△*_4.若数列｛4｝的通项4=3"，则4

244-A2a2+A2a34-...+A2aZI

【难度】★★★

4.（2011黄浦区一模）若数列｛%｝满足q=2,4M=j（〃eAT）,则可得该数列的前2011项的乘积

1一4

【难度】★★★

5.数列1,—的前〃项和为（)

1+21+2+31+2+3+...+〃

A"

A.------B.2LC.---

n+1n+1n(n+1)

【难度】★★★

n，当〃=2Z-1“L*、rrt

6.数列｛〃〃｝满足%=%,当〃=2&，其中…，设则八2。⑶-八2。⑵

等于（）

A.22012B.220,3C.4232D.42013

【难度】★★★★

7.（2018上海校级）数列伍“｝满足：4=；，/=|■，且+%%+…+44+I=〃44,+1对任何的正整数及

都成立，则L++…的值为（）

%a2%

A.5032B.5044C.5048D.5050

【难度】★★★

8.已知数列｛““｝的通项公式为=〃+5为，从｛,｝中依次取出第3,9,27.......