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函数的单调性与最值

设函数y＝f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1、x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数.1.函数单调性的定义

设函数y＝f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1、x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),

那么就说f(x)在区间D上是减函数.上升的

下降的

增函数

减函数

①任取x1,x2∈D,且x1<x2；②作差f(x1)-f(x2);③变形;④判号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负)；⑤定论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)．(1)利用单调性定义(证明函数f(x)在给定的区间(先判断定义域）D上的单调性的一般步骤)2.

函数的单调性的判定方法：①k＞0时,函数y=f(x)与y=kf(x)+b具有相同的单调性；

若函数f(x),g(x)在给定的区间D上具有单调性,

②若f(x)恒为正或恒为负时,函数f(x)与1/f(x)具有相反的单调性.③若函数f(x),g(x)都是增(减)函数,则f(x)+g(x)仍是增(减)函数.⑤复合函数f[g(x)]的单调性由f(x)和g(x)的单调性共同决定(同则增异则减).④奇函数在对称的区间上有相同的单调性,偶函数在对称的区间上有相反的单调性.(2)常见函数的单调性规律总结以上规律还可总结为：“同增异减”.

增↗减↘增↗减↘增↗减↘减↘增↗增↗减↘

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律如下：

⑤复合函数单调性的判断注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间2.

函数的单调性的判定方法：(3)导数法①若f(x)在某个区间内可导，当f'(x)＞0时,f(x)为增函数；当f'(x)

＜0时，f(x)为减函数.②若f(x)在某个区间内可导，当f(x)在该区间上递增时，则f'(x)≥

0；当f(x)在该区间上递减时，则f'

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