备战中考人教版九年级数学同步习题之27.2相似三角形

27.2相似三角形一、选择题1．〔2023山东烟台〕如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，那么以下结论一定正确的选项是A、AB2=BC·BDB、AB2=AC·BDC、AB·AD=BD·BCD、AB·AD=AD·CD【答案】A2．〔2023台湾〕图(一)表示D、E、F、G四点在△ABC三边上的位置，其中与交于H点。假设ABC=EFC=70，ACB=60，DGB=40，那么以下哪一组三角形相似？(A)△BDG，△CEF(B)△ABC，△CEF(C)△ABC，△BDG(D)△FGH，△ABC。AABCDEFGH图(一)【答案】B3．〔2023浙江嘉兴〕如图，AD为△ABC的角平分线，交AC于E，如果，那么〔〕〔A〕 〔B〕〔C〕 〔D〕【答案】B4．〔2023年上海〕以下命题中，是真命题的为〔〕A.锐角三角形都相似B.直角三角形都相似C.等腰三角形都相似D.等边三角形都相似【答案】D5．〔2023北京〕 如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，假设AD∶AB=3∶4，AE=6，那么AC等于()AABCDEA．3 B．4 C．6 D．8【答案】D6．〔2023云南楚雄〕以下说法不正确的选项是〔〕A．在选举中，人们通常最关心的数据是众数．B．掷一枚骰子，3点朝上是不确定事件．C．数据3，5，4，1，－2的中位数是3．D．有两边对应成比例且有一个角对应相等的两个三角形相似．【答案】D7．〔2023四川绵阳〕如图，梯形ABCD的对角线AC、BD相交于O，G是BD的中点．假设AD=3，BC=9，那么GO:BG=〔〕．A．1:2B．1:3C．2:3D．11:20GGABDCO【答案】A8．〔2023广西桂林〕如图，△ADE与△ABC的相似比为1：2，那么△ADE与△ABC的面积比为〔〕．A．1：2B．1：4C．2：1D．4：1【答案】B9．〔2023辽宁沈阳〕如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，那么△ABC的边长为A．9B．12C．15D．18【答案】A10．〔2023吉林〕如图，在△ABC中，∠C=900，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，假设AC=8，BC=6，DE=3，那么AD的长为〔〕A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C11．〔2023广西百色〕以下命题中，是假命题的是〔〕A.全等三角形的对应边相等B.两角和一边分别对应相等的两个三角形全等C.对应角相等的两个三角形全等D.相似三角形的面积比等于相似比的平方【答案】C12．〔2023四川宜宾〕如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于点D．那么△BCD与△ABC的周长之比为〔〕A．1:2B．1:3C．1:4D．1:5【答案】A13．〔2023浙江嘉兴〕如图，C是线段AB上的任意一点〔端点除外〕，分别以AC、BC为斜边并且在AB的同一侧作等腰直角△ACD和△BCE，连结AE交CD于M，连结BD交CE于N．给出以下三个结论：①；②；③．其中正确结论的个数是〔〕〔A〕0 〔B〕1 〔C〕2 〔D〕3〔第13题〕〔第13题〕【答案】D二、填空题1．〔2023江苏南通〕假设△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1∶2，那么△ABC与△DEF的周长比为．【答案】1∶22．〔2023年上海〕如图2，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，假设AC=2，AD=1，那么DB=__________.图2图2【答案】DB=3〔第3题图〕3．〔2023山东临沂〕如图，，添加一个条件使得∽.〔第3题图〕【答案】∠B=∠D,∠C=∠E,等4．〔2023陕西西安〕如图，在中，D是AB边上一点，连接CD，要使与相似，应添加的条件是。〔只需写出一个条件即可〕【答案】∠ACD=∠B〔∠ADC=∠ACB或〕5．〔2023四川内江〕如图，在△ABC中，AB＝AC，点E、F分别在AB和AC上，CE与BF相交于点D，假设AE＝CF，D为BF的中点，那么AE∶AF的值为.AABDEFC【答案】EQ\f(EQ\r(,5)＋1,2)6．〔2023云南昭通〕如果两个相似三角形的一组对应边分别为3cm和5cm。且较小三角形的周长为15cm，那么较大三角形周长为______cm．【答案】257．〔2023重庆市潼南县〕△ABC与△DEF的相似比为3：4，那么△ABC与△DEF的周长比为.【答案】3：48．〔2023安徽芜湖〕如图，光源P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB＝2m，CD＝6m，点P到CD的距离是2.7m，那么AB与CD间的距离是__________m．【答案】1.89．〔2023甘肃兰州〕如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，甲，乙同学相距1米.甲身高1.8米，乙身高1.5米，那么甲的影长是米.【答案】610．〔2023湖南衡阳〕如图，零件的外径为25mm，现用一个交叉卡钳〔两条尺长AC和BD相等，OC=OD〕量零件的内孔直径AB．假设OC∶OA=1∶2，量得CD＝10mm，那么零件的厚度x=mm．【答案】2011．〔2023山东省德州〕如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，假设两次日照的光线互相垂直，那么树的高度为_____m.第第11题图A时B时【答案】412．〔2023广东珠海〕一天，小青在校园内发现：旁边一颗树在阳光下的影子和她本人的影子在同一直线上，树顶的影子和她头顶的影子恰好落在地面的同一点，同时还发现她站立于树影的中点〔如下图〕.如果小青的峰高为1.65米，由此可推断出树高是_______米.【答案】3.313．〔2023山东滨州〕如图,A、B两点被池塘隔开,在AB外取一点C,连结AC、BC，在AC上取点M，使AM=3MC，作MN∥AB交BC于N，量得MN=38cm,那么AB的长为【答案】15214．〔2023江西省南昌〕如图，一根直立于水平地面的木杆AB在灯光下形成影子，当木杆绕点A按逆时针方向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化.设AB垂直于地面时的影子为AC〔假定AC>AB〕，影长的最大值为m.最小值为n,那么以下结论：①m>AC;②m＝AC;③n＝AB;④影子的长度先增大后减小.其中，正确结论的序号是.〔第14题〕【答案】①③④15．〔2023四川内江〕如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距6m、与树相距15m，那么树的高度为m.15m15m2m6m【答案】716．〔2023甘肃〕在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，那么这棵树的高度为米.【答案】9.617．〔2023辽宁沈阳〕如图，在□ABCD中，点E在边BC上，BE：EC=1：2，连接AE交BD于点F，那么△BFE的面积与△DFA的面积之比为。【答案】1:918．〔2023四川广安〕如右图，甲、乙两盏路灯相距20米，一天晚上，当小刚从甲走到距路灯乙底部4米处时，发现自己的身影顶部正好接触到路灯乙的底部，小刚的身高为1．6米，那么路灯甲的高为米．【答案】819．〔2023福建南平〕如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，且AD=eq\f(1,3)AB，那么△ADE的周长与△ABC的周长的比为__________.第19题第19题ABCDE【答案】:eq\f(1,3)三、解答题1．〔2023江苏南京〕学习《图形的相似》后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得经验，继续探索两个直角三角形相似的条件。〔1〕“对与两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等〞。类似地，你可以等到：“满足，或，两个直角三角形相似〞。〔2〕“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等〞，类似地你可以得到“满足的两个直角三角形相似〞。请结合以下所给图形，写出，并完成说理过程。：如图，。试说明Rt△ABC∽Rt△A’B’C’.【答案】2．〔2023浙江省温州市〕如图，在RtAABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BBl∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C出发沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF上AC交射线BB1于F，G是EF中点，连结DG．设点D运动的时间为t秒．(1)当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；(2)当△DEG与△ACB相似时，求t的值；(3)以DH所在直线为对称轴，线段AC经轴对称变换后的图形为A′C′．①当t>时，连结C′C，设四边形ACC′A′的面积为S，求S关于t的函数关系式；②当线段A′C′与射线BB，有公共点时，求t的取值范围(写出答案即可)．【答案】3．〔2023四川南充〕如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连结BD并延长与CE交于点E．〔1〕求证：△ABD∽△CED．〔2〕假设AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．ADADEBFCMADEBFC【答案】〔1〕证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°．∠ACF＝120°．∵CE是外角平分线，∴∠ACE＝60°．∴∠BAC＝∠ACE．又∵∠ADB＝∠CDE，∴△ABD∽△CED．〔2〕解：作BM⊥AC于点M，AC＝AB＝6．∴AM＝CM＝3，BM＝AB·sin60°＝．∵AD＝2CD，∴CD＝2，AD＝4，MD＝1．在Rt△BDM中，BD＝＝．由〔1〕△ABD∽△CED得，，，∴ED＝，∴BE＝BD＋ED＝．4．〔2023浙江衢州〕如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．(1)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；(2)P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似(要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连结相应线段，不必说明理由)．AACBFEDP1P2P3P4P5【答案】解：(1)△ABC和△DEF相似． 根据勾股定理，得，，BC=5；，，．∵， ∴△ABC∽△DEF． (2)答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个均可． AACBFEDP1P2P3P4(第4题)P5△P2P5D，△P4P5F，△P2P4D，△P4P5D，△P2P4P5，△P1FD．5．〔2023河北〕在图15-1至图15-3中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1

=

∠2

=

45°．〔1〕如图15-1，假设AO=OB，请写出AO与BD数量关系和位置关系；〔2〕将图15-1中的MN绕点O顺时针旋转得到图15-2，其中AO

=

OB．求证：AC=BD，AC⊥BD；〔3〕将图15-2中的OB拉长为AO的k倍得到图15-3，求的值．图15-2图15-2ADOBC21MN图15-1ADBMN12图15-3ADOBC21MNO【答案】解：〔1〕AO=

BD，AO⊥BD；〔2〕证明：如图4，过点B作BE∥CA交DO于E，∴∠ACO

=

∠BEO．图4ADOBC21MNEF又图4ADOBC21MNEF∴△AOC

≌

△BOE．∴AC

=

BE．又∵∠1

=

45°，∴∠ACO

=

∠BEO

=

135°．∴∠DEB

=

45°．∵∠2

=

45°，∴BE

=

BD，∠EBD

=

90°．∴AC

=

BD．延长AC交DB的延长线于F，如图4．∵BE∥AC，∴∠AFD=

90°．∴AC⊥BD．〔3〕如图5，过点B作BE∥CA交DO于E，∴∠BEO=

∠ACO．AOBC1D2图5AOBC1D2图5MNE∴△BOE

∽

△AOC．∴．又∵OB=kAO，由〔2〕的方法易得BE=BD．∴．6．〔2023广东珠海〕如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.求证：△ADF∽△DEC假设AB＝4,AD＝3,AE＝3,求AF的长.【答案】〔1〕证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BCAB∥CD∴∠ADF=∠CED∠B+∠C=180°∵∠AFE+∠AFD=180∠AFE=∠B∴∠AFD=∠C∴△ADF∽△DEC(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BCCD=AB=4又∵AE⊥BC∴AE⊥AD在Rt△ADE中，DE=∵△ADF∽△DEC∴∴AF=7．〔2023湖北武汉〕线段OA⊥OB，C为OB上中点，D为AO上一点，连AC、BD交于P点．〔1〕如图1，当OA=OB且D为AO中点时，求的值；〔2〕如图2，当OA=OB，=时，求tan∠BPC；〔3〕如图3，当AD∶AO∶OB=1∶n∶时，直接写出tan∠BPC的值．图1图1图2图3【答案】〔1〕过C作CE∥OA交BD于E，证△BCE∽△BOD得CE=OD=AD；再证△ECP∽△DAP得；〔2〕过C作CE∥OA交BD于E，设AD=x，AO=OB=4x，那么OD=3x，证△BCE∽△BOD得CE=OD=x，再证△ECP∽△DAP得；由勾股定理可知BD=5x，DE=x，那么，可得PD=AD=x，那么∠BPC=∠DPA=∠A，tan∠BPC=tan∠A=；(3)．8．〔2023山东滨州〕如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE．(1)写出图中两对相似三角形〔不得添加辅助线〕；(2)请分别说明两对三角形相似的理由．【答案】解：(1)△ABC∽△ADE,△ABD∽△ACE(2)①证△ABC∽△ADE．∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE．又∵∠ABC=∠ADE，∴△ABC∽△ADE②证△ABD∽△ACE．∵△ABC∽△ADE，∴又∵∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE9．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点．且满足AD＝AB，∠ADE＝∠C．〔1〕求证：∠AED=∠ADC，∠DEC=∠B；〔2〕求证：AB2＝AE•AC．【答案】证明：〔1〕在△ADE和△ACD中∵∠ADE=∠C，∠DAE=∠DAE∴∠AED=180°－∠DAE－∠ADE∠ADC＝180°－∠DAE－∠C∴∠AED=∠ADC∵∠AED+∠DEC=180°∠ADB+∠ADC=180°∴∠DEC=∠ADB又∵AB=AD∴∠ADB=∠B∴∠DEC=∠B〔2〕在△ADE和△ACD中由〔1〕知∠ADE＝∠C，∠DAE=∠DAE∴△ADE∽△ACD∴即AD2=AE•AC又∵AB=AD∴AB2＝AE•AC10．〔2023江苏南京〕学习《图形的相似》后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得经验，继续探索两个直角三角形相似的条件。〔1〕“对与两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等〞。类似地，你可以等到：“满足，或，两个直角三角形相似〞。〔2〕“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等〞，类似地你可以得到“满足的两个直角三角形相似〞。请结合以下所给图形，写出，并完成说理过程。：如图，。试说明Rt△ABC∽Rt△A’B’C’.【答案】11．〔2023辽宁大连〕如图12，ACB=，CDAB，垂足为D，点E在AC上，BE交CD于点G，EFBE交AB于点F，假设AC=mBC，CE=kEA，探索线段EF与EG的数量关系，并证明你的结论说明：如果你反复探索没有解决问题，可以选取〔1〕或〔2〕中的条件，选〔1〕中的条件完成解答总分值为7分；选〔2〕中的条件完成解答总分值为5分m=1〔如图13〕m=1，k=1〔如图14〕FDFDEGBCA图12BDFGECA图13FFDBGECA图14【答案】12．〔2023广东佛山〕一般来说，依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想叫做“分类〞的思想；将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做“分类讨论〞的方法。请依据分类的思想和分类讨论的方法解决以下问题：如图，在△ABC中，∠ACB＞∠ABC。〔1〕假设∠BAC是锐角，请探索在直线AB上有多少个点D，能保证△ACD～△ABC〔不包括全等〕？〔2〕请对∠BAC进行恰当的分类，直接写出每一类在直线AB上能保证△ACD～△ABC(不包括全等)的点D的个数。【答案】〔1〕〔i〕如图，假设点D在线段AB上，由于∠ACB＞∠ABC，可以作一个点D满足∠ACD=∠ABC,使得△ACD∽△ABC。(ii)如图①，假设点D在线段AB的延长线上，那么∠ACD＞∠ACB＞∠ABC，与条件矛盾，因此，这样的点D不存在。〔iii〕如图②，假设点D在线段AB的反向延长线上，由于∠BAC是锐角，那么∠BAC＜90°＜∠CAD，不可能有△ACD∽△ABC.因此，这样的点D不存在。综上所述，这样的点D有一个。13．〔2023福建莆田〕如图1，在中，∠ACB=,AC=6,BC=8,点D在边AB上运动，DE平分∠CDB交边BC于点E，垂足为M，垂足为N。当AD=CD时，求证：DE∥AC；探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？探究：AD为何值时，四边形MEND与△BDE的面积相等？【答案】14．〔2023广东肇庆〕如图5，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，CE与AB交于F.求证：△CEB≌△ADC;假设AD=9cm，DE＝6cm，求BE和EF的长.【答案】解：〔1〕因为∠ACB=90°，所以∠BCE+∠ECA=90°.因为AD⊥CE于D，所以∠CAD+∠ECA=90°.所以∠BCE=∠CAD.因为BE⊥CE于E，所以∠BEC=∠CDA=90°.又因为AC=BC，所以△CEB≌△ADC〔AAS〕.因为△CEB≌△ADC，所以CE=AD=9cm，CD=BE.因为DE＝6cm，所以CD=CE-DE=3cm.所以BE=3cm.因为∠BEF=∠ADF=90°，∠EFB=∠DFA,所以△EFB∽△DFA.所以.设EF=xcm，所以DF=(6-x)cm,所以,所以x=cm.15．〔2023黑龙江绥化〕在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A=30°，点P在AC上，且∠MPN=90°.当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上时〔如图1〕，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，可证△PME∽△PNF，得出PN=PM.〔不需证明〕当PC=PA，点M、N分别在线段AB、BC或其延长线上，如图2、图3这两种情况时，请写出线段PN、PM之间的数量关系，并任选其一给予证明.【答案】解：如图2，如图3中都有结论：PN＝eq\r(6)PM……………2分选如图2：在Rt△ABC中，过点P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于点F∴四边形BFPE是矩形∴∠EPF＝90º，∵∠EPM＋∠MPF＝∠FPN＋∠MPF＝90º可知∠EPM＝∠FPN∴△PFN∽△PEM……2分∴EQ\F(PF,PE)＝EQ\F(PN,PM)…………1分又∵Rt△AEP和Rt△PFC中：∠A＝30º，∠C＝60º∴PF＝EQ\F(\r(3),2)PC，PE＝EQ\F(1,2)PA……………1分∴EQ\F(PN,PM)＝EQ\F(PF,PE)＝EQ\F(\r(3)PC,PA)……………1分∵PC＝eq\r(2)PA∴EQ\F(PN,PM)＝eq\r(6)即：PN＝eq\r(6)PM………………1分假设选如图3，其证明过程同上〔其他方法如果正确，可参照给分〕16．〔2023内蒙呼和浩特〕如图，等边△ABC的边长为12㎝，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝AE＝4㎝，假设点F从点B开始以2㎝/s的速度沿射线BC方向运动，设点F运动的时间为t秒，当t＞0时，直线FD与过点A且平行于BC的直线相交于点G，GE的延长线与BC的延长线相交于点H，AB与GH相交于点O.〔1〕设△EGA的面积为S〔㎝2〕，求S与t的函数关系式；〔2〕在点F运动过程中，试猜测△GFH的面积是否改变，假设不变，求其值；假设改变，请说明理由.〔3〕请直接写出t为何值时，点F和点C是线段BH的三等分点.【答案】解：〔1〕作EM⊥GA，垂足为M∵等边△ABC∴∠ACB＝60°∵GA∥BC∴∠MAE＝60°∵AE＝4∴ME＝AE·sin60°＝2EQ\r