控制系统的简单

第二章控制系统的简单数学模型控制系统数学模型的常见描述形式有微分方程、传递函数、频率特性、状态空间表达式等。它们从不同的角度描述了系统中各变量之间的相互关系。本章将重点介绍微分方程和传递函数这两种基本的数学模型，而其他形式的数学模型将在以后的相关章节进行介绍。1.建立数学模型首先要明确：分析什么问题？在什么条件下分析？在什么范围内分析？数学模型是对各种物理系统的数学抽象。2.2.1控制系统微分方程式的建立微分方程中含有时间、输出量、输入量及它们的各阶导数。微分方程又称为动态方程或运动方程。系统的阶数微分方程的阶数微分方程中最高阶导数项的阶数3.负载效应的概念单个元件不具有、而若干个元件聚在一起时所具有的某些现象，称为负载效应。例电阻电感电容组合谐振现象4.单输入—单输出线性定常系统的微分方程式：系统的输入量；系统的输出量；系统的结构参数5.用解析法列写微分方程的一般步骤：分析系统的原理，确定系统和各元件的输入量和输出量；根据各元件所遵循的基本定律列写微分方程组，同时要注意负载效应的影响；消去中间变量，求出描述系统输入量与输出量关系的微分方程，该方程只含有系统的输入、输出及其各阶导数；6.对微分方程进行整理和化简，输出变量及其各阶导数放在等号左边，输入变量及其各阶导数放在等号右边，各自都按照导数的降阶排列。7.2.1.1电气网络系统电气网络无源网络有源网络只含无源器件电阻电感电容包含有源器件电源放大器8.电阻、电容、电感两端电压与电流的关系电阻电容电感9.[例2-1]如下图所示的RLC串联电路，为输入，为输出，建立该电路的微分方程。10.[解]假设回路电流为，如图所示。根据基尔霍夫回路电压定律，有11.即这里的是中间变量，需要消去，依据：代入得：12.令：再令：于是微分方程还可写为：二阶线性定常系统13.[例2-2]由理想运算放大器组成的电路如图所示，-+A电压为输入量，电压为输出量。建立该电路的微分方程。14.[解]理想运算放大器正、反相输入端的电位相同，且输入电流为零。根据基尔霍夫电流定律，对A点有整理后得或一阶线性定常系统15.2.1.2机械系统机械系统中的三种理想化要素质量弹簧阻尼器描述机械系统16.质量要素运动方程17.弹性要素运动方程弹性系数18.阻尼要素运动方程粘性阻尼系数19.惯性要素运动方程角速度20.做直线运动的物体应遵循牛顿第二定律做转动运动的物体应遵循牛顿转动定律线位移角位移力矩转动惯量21.做直线运动的物体所受的摩擦力满足恒值摩擦力又称库仑摩擦力粘性摩擦力粘性阻尼系数22.做转动运动的物体所受的摩擦力矩满足恒值摩擦力矩粘性摩擦力矩粘性阻尼系数23.[例2-3]机械平移系统如图所示，输入量输出量写出系统的运动方程。24.[解]取垂直向下为正方向，当时，物体的平衡位置为位移的零点。该物体受到四个力的作用，分别为：外力弹簧的弹力粘性摩擦力重力正方向正方向负方向负方向25.根据牛顿第二定律可得：

------时物体处于平衡状态下弹簧的伸长量26.整理得：二阶线性定常系统重力对物体的运动没有影响。27.[例2-4]一个机械转动系统如图所示，粘性摩擦力矩负载阻力矩粘性摩擦系数主动外力矩输入量分别以和为输出量列写微分方程。28.[解]根据牛顿转动定律可得其中于是又因为，于是29.2.1.3机电系统机电系统机械和电磁元件组合在一起并相互作用的系统称为机电系统。机械能电能相互转换与磁场有关30.[例2-5]电枢控制式直流电动机系统如图所示，+-31.设电枢电压为输入量，电机转速或转角为输出量，列写微分方程式。[解]列写原始方程式根据基尔霍夫电压定律得：反电动势电势系数32.由以上两式得：电机轴上的转矩平衡：电机轴上的电磁转矩折算到电机轴上的等效负载转矩折算到电机轴上的等效转动惯量33.电机转动惯量负载转动惯量减速器传动比34.检查中间变量和是中间变量，电机轴上的电磁转矩电枢电流电动机转矩系数35.消去中间变量已得方程式消去和36.令机电时间常数电枢回路电磁时间常数37.则方程式可写为以电机轴角速度为输出量的微分方程式输入信号扰动二阶线性定常系统38.若以为输出，则由于，则微分方程式可写为：三阶线性定常系统39.根据式在静态时有负载对转速的稳态值有影响，称为负载效应。40.线性系统满足叠加原理，可以将和两个输入分开研究。当时41.若，则可忽