2023年山东省聊城市冠县中考数学二模试卷（含解析）

2023年山东省聊城市冠县中考数学二模试卷

一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分，每小题有且仅有一个答案）

1.对于一个实数m如果它的倒数不存在，那么。等于（）

A.-1B.1

2.下面几何图形的俯视图是（）

3.下列式子运算正确的是（）

A.33+32=35B.（j2）3=-a6

C.（-岸b）2=-a3b2D.（-2）-2=4

4.下列事件中，属于确定事件的是（）①抛出的篮球会下落；②从装有黑球、白球的

袋中摸出红球；③14人中至少有2人是同月出生：④买一张彩票，中1000万大奖.

A.①②B.③④C.①②③D,①②④

5.如图，直线ABVCD,N2=68°,那么/I的度数是（）

A.68°B.58°C.22°D.32°

6.如图，一块等腰直角三角板，它的斜边BC=6c〃?，内部△£>£厂的各边与△A8C的各边分

别平行，且它的斜边EF=4a〃，则△QEF的面积与阴影部分的面积比为（）

A.2：3B.4：9C.4：5D.2：5

7.如图，△ABC内接于O。，AB=AC,ZB=70°,则NOCB等于()

A.40°B.50°C.60°D.65°

8.已知等腰AABC的边是方程/-7x+10=0的根，则△ABC的周长为（）

A.9B.9或12C.6或15D.6或12或15

9.如图，在正方形4BCQ中，按如下步骤作图：①连接AC,相交于A点O；②分别以

点、B,C为圆心、大于/BC的长为半径画弧，两弧相交于点E；③连接OE交BC于点F；

④连接4F交80于点G.若知=4亚，则OG的长度为（）

A.1B.2C./D.72

10.如图，在平面直角坐标系中，点A,8分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在。3

上，OC-.。8=1：3,连接AC,过点。作。P〃AB交AC的延长线于点尸.若P（l,1）,

32

11.如图是抛物线y/ax2+bx+c（a#0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1,3）,

与X轴的一个交点8（4,0）,直线（〃zWO）与抛物线交于A、3两点，下列

结论：①2。+〃=0；②而c>0；③抛物线与x轴的另一个交点是（-1,0）；④方程ax2+bx+c

=3有两个相等的实数根；⑤当1VXV4时，有y2〈yi,其中正确的是（）

12.课本中有这样一句话：”利用勾股定理，可以作出加,百，遥…的线段（如图）”.记

△OAAi,△0442,…，△04〃-&的内切圆的半径分别为内，相，…，rn9若小+废+…

A.24B.25C.26D.27

二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）

13.二次根式中，字母K的取值范围是.

14.从0,暮，近,-7,冲>五个数中随机抽取一个数，则抽出的数是有理数的概率

为.

15.一个扇形的弧长是IOTT,其圆心角是150°,此扇形的面积为.

16.如图，在Rtz^ABC中，ZC=90°,以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交

AC,AB于点例，N,再分别以点例，N为圆心，以大于aMN的长为半径画弧，两弧交

于点P,作射线A尸交边BC于点。，若AC=6,A8=10,则C。的长为

C

D

ANB

17.如图，点A,B是半径为2的。0上的两点，且AB=2，E，则下列说法正确的

②在圆上取异于A,8的一点C,则△A8C面积的最大值为2百.

③以AB为边向上作正方形，与。。的公共部分的面积为3号.

④取AB的中点C,当AB绕点。旋转一周时，点C运动的路线长为2n.

三、解答题（共8小题，满分69分）

18.解方程：x（%-6）=6.

19.为庆祝党的二十大胜利召开，某学校开展了一系列学习党史的活动，并开展了党史相关

的知识测试.为了解七、八年级学生的测试成绩，进行了抽样调查，过程如下，请补充

完整.

【收集数据】：

从七、八两个年级各随机抽取了20名学生的测试成绩（百分制）如下：

七年级:73,82,75,89,93,96,76,84,85,85,90,90,98,77,65,90,87,

90,95,98；

八年级；67,88,92,93,99,83,80,75,72,91,92,92,95,94,85,85,92,

69,88,96；

［整理、描述数据］:

对上述数据进行分段整理如下:

成绩X60«7070«8080«9090«100

人数

年级

七年级1469

八年级22610

【分析数据】：

两个年级测试成绩的平均数、中位数、众数如下:

平均数中位数众数

七年级85.9a90

八年级86.489.5b

根据以上信息，回答下列问题：

(1)a=,b=.

(2)小明是该校八年级的学生，他本次测试成绩为87分，小明说：“因为我的成绩高

于我们年级的平均数.所以我的成绩高于我们年级一半学生的成绩.“请你判断小明的

话是否正确，并说明理由.

(3)若测试成绩不少于90分记为优秀，请你估计七年级学生本次测试成绩的优秀率，

并给七年级的老师提出一条建议.

20.如图，在四边形ABCQ中，AB^AD,CB=CD,AC,BQ交于点。，过点B作BE〃CD

交AC于点E,连结DE.

(1)求证：四边形BCOE为菱形.

(2)若4B=5,E为AC的中点，当四边形BCDE为正方形时，求BC的长.

21.如图，是某时刻太阳光线，光线与地面的夹角为45°.小星身高1.6米.

(1)若小星正站在水平地面上4处时，那么他的影长为多少米？

(2)若小星来到一个倾斜角为30°的坡面底端3处，当他在坡面上至少前进多少米时,

他的影子恰好都落在坡面上？

太阳光线

22.我县在创建全国文明城市过程中，决定购买A,B两种树苗对某路段道路进行绿化改造,

已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，要950元；若购买A种树苗5棵，8种树苗6

棵，则需要800元.

(1)求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？

(2)考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗要多于B种树苗，且用于购买这两种树

苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵，则有哪几种购买方案？

(3)在(2)的条件下，哪种方案最省钱？最少费用是多少？

23.为预防流感，学校对教室采取药熏法消毒.已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含

药量y(毫克)与时间x(分钟)成正比例函数关系，药物燃烧完后，y与x成反比例函

数关系(如图示).现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6毫克.

研究表明：

①当空气中每立方米含药量低于L6毫克时学生方可进教室；

②当空气中每立方米含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空

气中的病菌.

依据信息，解决下列问题：

(1)从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？

(2)你认为此次消毒是否有效？并说明理由.

24.如图，A8是。。的直径，点C是。。上一点，AD和过点C的直线互相垂直，垂足为

D,A。交OO于点E,且4c平分/D48.

(1)求证：直线CO是00的切线；

(2)连接BC,若BC=3,4c=4,求4E的长.

25.已知二次函数>=-e*x2+£>x+c图象的对称轴与x轴交于点A(1,0),图象与y轴交于

4

点B(0,3),C、。为该二次函数图象上的两个动点(点C在点。的左侧)，且/。。

=90°.

(1)求该二次函数的表达式；

(2)若点C与点2重合，求tan/CZM的值；

(3)点C是否存在其他的位置，使得tan/CDA的值与(2)中所求的值相等？若存在，

请求出点C的坐标：若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分，每小题有且仅有一个答案）

1.对于一个实数m如果它的倒数不存在，那么a等于（）

A.-1B.1C.2D.0

【分析】根据0没有倒数即可求解.

解：对于一个实数。，如果它的倒数不存在，那么a等于0.

故选：D.

【点评】本题考查了实数的性质，倒数，关键是掌握0没有倒数的知识点.

2.下面几何图形的俯视图是（）

【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案.

解：该几何体的俯视图如图所示：

故选：H.

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图.

3.下列式子运算正确的是（）

A.33+32=35B.（-a2）3=-a6

C.（-解匕）2=-a362D.（-2）2—4

【分析】根据合并同类项判断A选项；根据塞的乘方和积的乘方判断B选项；根据积的

乘方判断C选项；根据负整数指数嘉判断。选项.

解：A选项，32+33=9+27=36^35,故该选项不符合题意；

B选项，原式=-〃6,故该选项符合题意；

C选项，原式=〃〃，故该选项不符合题意；

。选项，原式=4■，故该选项不符合题意；

4

故选：B.

【点评】本题考查了合并同类项，幕的乘方和积的乘方，负整数指数累，掌握，。=令（〃

ap

WO）是解题的关键.

4.下列事件中，属于确定事件的是（）①抛出的篮球会下落；②从装有黑球、白球的

袋中摸出红球；③14人中至少有2人是同月出生；④买一张彩票，中1000万大奖.

A.①②B.③④C.①②③D.①②④

【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可.

解：①抛出的篮球会下落，是必然事件，属于确定事件；

②从装有黑球、白球的袋中摸出红球，是不可能事件，属于确定事件；

③14人中至少有2人是同月出生，是必然事件，属于确定事件；

④买一张彩票，中1000万大奖，是随机事件；

属于确定事件的是①②③，

故选：C.

【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条

件下，一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事

件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.

5.如图，直线（〃/2,ABLCD,N2=68°,那么N1的度数是（）

【分析】由两直线平行同位角相等得到N2=N3,再由48与垂直，利用垂直的定义

得到NBMC为直角，得到/I与N3互余，由N3的度数求出N1的度数.

解：；直线

；./2=/3=68°,

'."AB1.CD,

.•.NCMB=90°,

.•.Zl+Z3=90",又N3=68°,

AZ1=22°，

故选：C.

【点评】此题考查了平行线的性质，平行线的性质有：两直线平行同位角相等；两直线

平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补.

6.如图，一块等腰直角三角板，它的斜边8C=6C〃3内部△OEF的各边与△ABC的各边分

别平行，且它的斜边则△OEF的面积与阴影部分的面积比为()

A.2：3B.4：9C.4：5D.2：5

【分析】发布期间两个等腰直角三角形端点面积，可得结论.

解：:△ABC,△£>£：/是等腰直角三角形，BC=6cm,EF=4cm,NA=/D=90°,

；.AB=AC=笄8c=3&(an),DE=DF=^^EF=2®(cm),

：./\ABC的面积=、X3&义3&=9Cem2),A£>£F的面积=/x2&X2&=4

(cm2),

.•.阴影部分的面积=9-4=5(cm2),

.•.△OE/的面积与阴影部分的面积比为4：5.

故选：C.

【点评】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形的面枳等知识，解题的关键是掌握等

腰直角三角形的性质，属于中考常考题型.

7.如图，ZVIBC内接于O。，AB=AC,NB=70°,则NOCB等于()

A

【分析】连接03,先利用等腰三角形的性质可得NA5C=NACB=7(r,从而利用三角

形内角和定理可得NA=40°,然后再利用圆周角定理可得NBOC=2/A=80°,最后利

用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，进行计算即可解答.

解：连接。&

・.,AB=AC,

AZABC=ZACB=70°,

ZA=1800-ZABC-ZACB=40°,

・・・NBOC=2NA=80°,

OB=OC,

：.ZOBC=ZOCB=—(180°-ZBOC)=50°,

2

故选：B.

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合

图形添加适当的辅助线是解题的关键.

8.已知等腰△ABC的边是方程x2-7x+10=0的根，贝"△ABC的周长为()

A.9B.9或12C.6或15D.6或12或15

【分析】先利用因式分解法解方程得到幻=5,忿=2,根据等腰三角形的性质，等腰△

A8C的三边长可以为5、5、2或5、5、5或2、2、2,然后分别计算对应的△ABC的周

长.

解：？-7尤+10=0,

(x-5)(x-2)=0,

x-5=0或x-2=0,

所以xi=5,X2—2,

当等腰aABC的边长分别为5、5、2时，ZXABC的周长为5+5+2=12；

当等腰aABC的边长分别为5、5、5时，△ABC的周长为5+5+5=15；

当等腰△ABC的边长分别为2、2、2时，△ABC的周长为2+2+2=6,

综上所述，△A8C的周长为6或12或15.

故选：D.

【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出

方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.也考查了三角

形三边的关系和等腰三角形的性质.

9.如图，在正方形A8C。中，按如下步骤作图：①连接AC,8。相交于A点。；②分别以

点、B,C为圆心、大于的长为半径画弧，两弧相交于点E③连接OE交BC于点F；

④连接AF交80于点G.若与)=4亚，则OG的长度为()

A.1B.2C.—D.M

3

【分析】证明。尸〃A8,OF^AB,求出OB,可得结论.

2

解：；四边形A8CQ是正方形，

：.AB=AD=BC=CD=4^>NBAD=90°,OA=OC=OB=OD,

•**BO=VAD2+AB2=J(4&)2+(4M)2=8'

：.OB=OD=4,

由作图可知OE垂直平分线段BC,

:.BF=CF,

：.OC=-OA,

：.OF//AB,FO=—AB,

2

.OG=OF=1

*"GB-AB-T

•*.OG——OB——.

33

故选：c.

【点评】本题考查正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是

理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

10.如图，在平面直角坐标系中，点A,B分别在x轴负半轴和），轴正半轴上，点C在。3

上，OC-.OB=1：3,连接AC,过点。作。尸〃48交AC的延长线于点尸.若尸（1,1）,

贝I]tan/ACO的值是（）

A.—B.3C.—D.2

32

【分析】根据OP〃A8,证明出△OCPSABCA,结合OC：。8=1：3得到CP：AC=

OC-.BC=1：2,过点尸作PQLx轴于点Q,根据NAOC=/AQP=90°,得到CO//PQ,

根据平行线分线段成比例定理得到OQ：AO=CP：AC=l：2,根据尸（1,1）,得到

PQ=OQ=\,得到4。=2,则可求得4。=3,根据正切的定义即可得到tan/APQ的值,

从而可求tan/ACO的值.

解：'：OP//AB,

:.△OCPsXBCk,

.0CCP

BCAC

VOC：OB=1：3,

.0C1

••__—,

BC2

.CP1

••_—,

AC2

过点P作PQ_Lx轴于点Q，如图，

:.CO//PQ,

：.OQ：AO=CP：AC=\：2,ZACO=ZAPQ,

VP(1,1),

：.PQ=OQ=\f

：.AO=2OQ=2f

・・・AQ=3,

/.tan/APQ="^=3,

tanNAC0=tan/APQ=3.

故选：B.

【点评】本题考查了解直角三角形，坐标与图形，根据平行线分线段成比例定理得到0Q

AO=CP：AC=1：2是解题的关键.

11.如图是抛物线y「ax2+bx+c(a声0)图象的--部分，抛物线的顶点坐标A(1,3),

与x轴的一个交点8(4,0),直线y2=，nr+〃(mWO)与抛物线交于A、B两点、,下列

结论：①2a+b=0；②浦c>0；③抛物线与x轴的另一个交点是(-1,0)；④方程ax2+bx+c

【分析】根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断

即可.

b

解：①；抛物线对称轴为直线X=1,

2a

:.b=-2a,

2a+b=0,故①正确；

②；抛物线开口向下，与y轴相交于正半轴，

."CO,c>0,

:*b=-2a>0,

.".abc<0,故②错误；

③••,抛物线的对称轴为直线x=l,与x轴的一个交点8（4,0）,

另一个交点坐标为（-2,0）,故③错误；

④从图象可以知道，抛物线顶点为（1,3）,

二抛物线％=以2+法+，与直线y=3有且只有一个交点，

方程ax2+hx+c=3有两个相等的实数根，故④正确；

⑤由图象可知，当1cxV4时，yi>y2,故⑤正确；

故选：B.

【点评】本题考查二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系等知

识，解答关键是数形结合.

12.课本中有这样一句话：“利用勾股定理，可以作出衣，M，遥…的线段（如图）”.记

△OAAi,△0442,…，△04〃-小的内切圆的半径分别为门，ri,rn,若门+废+…

【分析】设△O4A,△OA1A2,…，△04的内切圆圆心分别为。2,…，设圆

。与△0A4的三边相切于点8,C,D,四边形A30C是正方形，然后利用切线长定理

列式计算得n=1+1-迎,同理在△04A2中，四边形MEOiF是正方形，求出

2

唔叵得到规律得〃唔返”唔叵…“_l+A/n-Vn+1

>n----------------------------------

进而利用一元二次方程求解即可解决问题.

解:如图，设△O4A1,△Q4也，…，△OA”iA〃的内切圆圆心分别为Oi,。2,…,

设圆O］与△0A4的三边相切于点8,C,D,

：.ZABO=ZACO=90°,

由题意“利用勾股定理，可以作出我,

・・・乙4=90°,

AZA=ZABO=ZACO=90°,

・・.四边形A50C是正方形，

：.AB=AC=OB=rif

：.AB=AC=1-n,

A\C=A\D=]-n,

**OA\=-^2，

1-n+1-n=yf2f

.,.-1+1-72

2

同理在△044中，四边形AiEQ尸是正方形,

.\A2G=A2F=\-底,

0G=0E=y/2~「2,

,：0Ai=M，

•'-i-废+M-废=通，

.一1/-M

..及-------------,

2

同理一上垦4%=小应返『红星叵

222

._1+1-^2,1^/2-V31+^3-V4,1W4-V5

2222

lWnWn^l

十--------------------------------10,

2

...n+l-G=]0,

2

AH+1-Jn+l=20,

-19=Jn+1，

(«-19)2=〃+l,

整理得：ri1-39H+360=0,

••Alj-15,772=24,

当〃=15时，代入n-19=Jn+l，不成立，舍去，

AH=24.

故选：A.

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，规律型：图形的变化类，勾股定理，一元

二次方程，解题的关键是寻找规律.

二、填空题(共5小题，每小题3分，满分15分)

13.二次根式亚丁中，字母x的取值范围是X》,.

【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案.

解：根据题意，得2x-l20,

解得x>|.

故答案为：x>£.

【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题

的关键.

14.从0,-1,-7,专工五个数中随机抽取一个数，则抽出的数是有理数的概率为

3.

【分析】先找出有理数的个数，再根据概率公式即可得出答案.

解：在0,41&，-7,这五个数中，有理数有0,日，-7这3个，

抽出的数是有理数的概率为

5

故答案为：45

【点评】此题主要考查了概率公式，正确得出有理数的个数是解题关键.

15.一个扇形的弧长是10n,其圆心角是150°,此扇形的面积为60K.

【分析】先根据题意可算出扇形的半径，再根据扇形面积公式即可得出答案.

解：根据题意可得，

设扇形的半径为r,

兀

则/=nr

180

150兀r

即IOTT

180

解得：r=12,

12X10冗=60m

故答案为：60n.

【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算方法进行求解是解

决本题的关键.

16.如图，在RtZWBC中，ZC=90°,以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交

AC,A8于点M,N,再分别以点M,N为圆心，以大于AMN的长为半径画弧，两弧交

于点尸，作射线AP交边BC于点。，若AC=6,A8=10,则CD的长为3

【分析】利用基本作图得到AP平分/BAC,根据角平分线的性质得到点D到AC和AB

的距离相等，则利用三角形面积公式得到；.5凶8：SMBD^AC：AB=3：5,而S“CD：S

△ABD=CD：BD,所以CD：BD=3；5,然后利用勾股定理计算出BC,从而得到CD的

长.

解：由作法得4P平分/B4C,

.•.点。到AC和AB的距离相等,

:・S^ACD：S^ABD=AC：AB=6：10=3：5,

■:S&ACD：S^ABD—CD：BD,

:.CD：BD=3：5,

VZC=90°,AC=6,AB=10,

ABC=V102-62=8,

3

ACD=—X8=3.

8

故答案为：3.

【点评】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键.也考

查了角平分线的性质和勾股定理.

17.如图，点4,8是半径为2的。。上的两点，且AB=2百，则下列说法正确的是①

③④.

①圆心。到AB的距离为1.

②在圆上取异于A,B的一点C,则4ABC面积的最大值为班.

③以AB为边向上作正方形，与。。的公共部分的面积为3733^.

④取AB的中点C,当AB绕点。旋转一周时，点C运动的路线长为2n.

【分析】由垂径定理，勾股定理求出。"=1,延长“0交圆于C,即可求出△ABC的最

大面积，当AB绕点。旋转一周时，点C运动的路线是以0为圆心半径是1的圆，即可

求出C运动的路线长，以AB为边向上作正方形，与。。的公共部分的面积=扇形。PQ

的面积的面积X3,于是可以得到答案.

解：如图①，0HLAB于H,

：,AH=lAB=lx2,/3=yf3,

,.・。4=2,

••♦。”=g2科2=1,

故①正确，符合题意；

如图①延长H0交圆于C,此时AABC的面积最大，

"：CH=OC+OH=2+l=3,AB=26,

.♦.△ABC的面积=々1小。，=30，

故②错误，不符合题意；

如图②四边形ABNM是正方形，连接4Q,PB,作OKLAB于K,

.•.△OAB的面积=々1比0长=92百乂1=6，

"?OP=OQ=OA=OB,

：./\OAP的面积=Z^Q4B的面积=Z\08Q的面积=«,

VZPOe=120°,

扇形OPQ的面积=丝匹匹£=飞,

3603

...以AB为边向上作正方形，与。。的公共部分的面积=扇形OPQ的面积+4OAB的面

积X3=3百+萼

O

故③正确，符合题意；

取AB的中点C,连接OC,OA,OB,

•：OA=OB,

J.OCLAB,

；•OC=V0A2-AC2=V22-(V3)2=1,

.•.当A8绕点。旋转一周时，点C运动的路线是以。为圆心半径是1的圆，

；.C运动的路线长是如XI=2R，

故④正确，符合题意；

故答案为：①③④.

【点评】本题考查扇形面积的计算，三角形面积的计算，垂径定理，勾股定理，掌握以

上知识点是解题的关键.

三、解答题（共8小题，满分69分）

18.解方程：x（x-6）=6.

【分析】根据单项式乘多项式的运算法则把原方程变形，利用配方法解出方程.

解：原方程变形为：N-6X=6,

贝I]N-6X+9=6+9,即（X-3）2=15,

-'X-3=15,

X2—3--715.

【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是

解题的关键.

19.为庆祝党的二十大胜利召开，某学校开展了一系列学习党史的活动，并开展了党史相关

的知识测试.为了解七、八年级学生的测试成绩，进行了抽样调查，过程如下，请补充

完整.

【收集数据】：

从七、八两个年级各随机抽取了20名学生的测试成绩（百分制）如下：

七年级：73,82,75,89,93,96,76,84,85,85,90,90,98,77,65,90,87,

90,95,98；

八年级；67,88,92,93,99,83,80,75,72,91,92,92,95,94,85,85,92,

69,88,96；

[整理、描述数据J：

对上述数据进行分段整理如下：

成绩X60«7070«8080«9090^x^100

人数

年级

七年级1469

八年级22610

【分析数据】：

两个年级测试成绩的平均数、中位数、众数如下:

平均数中位数众数

七年级85.9a90

八年级86.489.5b

根据以上信息，回答下列问题：

(1)a=88,b=92.

(2)小明是该校八年级的学生，他本次测试成绩为87分，小明说：“因为我的成绩高

于我们年级的平均数.所以我的成绩高于我们年级一半学生的成绩.“请你判断小明的

话是否正确，并说明理由.

(3)若测试成绩不少于90分记为优秀，请你估计七年级学生本次测试成绩的优秀率，

并给七年级的老师提出一条建议.

【分析】(1)根据中位数和众数的定义解答即可；

(2)根据中位数的意义解答即可；

(3)利用样本估计总体即可.

解：(1)把七年级20名学生的测试成绩从小到大排列为65,73,75,76,77,82,84,

85,85,87,89,90,90,90,90,93,95,96,98,98；

所以排在中间的两个数是87,89,故中位数。=义罗=88；

八年级20名学生的测试成绩中92出现的次数最多，故众数6=92；

故答案为：88；92；

(2)小明的话错误，理由如下：

因为小明本次测试成绩为87分，低于中位数89.5,所以小明的成绩低于我们年级一半学

生的成绩；

(3)七年级学生本次测试成绩的优秀率为：4X100%=45%；

建议七年级的学生加强学习党史(答案不唯一).

【点评】此题考查了用样本估计总体以及众数、中位数的定义，众数是数据中出现次数

最多的数.中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数

(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，

不把数据按要求重新排列，就会出错.

20.如图，在四边形ABCO中，AB^AD,CB=CD,AC,8。交于点O,过点B作

交AC于点E,连结。£

(1)求证：四边形8CDE为菱形.

(2)若AB=5,E为AC的中点，当四边形8CDE为正方形时，求BC的长.

【分析】(1)先判断AC为BD的垂直平分线得到ACLBD,OB=OD,再证明△EOB

^△C0£>得到EO=C。，于是可判断四边形3CDE为平行四边形，然后利用CB=CD可

判断四边形8C0E是菱形；

⑵设OB=x,根据正方形的判定当OE=OB=x时，四边形BCDE是正方形，此时BC

=ax,由于4E=CE=2x,则在RtAAOB中利用勾股定理得到x2+(3x)2=52,解方

程》=叵，从而得到此时BC的长.

2

【解答】(1)证明：：AB=A£>,CB=CD,

，AC为的垂直平分线，

BPAC±BD,OB=OD,

■:BE//CD,

：.ZEBO=ZCDO,

在△EOB和△COO中，

'NEBO=NCDO

-ZB0E=ZD0C.

OB=OD

：./\EOB^/\COD(ASA),

:.EO=CO,

/.四边形BCDE为平行四边形.

,:CB=CD,

四边形BCDE是菱形;

(2)解：设OB=x,

•••四边形8CCE是菱形，

.•.当0E=08=x时，四边形8CDE是正方形，

此时BC=\[2X>

・・・£为AC的中点,

.\AE=CE=2xf

222

在RtAAOB中，OB+OA=ABf

(3x)2=52,

解得X2=-皿(舍去)，

22

:.BC=皿X粤力，

即当8c的长为遥时，四边形8CZ)E为正方形.

【点评】本题考查了正方形：熟练掌握正方形的判定方法是解决问题的关键.也考查了

菱形的判定与性质.

21.如图，是某时刻太阳光线，光线与地面的夹角为45°.小星身高1.6米.

(1)若小星正站在水平地面上A处时，那么他的影长为多少米？

(2)若小星来到一个倾斜角为30°的坡面底端B处，当他在坡面上至少前进多少米时,

他的影子恰好都落在坡面上？

【分析】(1)直接利用太阳光线与地面成45°角得到等腰直角三角形，然后利用等腰三

角形的两直角边相等求得影长即可；

(2)利用斜坡BF的坡度i的值得到NF8G=30°,然后设FG=x米，则BF=2x米，

从而得2G的长、EG=EF+FG=(x+1.6)米，最后在Rt△砂G中利用NEBG=45°得

到8G=EG,从而列出关于x的方程，求解即可.

解：（1）如图：由题意得：40=1.6米，ZZ）CA=45°,

故AO=AC=1.6米，

答：小星在A处的影子为1.6米.

(2)VZFBG=30°,

设「G=x米，则B尸=2%米.

:.BG=Mx米.

:.EG=EF+FG=(x+1.6)米.

在RtZXEBG中，NEBG=45°,

：.BG=EG.

\p^x=1.6+x.

解得：X=4.

5

小星在斜坡上的影子为：BF=2x,B|J2X-1（A/3+1）=《■（V3+D（米）.

55

答：当他在坡面上至少前进5（百+1）米时，他的影子恰好都落在坡面上.

5

【点评】本题考查了解直角三角形的坡度坡角问题，解题的关键是根据题意整理出直角

三角形，从而求解.

22.我县在创建全国文明城市过程中，决定购买A,8两种树苗对某路段道路进行绿化改造,

已知购买A种树苗8棵，8种树苗3棵，要950元；若购买A种树苗5棵，8种树苗6

棵，则需要800元.

（1）求购买A,8两种树苗每棵各需多少元？

（2）考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗要多于B种树苗，且用于购买这两种树

苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵，则有哪几种购买方案？

（3）在（2）的条件下，哪种方案最省钱？最少费用是多少？

【分析】（1）设购买A种树苗每棵需x元，B种树苗每棵需y元，根据题意列出二元一

次方程组，解方程组即可求解；

(2)设购进A种树苗加棵，则购进2种树苗(100-/H)棵，根据题意列出一元一次不

等式组，解不等式组即可求解;

(3)比较各方案即可得答案.

解：(1)设购买A种树苗每棵需尤元，8种树苗每棵需y元,

8x+3y=950

依题意得

5x+6y=800'

卜=100

解得ly=50

答：购买A种树苗每棵需100元，B种树苗每棵需50元.

(2)设购进A种树苗"2棵,则购进B种树苗(100-m)棵,

依题意得：卜〉10°-：,

[100m+50(100-m)<7650

解得：50V，〃W53,

又；，"为正整数，

.•.雁可以为51,52,53,

•••共有3种购买方案，

方案1：购进A种树苗51棵，B种树苗49棵；

方案2：购进A种树苗52棵，8种树苗48棵；

方案3：购进A种树苗53棵，3种树苗47棵.

(3)方案1：购进A种树苗51棵，8种树苗49棵；51X100+49X50=7550元，

方案2：购进A种树苗52棵，8种树苗48棵；52X100+48X50=7600元，

方案3：购进A种树苗53棵，8种树苗47棵.53X100+47X50=7650元，

购进A种树苗51棵，8种树苗49棵最省钱.

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出

方程组与不等式组是解题的关键.

23.为预防流感，学校对教室采取药熏法消毒.已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含

药量y(毫克)与时间X(分钟)成正比例函数关系，药物燃烧完后，y与X成反比例函

数关系(如图示).现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6毫克.

研究表明：

①当空气中每立方米含药量低于1.6毫克时学生方可进教室；

②当空气中每立方米含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空

气中的病菌.

依据信息，解决下列问题：

（1）从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室?

（2）你认为此次消毒是否有效？并说明理由.

【分析】（1）直接利用正比例函数解析式求法得出答案；

（2）利用反比例函数解析式求法得出答案.

解：（1）设药物燃烧后y关于x的函数关系式是y=区，

X

把（8,6）代入得：女=48,

故y关于x的函数关系式是；

X

当y=1.6时，代入y=整得x=30,

x

答：从消毒开始，至少需要经过30分钟后，学生才能回到教室：

（2）此次消毒有效，

理由：药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例,

所以设y关于x的函数关系式是>=依（ZW0）,

将点（8,6）代入，得上=与，

4

即自变量x的取值范围是0WxW8：

将>=3分别代入>=鼻，y=整得，x=4和x=16,

那么持续时间是16-4=12>10分钟，所以有效杀灭空气中的病菌.

【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确数形结合得出函数解析式是解题关键.

24.如图，是。。的直径，点C是。。上一点，AO和过点C的直线互相垂直，垂足为

D,AO交。。于点E,且AC平分/D48.

（1）求证：直线是。。的切线；

（2）连接BC,若BC=3,AC=4,求AE的长.

D

E

【分析】（1）如图所示，连接。C,根据角平分线的定义和等边对等角证明/0C4=N

CAD,则AO〃OC,由A£>_LC。，可证OCLCD,即可证明直线CQ是。。的切线;

（2）先求出CE=BC=3,利用勾股定理求出A8=5,证明△ABCs/XAC。求出CD—，

5

利用勾股定理求出DE则AE=AD-DE="^.

555

【解答】（1）证明：如图所示，连接OC,

〈AC平分ND48,

：.ZCAD=ZCAB,

•：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCAf

：.ZOCA=ZCADf

：.AD//OC,

ADLCD,

：.OC±CDf

又丁点c在。。上，

・•・直线co是。。的切线；

（2）解：如图所示，连接CE,

D

C

月仁-----*---------

\°

由(1)得NCA£>=/CAB,

•■•CE=BC-

:・CE=BC=3,

：AB