陕西省西安市高新重点中学2023-2024学年高二上学期联考数学试题（含答案）

高二数学试题本试卷满分150分考试时间120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的。1．已知集合，则（）A．B．C．D．2．已知复数z满足，则复数z的模等于（）A．1B．C．D．3．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知等差数列中，为的前n项和，，则（）A．4B．C．3D．5．已知向量不共线，满足，则在方向上的投影向量为（）A．B．C．D．6．圆和圆的公切线的条数为（）A．1B．2C．3D．47．已知函数在上单调，且，则的取值共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．椭圆的右焦点为，上顶点为B，直线交椭圆于P，Q两点，若F恰好为的重心，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的5分，部分选对的得2分，有错选的得0分。9．已知非零向量，下列命题正确的是（）A．若，则B．与向量同向的单位向量是C．“”是“与的夹角是锐角”的充分不必要条件D．若是平面的一组基底，则也能作为该平面的一组基底10．已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且垂直于x轴的直线与该椭圆相交于A，B两点，且，点P在该椭圆上，则下列说法正确的是（）A．存在点P，使得B．若，则C．满足为直角三角形的点P只有8个D．的取值范围为11．已知数列满足，则（）A．当时，数列是等比数列B．若，且为常数数列，则C．当时，为递增数列D．若，则12．如图，正四棱台的上下底面边长分别为4，6，高为，E是的中点，则（）A．正四棱台的体积为B．平面平面C．平面D．二面角的正弦值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．数列为等比数列，且，则___________．14．若，则__________．15．如图，已知在矩形ABCD中，，M为边BC的中点，将，分别沿着直线AM，MD翻折，使得B，C两点重合于点P，则点P到平面MAD的距离为___________．16．已知函数，的值域为，则实数a的取值范围是___________．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知数列的首项，且满足．（I）求证：数列为等比数列；（Ⅱ）记数列的前n项和为，求．18．（12分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（I）求A；（Ⅱ）设AB的中点为D，若，且，求的面积．19．（12分）平面内一点P满足：P点到的距离比P点到y轴的距离大2，且点P不在y轴左侧，记点P的轨迹为曲线C．（I）求曲线C的方程；（Ⅱ）点Q为y轴左侧一点，曲线C上存在两点A，B，使得线段点QA，点QB的中点均在曲线C上，设线段AB的中点为M，证明：M垂直于y轴．20．（12分）如图，三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，平面平面ABC，．（I）过作出三棱柱的一个截面，使AB与截面垂直，并给出证明；（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值．21．（12分）已知，又正项数列中，，其前n项和为，且．（I）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（Ⅱ）试比较与的大小并说明理由．22．（12分）已知双曲线的左、右焦点分别为，左顶点为，点M为双曲线上一动点，且的最小值为18，O为坐标原点．（I）求双曲线C的标准方程；（Ⅱ）如图，已知直线与x轴交于点T，过点T的直线交双曲线C右支于点B，D，直线AB，AD分别交直线l于点P，Q，若，求实数m的值．高二数学试题参考答案一、二选择题123456789101112BDBBDCCBABDBCDACDBC三、填空题13．14．15．16．四、解答题17．【详解】（1）令，则，于是，将它们代入到等式中，可得，整理得，即．因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．所以数列为等比数列．5分（2）由（1）知，，则．记数列的前n项和为，则，且可得，两式相减得，可得．所以，．10分18．【详解】（1）由已知得，，由正弦定理可得，，因为，所以代入上式，整理得，又因为，所以，即，因为，而，所以．6分（2）在中，由余弦定理得，．而，所以．①在中，由余弦定理得，，②由①②两式消去a，得，所以．又，解得．所以的面积．12分19．【详解】（1）设点，根据题意，解得由于点P不在一条射线上，故点P的轨迹方程为．6分（2）设线段QA，QB的中点分别为D，E，设因为点A在曲线C上，则，因为点D在曲线C上，所以：．同理，故是方程的两个解，由韦达定理知，所以，即点Q的纵坐标与点M的纵坐标相同，故QM垂直于y轴．12分20．【详解】（1）如图，设AB的中点为O，连接，则截面即为所求．因为分别为的中线，所以，又，所以平面．6分（2）如图，以0为坐标原点，建立坐标系，则，，设平面的一个法向量为，由得，令，得，所以，所以，即与平面所成角的正弦值为．12分21．【详解】（1）依题设，．因为，所以，可得，即得，可见数列是首项为，公差为的等差数列，可得，即得．所以，可得．6分（2）因为．所以，只需比较与n的大小关系，也就是比较与的大小关系．当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，我们来证明如下：法一：记，则，而，可得，则数列是递增数列，可得，即得．12分法二：当时，，由，可知成立．假设当时，不等式成立；那么，当时，有成立，而不等式右边为，即为k，故此时要证明不等式k+1-1成立，只需证明成立，即证明成立，也就是证明互成立．因为，而，所以不等式成立．那么，不等式成立，这说明当时不等式也成立．故由数学归纳法可证得：当时，不等式成立．综上，当时，，即；当或时，即；当或或时，，即．12分22．【详解】（1）设，不妨设M为双曲线右支上一动点，则，则，即，可得，注意到，则，由题意可得：，即，则，的对称轴为，则在上单