2023-2024学年北京市朝阳区高二上册期中数学学情调研模拟试题（附解析）

2023-2024学年北京市朝阳区高二上学期期中数学质量监测模拟试题一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．直线的倾斜角是（

）A． B． C． D．2．设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则的值为（

）A．3 B．4 C．5 D．63．P是椭圆上一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则（

）A．1 B．3 C．5 D．94．双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A． B． C． D．5．已知直线被圆截得的弦长为2，则（

）A． B． C．3 D．46．如图，在平行六面体中，，，，点在上，且，则（

）A． B． C． D．7．已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（

）A．内含 B．相交 C．外切 D．外离8．已知是椭圆的左、右焦点，点P为C上一点，O为坐标原点，为正三角形，则C的离心率为（

）A． B． C． D．9．一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降2米后，水面宽是（

）A．13米 B．14米 C．15米 D．16米10．已知椭圆：，双曲线：，.设椭圆M的两个焦点分别为，，椭圆M的离心率为，双曲线N的离心率为，记双曲线N的一条渐近线与椭圆M一个交点为P，若且，则的值为（）A． B．C．2 D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11．过点且与直线平行的直线方程为.12．椭圆的一个焦点是，那么等于．13．已知点在抛物线：上，则点到抛物线的焦点的距离为．14．在长方体中，，则．15．已知点P是椭圆上任意一点，过点P作x轴的垂线，垂足为M，则线段PM的中点的轨迹方程为．16．如图，正方体的棱长为，分别为的中点，是底面上一点．若平面，则长度的最小值是；最大值是．三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是中点．

(1)证明：平面；(2)求到面的距离．18．已知椭圆，左右焦点分别为，直线与椭圆相交于两点．(1)求椭圆的焦点坐标及离心率；(2)求的面积．19．在如图所示的多面体中，且，，且，且，平面ABCD，，M，N分别为棱的中点.（I）求点F到直线EC的距离；（II）求平面BED与平面EDC夹角的余弦值；（III）在棱GF上是否存在一点Q，使得平面MNQ//平而EDC？若存在.指出点Q的位置，若不存在，说明理由.20．已知椭圆过点，且离心率．(1)求椭圆的方程；(2)设点为椭圆的左焦点，点，过点作的垂线交椭圆于点，连接与交于点．求的值．21．已知集合（）具有性质P：对任意的（），与两数中至少有一个属于A．(1)分别判断数集与是否具有性质P，并说明理由；(2)证明：，且；(3)当n＝5时，若，求集合A．1．B【分析】根据直线一般方程得直线的斜率，结合直线倾斜角与斜率得关系可得倾斜角的大小.【详解】解：由直线得直线的斜率又直线的倾斜角为，且，所以，得故选：B.2．B【分析】依题意可得两平面的法向量共线，即可得到，从而得到方程组，解得即可；【详解】解：因为，所以，即，解得；故选：B．3．A【分析】首先将椭圆方程化成标准形式，进而得出椭圆长半轴长，再根据椭圆定义即可求解.【详解】解：对椭圆方程变形得，易知椭圆长半轴的长为4，由椭圆的定义可得,又，故.故选：A.4．B【分析】根据标准方程写出焦点坐标与渐近线方程，代入点到直线的距离公式即可求解.【详解】由双曲线的对称性可知，求出一个焦点到一条渐近线的距离即可，则的一个焦点为，一条渐近线为，则焦点到渐近线的距离为，故选：B.5．A【分析】根据半径的平方等于弦长一半的平方加圆心到直线的距离的平方，即可求出答案.【详解】圆心到直线的距离，弦长的一半为1，.故选：A.6．C【分析】利用空间向量的基本定理可得出关于的表达式.【详解】因为，所以，则有：故选：C.7．D【分析】求出圆心距，大于两半径之和，从而判断出两圆的位置关系.【详解】的圆心为，半径，的圆心为，半径，则圆心距，且，故圆与圆的位置关系是外离.故选：D8．B【分析】结合图像，利用平面几何的知识证得，结合椭圆的定义可分别求出及，由此得到的关系式，进而可求得椭圆C的离心率.【详解】如图，连结，由椭圆可知，，因为为正三角形，所以，又因为，所以，又，所以，故，所以在中，，所以由得，即，故椭圆C的离心率为.故选：B..9．D【分析】沿拱顶建立如图所示的平面直角坐标系，求出圆的方程后可得水面下降2米后的水面宽.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则，，设圆的方程为：，代入，则有，故圆的方程为：，令，则，故，故选：D.10．A【分析】联系椭圆定义可顺利解得其离心率，由渐近线方程可以顺利解得双曲线的离心率.【详解】椭圆：中，且则，椭圆长轴长为则椭圆M的离心率直线OP斜率为又由题意可知直线OP为双曲线N的一条渐近线，双曲线：的渐近线方程为故，即，则双曲线的实半轴长为则双曲线N的离心率则故选：A11．【分析】设所求直线方程为，利用点坐标求得，从而求得正确答案.【详解】设过点且与直线平行的直线方程为，将代入得，所以所求方程为.故12．【分析】根据椭圆中，得出的代数式，并根据焦点坐标列出方程即可求解.【详解】因为椭圆，所以，又因为椭圆的一个焦点是，所以，解得，故答案为.13．【分析】根据给定的抛物线方程求出其准线方程，再结合抛物线定义即可计算作答.【详解】抛物线：的准线方程为：，由抛物线定义得，点到抛物线的焦点的距离，所以点到抛物线的焦点的距离为3.故314．3【分析】根据给定的几何体，用空间向量的基底表示向量，再利用向量数量积运算律计算即得.【详解】在长方体中，，所以.故315．【分析】先利用中点坐标公式写出，再把代入椭圆方程化简即可.【详解】因为轴，垂足为M，且PM的中点为，所以，又因为P是椭圆上任意一点，所以，即.故答案为.16．取中点，中点，连接，，，利用面面平行的判定定理证得平面平面，结合已知条件可知，在等腰中，可求得长度的最值.【详解】取中点，中点，连接，，由正方体，分别为的中点，又平面，平面，平面分别为的中点，由中位线性质知同理可知，又平面，平面，平面又，平面平面平面是底面上一点．且平面，在等腰中，的长度最大时为的长度最小时，为中点，，，即故，方法点睛：证明面面平行常用的方法：（1）面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；（2）利用垂直于同一条直线的两个平面平行；（3）两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；（4）利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用线面垂直时，直线的方向向量与平面的法向量共线证明即可；（2）利用空间向量，根据点到平面的距离公式求解即可.【详解】（1）以为原点，直线，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示：则，，，，，，则，，，设平面的一个法向量为，则，取，则，，所以，又因为，所以，所以平面.（2）由（1）知平面的法向量为，又因为，所以到面的距离为．18．(1)焦点坐标为；离心率为(2)【分析】（1）由椭圆的定义及性质可以得出椭圆的焦点坐标及离心率，（2）先计算点到的距离，再利用公式求出线段的长，最后用面积公式计算解决问题.【详解】（1）椭圆知，该椭圆的焦点在轴上，设焦距为，由，所以，所以焦点坐标为离心率为：（2）由直线与椭圆相交于两点，设则消去得，，所以又到的距离为所以的面积为：19．（I）；（II）；（III）不存在，证明见解析；【分析】（I）由题知，，，又，建立以D点为原点的空间直角坐标系，求得向量，，则点F到直线EC的距离为；（II）求得平面BED和平面EDC的法向量，利用向量的夹角求得二面角的余弦值；（III）假设GF上存在点Q使得平面平面，设出坐标，求得平面MNQ的法向量，与平面EDC的法向量应共线，验证是否存在即可.【详解】（I）由平面ABCD知，，，又，则建立以D点为原点的空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，，，则，，，所以点F到直线EC的距离为（II）由（I）知，，，设平面BED的法向量为，则，令，则设平面EDC的法向量为，则，令，则故由图知，二面角为锐二面角，故余弦值为（III）设GF上存在一点Q，设，则，设平面MNQ的法向量为则，令，则若平面平面，则，故不存在，即不存在点Q使得平面平面20．(1)(2)1【分析】第一问用椭圆短轴和离心率的相关定义求解即可，第二问中的斜率易求，讨论是否为分别求解即可.【详解】（1）由题意得解得．椭圆的方程为．（2）

由，显然斜率存在，，当时，．当时，直线过点且与直线垂直，则直线方程为．由得．显然．设，则．则中点．直线的方程为，由得．．综上的值为1．本题考查解析几何，属于难题，第一问用基本定义即可求解，第二问用所学知识，分析题意，进行分类讨论，求解即可，考生需加强分类讨论思想的学习.21．(1)数集具有性质P，数集不具有性质P；理由见解析；(2)证明见解析；(3)．【分析】（1）根据定义，计算并判断出数集具有性质P，数集不具有性质P；（2）判断出属于集合A，即0∈A，即，结合集合定义得到，同理可得，利用倒序相加求出；（3）根据定义推导出是首项为0，公差为的等差数列，求出．【详解】（1）因为都属于数集，所以数集具有性质P，因为和均不属于数集，所以数集不具有性质P；（2）证明：令，因为与两数中至少有一个属于A，所以不属于A，所以属于集合A，即0∈A，所以，令j＝n，i＞1，因为与两数中至少有一个属于A，所以不属于A，所以属于集合A，令，