2022年全国统一招生考试第三次模拟考试（一）数学（理）试卷

2022届高三第三次模拟考试卷

理科数学

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，

并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题

目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第I卷（选择题）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.设复数z=」一+」_（i为虚数单位），则日=（）

l-2il+2i11

A.2B.也C.-D.立

5533

2.设全集U=R,A={x|x-l<0}，B={x\-\<x<2},则图中阴影部分对应的

x+2y<4

x<2

3.已知不等式组I表示的平面图形为7,则按斜二测画法，平面图形T

y>Q

x>\

的直观图的面积为（）

A.还B.辿C.交D.-

16824

4.函数〃x）=x.l中|的图象可能是（）

5.数学与建筑的结合造就建筑艺术品，如吉林大学的校门是一抛物线形水泥建

筑物，如图.若将该大学的校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线

y=^2（a*o）的一部分，且点4（2,-2）在该抛物线上，则该抛物线的焦点坐标是

（）

A.（0,一？B,（0,-1）C,^0,-ljD,

6.如图，在直三棱柱ABC-A4G中，AA3C是直角三角形，且43=6。=0，

£）为棱耳G的中点，点E在棱上，且BC=45E，则异面直线AC与OE所成

角的余弦值是（）

E/

A'C

E

B

AV34R734nV10

1734510

7.已知数列｛可｝的前〃项和为S“，且2s“=3%-2〃，则其=()

A.359B.358C.2432D.242

8.已知函数/(无)=4sin[3x+1)sin[(yx-,(<y>0)的最小正周期为无，将其

图象沿x轴向右平移机(加>0)个单位，所得图象关于直线x=g对称，则实数加

的最小值为()

A.71B.-C.—D.-

344

9.在△/$(?中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c,设△/$(7的面积为S,

下列条件不能推出8W60。的是()

A.a,h,c成等比数列B.a,b，c成等差数列

C.1+cos2B>0D.s<曰(。2+c?一〃)

10.设函数/(x)的定义域为R,7(x-l)为奇函数，〃x+l)为偶函数，当xe[l,3]

时，f(x)=kx+m，若〃0)-〃3)=-2，则”2022)=()

A.-2B.0C.2D.4

11.如图，在△ABC中，点。在边BC上，且20c=3OB.过点0的直线分别交

射线AB、AC于不同的两点M、N•若丽=机磁，恁=〃丽，则,+•!()

mn

A

A.有最小值i_2"B.有最小值i+2为

55

C.有最大值1一侦D.有最大值1+亚

55

12.“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示，由杨辉三角的

左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为1,1,2,

3,5,8,13,•••,则下列选项不正确的是()

力

d二与与

,「Nd；/

41

,1，•151101051

15201561

A.在第9条斜线上，各数之和为55

B.在第〃(〃25)条斜线上，各数自左往右先增大后减小

C.在第〃条斜线上，共有2〃+1-(-1)”个数

4

D.在第11条斜线上，最大的数是

第n卷(非选择题)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.若(1+X)"(〃GN*)的展开式中第7项的二项式系数最大，则〃等于.

x+y-l>0

14.若x,y满足<%-2y+320,且z=ax+y(a>0)的最大值为14,则实数。的

x-y-l<0

值是.

15.已知〃尤)=旭/_履_2,给出下列四个结论:

(1)若攵=0，则/(x)有两个零点；

(2)弘<0,使得/(x)有一个零点；

(3)玉<0,使得/(x)有三个零点；

（4）兑>0,使得f（x）有三个零点.

以上正确结论的序号是.

22

16.已知点A为椭圆=+}=l（a>〃>0）的左顶点，O为坐标原点，过椭圆的

右焦点尸作垂直于光轴的直线/,若直线/上存在点P满足NAPO=30。，则椭圆

离心率的最大值___________.

三、解答题：本大题共6个大题，共70分.解答应写出文字说明、证明

过程或演算步骤.

17.（12分）某校开展党史知识竞赛.现从参加竞赛活动的学生中随机抽取了〃

名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：[40,50）,[50,60）,[60,70）,

[70,80）,[80,90）,[90,100]得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求。的值;

（2）估计这〃名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）;

（3）活动规定：竞赛成绩位于60分以下为不及格，不低于80分为“优秀”，若

抽取的学生中成绩不及格的有15人.请将下面的2x2列联表补充完整，并判断

是否有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”?

优秀不优秀合计

男生40

女生50

合计

2

参考公式及数据：K=---------3,…C)-------,n^a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

H。)0.100.050.0250.0100.0050.001

梯2.7063.8415.0246.6357.87910.828

18.(12分)函数f(x)=cos%x-sin4Gx(0>0),点S是/(x)图象上的一个最局

点，点M,N是/(x)图象上的两个对称中心，且三角形SMN面积的最小值为?.

(1)求函数/(x)的最小正周期；

(2)函数g(x)=/(x)-/卜+?),三角形A3C的三边a,b,c满足

(a+b)2-c2=ab>求g(A)的取值范围.

19.(12分)如图，在棱长为2的正方体ABC。-A耳GA中，E,£G,H分别是

所在棱的中点.设平面。GE与平面相交于直线/.

(1)求证：IHHE；

(2)求二面角七一/_尸的余弦值.

20.(12分)已知函数"x)=e*+aln(T)+l，_f(x)是其导函数，其中aeR.

(1)若/(x)在(-8,0)上单调递减，求a的取值范围；

(2)若不等式/(%)对Wxe(-oo,0)恒成立，求a的取值范围.

21.(12分)在直角坐标系x0y中，抛物线CT:/=2px(〃>0)与直线/：%=4交

于P,。两点，且OP_LOQ.抛物线C的准线与x轴交于点M,G是以M为圆

心，为半径的圆上的一点（非原点），过点G作抛物线C的两条切线，切

点分别为A,B.

（1）求抛物线。的方程；

（2）求zMSG面积的取值范围.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

E1+且

在平面直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为2（/为参数）.以坐

=—yfi----1

2

标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为

0=2sin。.

（1）求直线/的极坐标方程及曲线。的直角坐标方程；

⑵若«松）是直线［上一点，中2,胃是曲线C上一点，求△048的面积.

23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】

（1）求不等式产-4卜+国24的解集;

31

（2）已知〃>0，匕>。，0>0，且2a+6+3c=2，求7^---7+7—的最小值・

2（Q+C）b+c

答案

1-12BDADABBBCCBA

13【答案】11或12或13

14【答案】2

15【答案】(1)(2)(4)

16【答案】1(或().5)

2

17(1)由题可得(0.005+0.010+0.020+0.030+4+0.010)x10=1，解得a=0.()25.

(2)平均成绩为：45x0.05+55x0.1+65x0.2+75x0.3+85x0.25+95x0.1=74.

(3)•.•不及格的人数为15人，.•.抽取的总人数为〃=叵=100，

0.15

,比赛成绩优秀的有100x0.35=35人，

由此可得完整的2x2列联表：

优秀非优秀合计

男生104050

女生252550

合计3565100

...没有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”.

18【答案】(1)小(2)(必二1,力.

I2\

19(1)连接4B,

•.•G,b分别为AA，8C中点，，四边形4GF8为平行四边形，

延长FD至点M且QA/=£＞产，连接MG，取MG中点N，连接DN,HN，

••・四边形DNHE为平行四边形，N,a,E四点共面,

又。,RG,N四点共面，.•.平面。GbPl平面OEH=£）N，即直线£W即为直线/，

-.1//HE-

（2）以0为坐标原点，凝反，函为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系,

则。(0,0,0)，£(2,1,0).尸(1,2,0)，M(-1-2,0),G(l,0,2),N(0,-U)，

.'