第十章无穷级数小结

敛散性：

级数的基本性质(四则运算法则)且结论:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.

性质设两收敛级数å¥==1nnaså¥==s1nnb2,,则级数å¥=±1)(nnnba收敛,其和为s±s.注意结论：在级数前面加上或去掉有限项不影响级数的敛散性.注意收敛级数去括号后所成的级数不一定收敛.

收敛

发散性质5级数收敛的必要条件:注意2.必要条件而非充分条件.1.（逆否命题）如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;常用来证明级数发散正项级数审敛法1.2.比较判别法：3.比较法极限形式：注意:交错级数：注意：此方法只能判别是否收敛，不能用于判断发散绝对收敛：条件收敛：注意:结论：级数逐项取绝对值后收敛，原级数收敛关系：补充定理如果任意项级数满足条件定理（Dirichelet判别法）定理（Abel判别法）

若（1）为单调有界数列，

提示:

由定义在区间I上的函数列{un(x)}所构成的表达式

u1(x)

u2(x)

u3(x)

un(x)

函数项级数的概念函数项级数=u1(x)

u2(x)

u3(x)

un(x)

,

x

I.收敛点与发散点提示:

对于每一个确定的值x0

I,函数项级数成为常数项级数

u1(x0)

u2(x0)

u3(x0)

un(x0)

,这个常数项级数或者收敛或者发散.

使函数项级数收敛的点x0称为函数项级数的收敛点;使函数项级数发散的点x0称为函数项级数的发散点.

收敛点的全体称为收敛域,发散点的全体称为发散域.

函数项级数的和函数函数项级数的部分和

和函数的定义域就是级数的收敛域.

在收敛域上,函数项级数∑un(x)的和是x的函数s(x),它称为函数项级数∑un(x)的和函数,并写成s(x)=∑un(x).

函数项级数∑un(x)的前n项的部分和记作sn(x),即

sn(x)=u1(x)

u2(x)

u3(x)

un(x).

在收敛域上有sn(x)

s(x)(n

).

注:函数项级数的余项

函数项级数∑un(x)的余项记为rn(x),它是和函数s(x)与部分和sn(x)的差:rn(x)

s(x)

sn(x).

在收敛域上有rn(x)0(n

).

函数项级数的和函数函数项级数的部分和

和函数的定义域就是级数的收敛域.

在收敛域上,函数项级数∑un(x)的和是x的函数s(x),它称为函数项级数∑un(x)的和函数,并写成s(x)=∑un(x).

函数项级数∑un(x)的前n项的部分和记作sn(x),即

sn(x)=u1(x)

u2(x)

u3(x)

un(x).

在收敛域上有sn(x)

s(x)(n

).

定义2

则称函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数列来确定命题1：一致收敛性充分条件：命题2：不一致收敛性充分条件：命题3：不一致收敛的极限形式：定理2(一致收敛的柯西准则)

函数项级数在数集D上一致收敛的充要条件为:对任

,存在正整数给的正数，使当

对一切

和或

定理中当p=1时,得到函数项级数一致收敛的一个必要条件（定理1）:一致收敛的函数项级数的通项在收敛域上一致趋于零。函数项级数一致收敛判别法定理3（强级数判别法(Weierstrass)判别法）一致收敛性简便的判别法：定理4

（狄利克雷判别法）设⑴∑un(x)

的部分和函数列在I

上一致有界；⑵对每一个x∈I

，{Sn(x)}是单调的；⑶{vn(x)}在I

上一致收敛于0，则函数项级数∑un(x)vn(x)在数集I上一致收敛．

定理5

（阿贝尔判别法）设⑴∑un(x)在区间I上一致收敛；⑵对每一个x∈I

，{vn(x)}是单调的；⑶{vn(x)}在

I上一致有界，即存在M>0,

使得对任何x∈I

，

|vn(x)|≤M,n=1,2,...则函数项级数∑un(x)vn(x)在数集I

上一致收敛．

一致收敛函数项级数的性质

定理（连续性）若函数项级数∑un(x)在[a,b]上一致收敛，且每一项都连续，则其和函数在[a,b]上也连续．注意：1.和函数的连续性是连续的函数项级数一致收敛的必要条件。2.在定理的条件下，求和运算与求极限运算可以交换顺序，即

推论设X是一区间（开，闭，或半开半闭），若函数项级数∑un(x)在X上连续，但其和函数在X上不连续．则级数在X上不一致收敛

注意：推论是定理6的逆否命题。判别函数项级数不一致收敛的充分条件。定理7(逐项求积）定理8(逐项求导）此时正数

R

称为幂级数的收敛半径.规定问题如何求幂级数的收敛半径?（－R，R）称为幂级数的收敛区间收敛区域＝收敛区间＋收敛的区间端点定理2，3

幂级数的性质则在(

R,R)与(

R

,R

)中较小的区间内有加法：减法：乘法：

a0

b0

(a0

b1

a1

b0)x

(a0

b2

a1

b1

a2

b0)x2

···

(a0

bn

a1

bn

1

···

an

b0)xn

···幂级数的运算：定理4幂级数的一致收敛性（幂级数在收敛区间上的内闭一致性）且收敛半径仍为R.

且收敛半径仍为R.

注意：若函数能展开成幂级数，则其系数唯一。定理2称为n阶余项.微分型余项关于余项拉格朗日型余项柯西型余项函数

f(x)

展开成幂级数的具体步骤：2.写出幂级数，并求其收敛域

D.如果是,则

f(x)在

D上可展开成泰勒级数

二、函数展开成幂级数

展开方法直接展开法—利用泰勒公式或麦克劳林公式间接展开法—根据展开式的唯一性,利用已知展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式.需记住的几个幂级数注意：收敛域方法1：方法2：利用已有的展开式－－间接展开1.函数的幂级数展开:2.求幂级数的和函数：方法：利用四则运算、求导、积分和已有展开式3.求收敛域方法：求收敛半径，从而得收敛区间，将区间两个端点代入，判断所得常数项级数敛散性关于幂级数的题型：1.若在处收敛,则此级数在

(A)条件收敛,(B)绝对