第八章向量的数量积与三角恒等变换综合测评(B卷) 高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

第八章向量的数量积与三角恒等变换综合测评(B卷)第Ⅰ卷(选择题)一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.a,b是两个单位向量,则下列四个结论中正确的是()A.a=b B.a·b=1 C.a∥b D.|a|2=|b|22.已知向量a=(2,4),b=(-2,m),且|a+b|=|a-b|,则m=()A.3 B.1 C.233 D3.已知α为锐角,若sinα+3π2=-13,则cosα-π4=()A.2+46 B.2-46 C.4.已知向量a,b在正方形网格中的位置如图所示,那么向量a,b的夹角为()A.45° B.60° C.90° D.135°5.[2023山东东平校级月考]设函数f(x)=3sinx-cosx,则下列函数中为偶函数的是()A.fx+π3 B.fx-π3 C.fx+π6 D.fx-π66.[2023山西晋中三模]设向量a与向量b的夹角为θ,定义a与b的向量积:a×b是一个向量,它的模|a×b|=|a||b|sinθ.若m=(1,0),n=(-1,3),则|m×n|=()A.-1 B.1 C.-3 D.37.已知α∈0,π2,β∈π2,π,sinα=13,sin(α+β)=79,则cosβ的值为()A.-13 B.13 C.-12 8.平面向量a,b满足|a|=4,a与a-b的夹角为120°,记m=ta+(1-t)b(t∈R),当|m|取最小值时,a·m=()A.23 B.12 C.43 D.4二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.对任意的平面向量a,b,c,下列说法错误的是()A.a·b=b·aB.(a·b)·c=a·(b·c)C.若a·b=a·c,则b=cD.若a∥b,b∥c,则a∥c10.已知sinα+cosα=15A.sin2α=±2425 B.sinα-cosα=±C.cos2α=±725 D.sin4α-cos4α=±11.下列等式成立的是()A.(sin15°-cos15°)2=1B.1C.cos24°cos36°+cos66°cos54°=1D.2cos1012.[2023江苏南京期中]弦图是四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形,如图中直角三角形两锐角分别为α,β,其中小正方形的面积为4,大正方形的面积为9,则下列说法正确的是()A.3sinβ-3cosα=2B.每一个直角三角形的面积为5C.cos(α-β)=5D.3sinβ-3sinα=2第Ⅱ卷(非选择题)三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.[2023四川武侯校级模拟]设tanα-π4=14,则tanα+π4=.14.已知函数f(x)=12sin2x-cos2x-12,则f(x)的周期是15.在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,BD与AC交于点O,点E,F分别是线段AO,CD的中点,则BE·AF=16.[2023江苏铜山期中]设e1,e2为单位向量,满足|2e1-e2|≤2,a=e1+e2,b=2e1+e2,设a,b的夹角为θ,则cos2θ的最小值为.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),d=(-2,1).(1)设c=4a+b,求c的模;(2)若a+λb与a垂直,求λ的值;(3)求向量a与d的夹角.18.(12分)[2023广东顺德校级期中]已知|a|=1,|b|=2.(1)若向量a与b的夹角为135°,求|a+b|及b在a上投影的数量;(2)若向量a-b与向量a垂直,求向量a与b的夹角.19.(12分)[2023浙江月考]已知角θ的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,它的终边过点P-45,35.将OP绕原点逆时针旋转π2后与角(1)求sinα的值;(2)若角β满足sin(α+β)=513,求cosβ的值20.(12分)[2023浙江期中]已知函数f(x)=cos2x-sinx(sinx+23cosx)+1(x∈R).(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;(2)函数f(x)的图象沿x轴向左平移π6个单位长度得到函数g(x)的图象,求g(x)在区间π12,721.(12分)[2023浙江萧山校级期中]如图,在菱形ABCD中,BE=12(1)若|AB|=4,∠BAD=60°,求AC·(2)若菱形ABCD的边长为6,①用AB,AD表示②求AE·EF22.(12分)[北师大版教材习题]如图,四边形ABCD是一块边长为100cm的正方形铁皮,其中扇形AMPN的半径为90cm,已经被腐蚀不能使用,其余部分完好可利用,P是MN上一点,∠PAB=θ,工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个边在BC与CD上的矩形铁皮,求矩形铁皮PQCR面积的最大值和这时θ的值.参考答案一、单选题1.D对于A,a,b模长相等,但方向未必相等,A错误;对于B,a·b=|a|·|b|cos<a,b>=cos<a,b>∈[-1,1],B错误;对于C,a,b模长相等,但未必同向或反向,C错误;对于D,∵|a|=|b|=1,∴|a|2=|b|2=1,D正确.故选D.2.Ba+b=(0,4+m),a-b=(4,4-m),由于|a+b|=|a-b|,所以|4+m|=16+(4-m3.A因为sinα+3π2=-13,所以-cosα=-13,即cosα=13,又因为α为锐角,所以sinα=223,所以cosα-π4=cosαcosπ4+sin4.A设每个方格边长为1,a,b与水平线夹角为α,β,由题图知,θ=<a,b>=β-α为锐角,而tanα=13,tanβ=2,所以tanθ=tanβ-tanα1+tanβtanα=1,则5.B因为f(x)=3sinx-cosx=2sinx-π6,所以fx+π3=2sinx+π3−π6=2sinx+π6为非奇非偶函数,故A错误;fx-π3=2sinx-π3−π6=2sinx-π2=-2cosx为偶函数,故B正确;fx+π6=2sinx+π6−π6fx-π6=2sinx-π6−π6=2sinx-π3为非奇非偶函数,故D错误.故选B.6.D∵|m|=12+02=1,|∴cosθ=m·n|m||n|=-12,又θ∈[0,π],∴sinθ=1-cos2θ=32,7.A由α∈0,π2,β∈π2,π可得α+β∈π2,3π2故cosα=1-(13)

2=223,cos(α+β)=-1-(79)

2=-429,故cosβ=cos(α+故选A.8.B设OA=a,OB=b,则a-b=BA,如图所示,∵a与a-b的夹角为120°,∴∠OAB=120°,∠OAC=60°.∵m=ta+(1-t)b(t∈R)且t+(1-t)=1,∴m,a,b起点相同时,终点共线,即在直线AB上,∴当m⊥AB时,|m|最小,又|a|=4,∴|m|min=23,此时<a,m>=30°,∴a·m=4×23cos30°=12.故选B.二、多选题9.BCD对于A,由两个向量的数量积满足交换律知,A正确;对于B,因为a·b与b·c都是实数,则向量(a·b)·c与c共线,向量a·(b·c)与a共线,而c与a是任意两个向量,B不正确;对于C,当a=0时,对任意的向量b,c均有a·b=0=a·c,因此不一定有b=c,C不正确;对于D,当b=0时,对任意的向量a,c均有a∥b,b∥c,即不一定有a∥c,D不正确.故选BCD.10.BCD根据题意,sinα+cosα=15,两边平方,得1+sin2α=125,所以sin2α=-2425,故A错误;又因为(sinα-cosα)2=1-sin2α=4925,所以sinα-cosα=±75,故B正确;cos2α=cos2α-sin2α=(cosα+sinα)(cosα-sinα)=±725,故C正确;sin4α-cos4α=(sin2α+cos2α)(sinα-cosα)(sinα+cosα11.AB选项A,(sin15°-cos15°)2=sin215°-2sin15°·cos15°+cos215°=1-sin30°=12,故A正确选项B,1-tan15°选项C,cos24°cos36°+cos66°cos54°=sin66°cos36°+cos66°sin36°=sin(66°+36°)=sin102°≠12.故C错误选项D,2cos10°-sin2012.BDcosα=sinβ,∴3sinβ-3cosα=3sinβ-3sinβ=0,A错误;四个直角三角形全等,大正方形的面积为9,小正方形的面积为4,∴每一个直角三角形的面积为54,B正确;cosα-sinα=23,sinβ-cosβ=23,且cosα=sinβ,sinα=cosβ,∴(cosα-sinα)(sinβ-cosβ)=cosαsinβ-cosαcosβ-sinαsinβ+sinαcosβ=sin2β+cos2β-cos(α-β)=1-cos(α-β)=49,∴cos(α-β)=59,C错误;3sinβ-3sinα=3sinβ-3cosβ=3×三、填空题13.-4因为tanα-π4=tanα-11+tanα=14,解得tanα=53,所以tanα+14.ππ8+kπ2,12,k∈Zf(x)=12sin2x-cos2x-所以周期T=2π2=π,令2x-π4=kπ,k∈Z,解得x=π8+kπ2,k∈Z15.-74以O为原点,AC,BD所在直线分别为x轴、y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,因为AB=2,∠BAD=60°,所以OB=1,OA=3,则B(0,1),A(-3,0),D(0,-1),C(3,0),E-32,0,F32,-12,所以BE=-32,-1,AF=332,-12,故BE·AF=-32×332+(-1)×-12=-16.1516|2e1-e2|=(2e1-e2)2=5-4e1·e2≤2,e∵a·b=(e1+e2)·(2e1+e2)=3+3e1·e2=3+3t,|a|=(e|b|=(2∴cosθ=a·∴cos2θ=9(∵t≥14,∴10+8t≥12,∴110+8t≤112,∴-94×110+8t四、解答题17.解(1)∵向量a=(1,2),b=(2,-2),d=(-2,1),∴c=4a+b=4(1,2)+(2,-2)=(6,6),∴|c|=62+6(2)∵a+λb=(1,2)+λ(2,-2)=(1+2λ,2-2λ),又a+λb与a垂直,∴(a+λb)·a=1+2λ+2(2-2λ)=0,可得λ=52(3)∵a·d=1×(-2)+2×1=0,∴向量a与d的夹角为π218.解(1)向量a与向量b的夹角为135°,由|a+b|=(a+b)2=|a|2+|b|2(2)由向量a-b与向量a垂直,即(a-b)·a=0,∴|a|2=a·b,则|a||b|cosθ=1,可得cosθ=22∴θ=45°,故得向量a与b的夹角为45°.19.解(1)因为角θ终边过点P-45,3所以sinθ=35cosθ=-45(所以sinα=sinθ+π2=cosθ=-45.(2)由(1)得cosα=cosθ+π2=-sinθ=-35,由sin(α+β)=513得cos(α+β)=±12又因为β=(α+β)-α,所以cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα,当cos(α+β)=1213时,cosβ=1213×-35+513×-45=-5665;当cos(α+β)=-1213时,cosβ=-1213×-35+513×-45=16所以cosβ=-566520.解(1)由题意,f(x)=cos2x-3sin2x+1=2cos2x+π3+1,∴最小正周期T=2π2=当2kπ-π≤2x+π3≤2kπ(k∈Z),即-2π3+kπ≤x≤-π6+kπ(k∈Z)时,f(x)单调递增,∴函数f(x)的单调递增区间为-2π3+kπ,-π6+kπ(2)函数f(x)的图象沿x轴向左平移π6则g(x)=2cos2x+π6+π3+1=2cos2x+2π3+1,当π12≤x≤7π12时,5∴-1≤cos2x+2π3≤32,-1≤2cos2x+2π3+1≤3+1,∴g(x)max=1+3,g(x)min=-121.解(1)在菱形ABCD中,AC=AB+AD,且AB=DC=-又CF=2FD,∴CF=23∴AC·CF=(AB+AD)·-23AB=-23AB2−23AB·AD=-23|AB|2-23(2)①∵ABCD为菱形,∴AB=∴EF=CF−CE=-②∵AE=∴AE·EF=AB+12AD·-23AB+1∵<AB,AD>∈(0,π),∴cos<AB,∴AE·EF22.解设RP的延长线与AM交于T.由题图