充分条件与必要条件

§1.1.3充分条件与必要条件X例：用“充分”或“必要”填空1.“a和b都是偶数”是“a+b也是偶数”的

条件；2.“四边相等”是“四边形是正方形”的

条件；3.“x≠3”是“|x|≠3”的

条件；4.“x－1=0”是“x2－1=0”的

条件；5.“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的

条件；充分必要必要充分充分6.“至少有一组对应边相等”是“两个三角形全等”的

条件；7.“a=2且b=3”是“a+b=5”的

条件；必要充分例：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题

中的p是q的充分条件？

（1）若x=1，则x2–4x+3=0；

（2）若f(x)=x，则f(x)为增函数；

（3）若x为无理数，则x2为无理数

例：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？(1)若x=y，则x2=y2。(2)若两个三角形全等,则这两个三角形的面积相等.(3)若a>b，则ac>bc。例：请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空：(1)“(x-2)(x-3)=0”是“x=2”的＿＿＿＿＿＿条件.(2)“同位角相等”是“两直线平行”的_________条件.(3)“x=3”是“x2=9”的＿＿＿＿＿＿条件.(4)“四边形的对角线相等”是“四边形为平行四边形”的＿＿＿＿＿＿＿＿＿条件.充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要（6）“a＜b”是“

＜1”的＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

ab(5)“x＞3”是“x＞0”的＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿充分不必要条件既不充分也不必要条件(7)“

m<－2”是“方程x2－x－m＝0无实根的＿＿＿＿＿＿＿＿充分不必要条件充要条件充分不必要条件10.已知p是q的必要而不充分条件，那么┐p是┐q的_______________.充分不必要条件11.已知p是q的充分而不必要条件，那么┐p是┐q的_______________.必要不充分条件若A是B的充要条件，B是C和D的必要不充分条件，E是D的充分不必要条件，E是A的充要条件，则E是B的＿＿＿＿＿＿＿条件，

C是A的＿＿＿＿＿＿＿＿条件，

A是D的＿＿＿＿＿＿＿＿条件，

D是C的＿＿＿＿＿＿＿＿＿条件.充要条件充分不必要充要必要不充分如果不等式|x-m|≤1成立的充分不必要条件是1<x≤2，求实数m的取值范围。下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是()A．a>b＋1B．a>b－1C．a2>b2 D．a3>b31．定义法：判断B是A的什么条件，实际上就是判断B⇒A或A⇒B是否成立，只要把题目中所给条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义即可判断．2．转换法：当所给命题的充要条件不易判定时，可对命题进行等价转换，例如改用其逆否命题进行判断．3．集合法：对命题的条件和结论间的关系进行判断有困难时，有时可以从集合的角度来考虑，记p、q对应的集合分别为A、B，则：例5：已知关于x的方程

(1－a)x2＋(a＋2)x－4＝0(a∈R).求：⑴方程有两个正根的充要条件；⑵方程至少有一个正根的充要条件;(3)方程的两个根都大于1充要条件。(1)设此时方程两正根为x1，x2,方程有两个正实根的充要条件是：所以，方程有两个正根的充要条件是:1<a≤2或a≥10

.(2)由(1)知1<a≤2或a≥10方程有两个正根方程有一正、一负根的充要条件是：故方程至少有一正根的充要条件是a≤2或a≥10

当a=1时,方程化为3x

4=0,有一个正根x=4/3五、充要条件的证明(导学)设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.在此前提下考虑至少有一个非负根的反面即两个负根的充要条件是:

例3已知集合

M={(x,y)

|

y2=2x},

N={(x,y)

|

(x-a)2+y2=9},求证:M∩N

的充要条件是

-3≤a≤5.即关于

x

的方程

x2+2(1-a)x+a2-9=0

至少有一个非负根.证:由已知M∩N

的充要条件是

方程组由

△≥0

得

a≤5.解得

a<-3.从而使M∩N

的充要条件是

-3≤a≤5.至少有一组实数解,且

x≥0.y2=2x(x-a)2+y2=9△≥0,x1+x2<0,x1x2>0.作业1、求关于x的方程至少有一个负根的充要条件。①关于x的方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一正一负两个实根的充分非必要条件为()Aa<0Ba>0Ca<-1Da>1解、选C,要注意a<0是一个充要条件1、已知条件p:|4x-3|≤1；q:x2-（2a+1)x+a(a+1)≤0若

p是

q的必要非充分条件,求a的取值范围____解、p:1/2≤x≤1;

p:x>1或x<1/2q:a≤x≤a+1

q:x<a或x>a+1∴0≤a≤1/2为所求练习：设x、y∈R，求证|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0充要条件的证明的两个方面：1、必要性：|x+y|=|x|+|y|→xy≥02、充分性:xy≥0→|x+y|=|x|+|y|3、点明结论2、关于x的不等式x2+ax+1≤0成立的充分非必要条件为x2-3x+2≤0,求实数a的取值范围。[-5/2,2)2.已知p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－a2>0.若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围．解析：

p：由x2－8x－20>0得(x－10)(x＋2)>0即x<－2或x>10设p＝{x|x<－2或x>10}q：由x2－2x＋1－a2>0得[x－(1－a)][x－(1＋a)]>0当a>0时，q：{x|x<1－a或x>1＋a}当a＝0，q：x2－2x＋1＝(x－1)2>0∴q：{x|x≠1}∴p⊆q成立综上，a的取值范围－3≤a≤3.例4已知抛物线C：y＝－x2＋mx－1和点A(3,0)，B(0,3)，求抛物线C与线段AB有两个不同交点的充要条件．反过来，若方程x2－(1＋m)x＋4＝0在[0,3]上有两个不同的实数解x1，x2，分别代入x＋y＝3可得到y1和y2，故抛物线C与线段AB有两不同的交点(x1，y1)和(x2，y2)．于是问题转化为关于x的方程x2－(1＋m)x＋4＝0在[0,3]上有两个不同的实数解的充要条件．令f(x)＝x2－(1＋m)x＋4(如图所示)

例4求证：关于x

的方程x2+2ax+b=0有实数根,且两根均小于

2的充分但不必要条件是a≥2且|b|≤4.∴方程有实数根x1和x2.

证明:由a≥2且|b|≤4得:a2≥4≥b.∴△=4(a2-b)≥0.又由a≥2得:-2a≤-4.而b≥-4,∴(x1-2)+(x2-2)=(x1+x2)-4=

-2a-4≤-4-4=

-8<0,(x1-2)(x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4=b+4a+4

≥-4+8+4=8>0,即(x1-2)+(x2-2)<0且(x1-2)(x2-2)>0.∴(x1-2)<0且(x2-2)<0.∴x1<2且x2<2.∴由a≥2且|b|≤4可推得关于x

的方程x2+2ax+b=0有实数根,且两根均小于

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