指数函数的性质与图像高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

4.1.2指数函数的性质与图像知识探究（一）:指数函数的概念问题1:细胞分裂,每个细胞每次分裂为2个,则1个这样的细胞第一次分裂后变为2个细胞,第二次分裂后就得到4个细胞,第三次分裂后就得到8个细胞......

在这个问题中,分裂的次数是一个变量,我们把它看成自变量,用x表示.每次分裂后细胞的个数也是一个变量,显然这个变量是自变量x的函数，用y表示.如何由x来计算y呢？问题2：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”在这个问题中,截取的次数是一个变量,我们把它看成自变量,用x表示.每次截取后所得木杖的长度也是一个变量,显然这个变量是自变量x的函数，用y表示.如何由x来计算y呢？知识探究（一）:指数函数的概念----《庄子.天下》问题3:上述函数，在其结构上有何共同特点？

指数函数:我们把形如

的函数叫做指数函数，其中x是自变量.问题4:指数函数

且的定义域是什么？

知识探究（一）:指数函数的概念规定：且探究：为了便于研究，底数a的取值范围应如何规定为宜？

理论迁移：例1.判断下列函数是否为指数函数？

（1）（2）（3）（4）（5）（6）练习：已知函数过（2，4）求符合题意的指数函数指数函数的图像02知识探究（二）:指数函数的图像

x

-2-10120.110.330.5811.73239

思考：你可以利用表格猜测出函数的以下性质并说明理由（1）定义域：（2）奇偶性：（3）单调性：（4）值域：（5）恒过定点：

知识探究（二）:指数函数的图像问题5:研究函数的基本特性，一般先研究其图像.你有什么方法作函数

和

的图象？

x

-2-1.5-1-0.500.511.520.250.350.50.7111.4122.8340.110.190.330.5811.73235.209

知识探究（二）:指数函数的图像（1）观察图像有什么共同的特点？（2）图像有什么区别？问题6:函数

与的图象有什么关系？

函数与的图象有什么关系？知识探究（二）:指数函数的图像

知识探究（二）:指数函数的图像

问题7:一般地，指数函数且的图象可分为几类？其大致形状如何?

“撇”形“捺”形知识探究（二）:指数函数的图像

值域：过定点：指数函数的性质03考察函数

的图象:问题8:函数图象的升降情况如何？由此说明什么性质？问题9:图象在y轴左、右两侧的分布情况如何？由此说明函数值有那些变化？

知识探究（三）：指数函数的性质单调递增x<0时，0<y<1；x=0时，y=1;x>0时，y>1.问题10:若

，则函数

与

的图象的相对位置关系如何？

知识探究（三）：指数函数的性质时时时考察函数

的图象:问题11:函数的定义域、值域、单调性、函数值分布分别如何？

知识探究（三）：指数函数的性质

单调递减x<0时，y>1；x=0时，y=1;x>0时，0<y<1.问题12:若

，则函数

与

的图象的相对位置关系如何？

知识探究（三）：指数函数的性质时时时指数函数

的图像和性质:

图象

定义域

值域性质RR当

时

；当

时

；当

时

；过定点（0，1）在R上是减函数非奇非偶

当

时

；当

时

；当

时

；过定点（0，1）在R上是减函数非奇非偶

应用1比较大小：例2.比较下列各题中两个值的大小(1)与

;(2)与;与

例3

利用指数函数的性质与图像求下列方程或不等式的解集例4.确定函数

的单调区间和值域.

理论迁移：例5：已知三个指数函数

的图像如图

（2）指数函数的底数越大，它的图像与直线

的交点的纵坐标是越大

还是越趋近于0？

（1）试比较

的大小；

例6用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的

（1）写出存留污垢的百分比

与漂洗次数

的函数关系式

（2）求出若要使存留的污垢不超过原有的1%所要漂洗的最少次数。1指数函数定义2指数函数图像3指数函数