2022北京门头沟初二（上）期末数学（教师版）

2022北京门头沟初二（上）期末

数学

一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1一8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1.百的相反数是（）

A.V3B.—^3C.±6DT

2.以下四大通讯运营商的企业图标中，是轴对称图形的是（）

◎Q（D

中国移动中国电信中国网通中国联通

3.如果分式g的值等于o,那么x的值是（）

龙+i

A.x=-lB.x=3C.x>-\D.XH3

4.下列事件中，属于必然事件的是（）

A.13人中至少有2个人生日在同月

B.任意掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上

C.从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到的是红桃A

D.以长度分别是3cm,4cm,6cm的线段为三角形三边，能构成一个直角三角形

5.下列等式成立是（）

Q+1a—2a+1。+1b-a,aa~

A，b+\~bB.-----=——C.----=-1D—=—

-2bba-bbh2

6.下列计算正确的是（)

A(一国=3eg=2也D.3x/2=7372

分别以A,C为圆心，大于』AC的同样长为半径作弧，两弧分别交于

7.如图,在△ABC中，AB=AC,NA=36。,

2

点M,N,作直线分别交AB,AC于点。，E,连接CD有以下四个结论：①NBC£）=NAC£>=36。；②A。

=CD=CB；③ABCD的周长等于AC+2C；④点Z）是线段AB的中点.其中正确的结论是（）

A

E

M9

BC

A.①②B.③④C.©©③D.①②③④

8.如图，在2x2正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的AABC为格

点三角形，在图中可以画出与△ABC成轴对称的格点三角形的个数为（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.4的算术平方根是.

10.如果二次根式有意义，那么x的取值范围是.

11.如图，已知△ABC,通过测量、计算得△ABC的面积约为cM（结果保留一位小数）.

12.一个转盘盘面被分成6块全等的扇形区域，其中2块是红色，4块是蓝色.用力转动转盘，当转盘停止后，指针

对准红色区域的可能性大小是.

13.一个等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm,则它的周长为cm.

14.如图，数轴上点A,8对应的实数分别是-1,2,点C在线段AB上运动，如果点C表示无理数，那么点C可以

是（写出一个即可）.

AB

―I----------1-----------1-----------1----------1-------►

-2-1012

15.如图，。为AABC内一点，ADLCD,AQ平分/CAB,且/如果AB=10,AC=6,那么CQ

c

D

B

16.如图，在△ABiG中,ACi^BtCi,NG=20。,在8G上取一点C2,延长ABi到点民，使得3出2=8心2,在

82c2上取一点C3,延长A%到点&,使得&&=B2C3,在B3C3上取一点。4,延长Aa到点&,使得%&=

B3c......按此操作进行下去，那么第2个三角形的内角NAB2c2=°；第〃个三角形的内角/AB“C“=

C,

三、解答题（本题共68分，第17题6分，第18题8分，第19~25题，每小题5分，第26题6分，第27题7

分，第28题6分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.计算：（1）+（2）.

x+2x+2{a）

18计算：（1）x/S—y/27+|V2-3|；（2）（2+6）（2—豆）—+夜.

x3,

19.解方程：—?-：一示=1.

X-J（x-3）

20.如图，AD,BC相交于点。，AO=DO.

（1）如果只添加一个条件，使得AA。8g△QOC,那么你添加的条件是一（要求：不再添加辅助线，只需填一

个答案即可）；

（2）根据已知及（1）中添加的一个条件，证明A8=£>C.

21.已知f+2x-5=0，求代数式（x+1彳2的值.

（x-1）x~-x

22.学习分式运算过程中，老师布置了这样一个任务：依据下面的流程图，计算二-津"

a-ha~-b~

（1）依据上面流程图计算，工-考y时，需要经历的路径是一（只填写序号）；

a-ba-b~

（2）依据（1）中路径写出正确解答过程.

23.下面是小丽同学设计的“作30。角”的尺规作图过程.

已知：如图1,射线OA.

求作：ZAOB,使/408=30。.

0A

图1

作法:如图2,

①在射线OA上任取一点C；

②分别以。，C为圆心，OC长为半径作弧，两弧在射线的上方交于点O,作射线OD,并连接C。；

③以。为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA,。。于点E,F：

④分别以E,F为圆心，以大于的同样长为半径作弧，两弧在NAO。内部交于点B；

2

⑤作射线OB；

图2

根据小丽设计的尺规作图过程，解答下列问题：

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图2（保留作图痕迹）；

(2)补全下面证明过程：

证明：连接BE,BF.

'：OC=OD=CD,

△0C£＞是等边三角形.

NCOD=°.

又：OE=0F,BE=BF,OB=OB,

：.△OEB^/\OFB()(填推理依据).

NEOB=NFOB()(填推理依据).

Z.ZAOB=-ZCOD=30°.

2

.•.N4O8就是所求的角.

24列方程解应用题：

第24届冬奥会将于2022年2月在中国北京和张家口举行.为了迎接冬奥会，某公司接到制作12000件冬奥会纪念

品的订单.为了尽快完成任务，该公司实际每天制作纪念品的件数是原计划每天制作纪念品件数的1.2倍，结果提

前10天完成任务，求原计划每天制作多少件冬奥会纪念品？

25.已知，如图，在△ABC中，ZC=90°,A。平分NBAC交BC于。，过。作。E〃AC交AB于E.

(1)求证：AE=DE；

(2)如果AC=3,AD=2y/3,求AE的长.

26.阅读理解：

材料：小华在学习分式运算时，通过具体运算：一［=1-4，工=」—!,J-=L-L

1x222x3233x434

1_11

4^5-4-5

1_1_1

发现规律:(〃为正整数)，并证明了此规律成立.

+nH+1

1111,1111111,19

应用规律，快速计算:

1x22x33x49x10223349101010,

根据材料，回答问题:

在学习二次根式运算时，小华根据分式学习积累的活动经验，类比探究二次根式的运算规律，并解决问题.请将下

面的探究过程，补充完整.

(1)具体运算：

特例i：Ji+4+-^=i+—=i+i--

Vl2221x22

特例2：Jl+^+^=l+-=l+--l

V22322x323

i44

特例3：++

3242

特例4：—(填写一个符合上述运算特征的例子).

L11

(2)发现规律：Jl+r+7———("为正整数)，并证明此规律成立.

\n~(〃+1)-

(3)应用规律：

①计算：卜¥*卜*"+J+**…*卜卜A卜*春;

②如果卜3系/+*+*+•••+『言^舟+―舟+*=7,那么〃=一.

27.已知，在AABC中，N8AC=30。，点。在射线BC上，连接A£>,/。4。=。，点。关于直线AC的对称点为

E,点E关于直线43的对称点为凡直线E尸分别交直线AC,A8于点M,N,连接4尸，AE,CE.

(1)如图1,点。在线段BC上.

①根据题意补全图1;

②NAEF=(用含有a的代数式表示)，NAMF=°；

③用等式表示线段M4,ME,MF之间的数量关系，并证明.

(2)点。在线段8C的延长线上，且/。。<60。，直接用等式表示线段MA,ME,M尸之间的数量关系，不证

明.

a>0)

28.对于任意两个非零实数a,b,定义运算③如下：a®h=\

a<0)

2

如：203=-(一2虑3=-2+3=1.

3

根据上述定义，解决下列问题：

（1）V<6®^3=,V5j®V5=；

（2）如果（W+l）区（12一工）=1,那么％=_

⑶如果（X一3）8x=（一2）咨求X的值.

参考答案

一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1一8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1.百的相反数是（）

A.GB.一百C.±73D.B

3

【答案】B

【解析】

【分析】直接根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数）进行求解即可.

【详解】解：的相反数是-

故选：B.

【点睛】本题主要考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键.

2.以下四大通讯运营商的企业图标中，是轴对称图形的是（）

中国移动中国电信中国网通中国联通

【答案】D

【解析】

【分析】根据轴对称图形的定义（在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形）进行判断即可

得.

【详解】解：根据轴对称图形的定义判断可得：只有D选项符合题意，

故选：D.

【点睛】题目主要考查轴对称图形的判断，理解轴对称图形的定义是解题关键.

3.如果分式二三的值等于0,那么x的值是（）

x+\

A.X=-1B.X=3c.x>-\D.X/3

【答案】B

【解析】

【分析】根据分式的值为0的条件可得X-3=0,X-1H0,即可求得答案

【详解】解：•.•分式上乡的值等于0,

X+1

x-3=0,x—IwO

:.x=3

故选B

【点睛】本题考查了分式的值为0的条件，解题的关键是理解分式的值为0的条件是分子为0,分母不为0.

4.下列事件中，属于必然事件的是（）

A.13人中至少有2个人生日在同月

B.任意掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上

C.从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到的是红桃A

D.以长度分别是3cm,4cm,6cm的线段为三角形三边，能构成一个直角三角形

【答案】A

【解析】

【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在

一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事

件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件.

【详解】解：A.13人中至少有2个人生日在同月，是必然事件，故该选项符合题意；

B.任意掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上，是随机事件，故该选项不符合题意；

C.从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到的是红桃A,是随机事件，故该选项不符合题意；

D.因为3?+4?=25,6?=36,3?+4?#62,则以长度分别是3cm,4cm,6cm的线段为三角形三边，能构成一个直

角三角形，是不可能事件，故该选项不符合题意；

故选A

【点睛】本题考查了确定事件和随机事件的定义，熟悉定义是解题的关键.

5.下列等式成立的是（）

b-a,

C.-------=一1D

a-bbb2

【答案】C

【解析】

【分析】直接根据分式的性质进行判断即可

详解】解：A."wf,故选项A不符合题意;

b+\b

B.311片第1,故选项8不符合题意；

-2bb

h—a—（ci—b）人口工.

C.-----=——--=-1,故选项C符合题意；

a-ba-b

D.故选项。不符合题意；

bb2

故选C

【点睛】本题主要考查了分式性质的应用，熟练掌握分式性质是解答本题的关键

6.下列计算正确的是（）

A.(-6『=3D.372=^/3^2

【答案】A

【解析】

【分析】根据二次根式的性质和运算法则逐一计算可得.

【详解】A、=3此选项计算正确，符合题意；

B、,(-3)2=3此选项计算错误,不符合题意；

c、、口=交此选项计算错误，不符合题意；

\22

。、30=J^此选项计算错误，不符合题意；

故选：A.

【点睛】本题主要考查了利用二次根式的性质化简以及二次根式的加减运算，准确利用二次根式的性质计算是解题

的关键.

7.如图，在△ABC中，AB=AC,乙4=36。，分别以A,C为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于

2

点M,N,作直线MN,分别交48,AC于点。，E,连接CD有以下四个结论：①/BC£>=/ACO=36。；②A。

=CD=CB：③ABCZ)的周长等于AC+BC；④点。是线段A8的中点.其中正确的结论是()

C.©©③D.①②③④

【答案】C

【解析】

【分析】根据AB=AC,/A=36。，可得NAC5=N8=72。,根据作图可知MN是AC的垂直平分线，进而可得

AD=DC,ZZ)G4=ZZMC=36°,进而可得NOCB=NACB—NACr>=36。，即可判断NB£>C=72°,进而

判断CD=C3,即可判断①②③正确，若④正确，则可得是等边三角形，进而得出矛盾，判断④不正确

【详解】解：•••AB=AC,NA=36。，

/.ZACB=ZB=1(180°-ZA)=72°,

根据作图可知MN是AC的垂直平分线,

AD=DC,

NOC4=ND4C=36。，

.：.DA=DC,ZBDC=ZDAC+ZDCA=72°

NDCB=ZACB-ZACD=36。

:./CDB=4B=7r

：.ZBCD=ZACD=36°,AD=CD=CB-,；

故①②正确

ABCD的周长等于BD+CD+BC=BD+AD+BC=AB+BC=AC+BC;

故③正确

若点。是线段AB的中点

：.AD=DB

•;DC=DA=BC

:.DB=DC=BC

.•.△OBC是等边三角形

而ZB=720*60°

点。不是线段AB的中点

故④不正确

故正确的有①②③

故选C

【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质与作图，掌握等腰三

角形的性质是解题的关键.

8.如图，在2x2正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格

点三角形，在图中可以画出与△ABC成轴对称的格点三角形的个数为（）

【答案】D

【解析】

【分析】在网格中画出轴对称图形即可.

【详解】解：如图所示，共有5个格点三角形与AABC成轴对称,

故选：D

【点睛】本题考查了轴对称，解题关键是熟练掌握轴对称的定义，准确画出图形.

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.4的算术平方根是.

【答案】2.

【解析】

【详解】试题分析：•；22=4，，4算术平方根为2.故答案为2.

考点：算术平方根.

10.如果二次根式有意义，那么x取值范围是.

【答案】x,5

【解析】

【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数大于等于0”得到关于x的不等式，解不等式即可求解.

【详解】解：由题意得x-5K）,

解得史5.

故答案为：x>5

【点睛】本题考查了二次根式意义的条件，熟知二次根式被开方数大于等于0是解题关键.

11.如图，已知AA8C,通过测量、计算得AABC的面积约为。层（结果保留一位小数）.

【答案】3.9

【解析】

【分析】过点4作的延长线于点。，测量出8C,的长，再利用三角形的面积公式即可求出△A8C的面

积.

【详解】解：过点C作C。，AB的延长线于点£>,如图所示.

4

D,BC

经过测量，BC=2.2cm,AD=3.5cm,

SAABC--AB*CD=—X2.2X3.5=3.85~3.9(cm2).

22

故答案为：3.9.

【点睛】本题考查了三角形的面积，牢记三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半是解题的关键.

12.一个转盘盘面被分成6块全等的扇形区域，其中2块是红色，4块是蓝色.用力转动转盘，当转盘停止后，指针

对准红色区域的可能性大小是.

【答案】|

【解析】

【分析】根据简单概率公式进行计算即可.

【详解】解：根据题意，共有6块全等的扇形区域，其中2块是红色，4块是蓝色.

21

则指针对准红色区域的可能性大小是:二-

63

故答案为：-

3

【点睛】本题考查了几何概率，立即题意是解题的关键.

13.一个等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm,则它的周长为cm.

【答案】17

【解析】

【分析】题中没有指明哪个底哪个腰，故应该分两种情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检验.

【详解】解：当7为腰时,周长=7+7+3=17cm；

当3为腰时，因为3+3V7,所以不能构成三角形；

故三角形的周长是17cm.

故答案为：17.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，在解题时要进行分类讨论.

14.如图，数轴上点A,8对应的实数分别是-1,2,点C在线段AB上运动，如果点C表示无理数，那么点C可以

是(写出一个即可).

AB

—I---------1---------1-----------1----------1------►

-2-1012

【答案】、历（答案不唯一）

【解析】

【分析】根据点C在线段AB上运动，得到点C表示的数的取值范围，写出一个无理数即可.

【详解】解：•••点C在线段A8上运动，

.•.点C表示的数在-I和2之间，

.♦.点C表示的数可以是夜（答案不唯一）.

故答案为：V2（答案不唯一）

【点睛】本题考查了数轴与实数的关系，无理数大小的估算，根据题意估算出点C表示的数的取值范围是解题关

键.

15.如图，。为AABC内一点，ADLCD,A。平分/CAB,且NDCB=NB.如果AB=10,AC=6,那么CQ=

【答案】2

【解析】

【分析】延长C。交48于点E,根据垂线及角平分线的性质可得NC4£>="AE，ZCDA=ZEDA,然后利用

全等三角形的判定定理和性质可得AC=A£=6,再由等角对等边可得8E=CE=4，由此即可得出线段长度.

【详解】解：如图所示：延长C。交AB于点E,

•••AO平分NCAB,

二NCAD=/DAE,

'：ADVCD,

•••NCZM=N£ZM=90。,

在418与八4£0中，

NCAD=ZDAE

<AD=AD,

NCDA=ZEDA

二A4coMAAEO,

AC=AE=6,CD=DE,

.*•BE=AB-AE=A，

•：ZDCB=/B,

，BE=CE=4,

：.CD=-CE=2,

2

故答案为：2.

【点睛】题目主要考查角平分线和等角对等边的性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意，作出相应辅助线是

解题关键.

16.如图,在△ABiG中,ACi=BiCi,ZCi=20°,在SG上取一点C2,延长ABi到点&,使得8出2=8仁2,在

B2c2上取一点C3,延长A%到点后,使得&83=82。3,在B3c3上取一点C4,延长A&到点&,使得以84=

&C4........按此操作进行下去，那么第2个三角形的内角NAB2c2=°;第〃个三角形的内角NA8"C“=

【解析】

【分析】先根据等腰三角形的性质求出NC山洪的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出

NBiB2c2,/C383B2及/C48382的度数，找出规律即可得出/A&C“的度数.

【详解】解：△ASG中，AG=5iG,NG=20。，

180°-ZC1800-20°

/GBiA=80°,

22

'：B\B2=B\C2,,NGB1A是△B182C2的外角,

.,ZC.B.A80°

♦•NBiB2c2=------------=-=---4--0°；

22

同理可得，

ZC3B3B2=20°,ZC4B3B2=10°,

80。

ZABnCn—

2"~'

故答案为：40,亍打.

【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出/©B2c2,NC3B3B2及NC4B3B2的度

数，找出规律是解答此题的关键.

三、解答题（本题共68分，第17题6分，第18题8分，第19~25题，每小题5分，第26题6分，第27题7

分，第28题6分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.计算：（1）卫+工；（2）4”6+（心］.

x+2x+2Ia1

【答案】⑴3；（2）4a3

【解析】

【分析】（1）根据同分母分式加法法则计算即可；

（2）根据分式的乘方和除法法则计算即可.

【详解】解：（1）原式=包邙，

x+2

_3（x+2）

x+2'

=3.

（2）原式=4加+勺，

=4ab',

=44.

【点睛】本题考查了分式的运算，解题关键是熟练掌握分式运算法则，准确计算.

18.计算：（1）x/8--^27+|>/2—3|；（2）（2+6）（2-6）-+.

【答案】（1）夜；（2）-2

【解析】

【分析】（1）根据二次根式的性质，求一个数的立方根，化简绝对值，进而根据实数的性质进行计算即可；

（2）根据平方差公式，二次根式的除法运算进行计算即可

【详解】⑴解：原式=20-3+3-0，

=>/2•

（2）解：原式=1—3,

=—2.

【点睛】本题考查了实数的混合运算，二次根式的除法运算，掌握二次根式的性质以及二次根式的运算法则是解题

的关键.

x3,

19.解方程：一衣=•

【答案】x=4

【解析】

【分析】方程两边同时乘以（x-3）2去掉分母，把分式方程化为整式方程，求出方程的解并检验后即得结果.

V".,3,A

【详解】解：口口-3）--^^"-3）-=1«-3）-,

X（X-3）-3=（X-3『，

x"-3x—3=X?—6x+9>

3x=12,

x=4.

检验：当x=4时，（x-3）~*0

；•x=4是原方程的解.

*1•原方程的解是x=4.

【点睛】本题考查了分式方程的解法，属于基础题目，熟练掌握求解的方法是解题的关键.

20.如图，AD,BC相交于点O,AO=DO.

（1）如果只添加一个条件，使得△AOBg/\OOC,那么你添加的条件是一（要求：不再添加辅助线，只需填一

个答案即可）；

（2）根据已知及（1）中添加的一个条件，证明AB=OC.

【答案】（1）OB=OC（或NA=ND，或ZB=NC）；（2）见解析

【解析】

【分析】（1）根据SAS添加OB=OC即可；

（2）由（1）得AAOb丝△OOC,由全等三角形的性质可得结论.

【详解】解：（1）添加的条件是：OB=OC（或乙4=",或4B=NC）

证明：在AAQB和中

AO=B0

<NAOB=Z.COD

BO=CO

所以，△AOB四△DOC

（2）由（1）知，AAOB丝△OOC

所以，AB=DC.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键

21.已知f+2%—5=0，求代数式（x+12的值.

Ix-1）x-x

【答案】5

【解析】

【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，进而根据分式的性质进行化简，最后根据已知

式子的值，整体代入求值即可.

【详解】解：（x+i—+4^

Vx-1）厂一工

=-（x+l）（l）__3__+X-2

X—1X—1x~—X

X2-1-3x-2

=----------^-―-----，

x-lX~-X

_X2-4X-2

X—1—X

_（x+2）（九一2）x（x-1）

--------------------,

x—\x-2

=（x+2）x,

=x2+2x-

当f+2x-5=0时，f+2x=5，

原式=5.

【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的性质以及因式分解是解题的关键.

22.学习分式运算过程中，老师布置了这样一个任务：依据下面的流程图，计算一彳-W

a-ba

（1）依据上面流程图计算一一-一^•时，需要经历的路径是—（只填写序号）；

a-bcr-b

（2）依据（1）中路径写出正确解答过程.

【答案】（1）②④；（2）见解析

【解析】

【分析】（1）观察到1-二j分母不一样得经过②，作差得需要经过④;

a-ba--b2:+：7（。一一”/*7）

（2）先通分，化为同分母分式，再相减.

【详解】解：⑴根据£一言的形式可选②,

*2

a2aba+ab-labt与

力-7^F=g+6)(“叫‘选④'

故答案是：②④;

a2ah

(2)原式=力

(。+人)(。-6)

〃(Q+人)2ab

(Q+〃)(〃-〃)(〃+b)(a-Z?)

_a2+ab-2ab

(a+b)(a-b)'

a2-ah

(a+b)(〃-Z?)

a(a-b)

(〃+/?)(〃-/?)

a

a+b

【点睛】本题考查了分式运算，解题的关键是掌握分式运算的基本步骤.

23.下面是小丽同学设计的“作30。角”的尺规作图过程.

已知：如图1,射线。4.

求作：ZAOB,使NA03=30。.

O-

图1

作法：如图2,

①在射线OA上任取一点C；

②分别以。，。为圆心，。。长为半径作弧，两弧在射线OA的上方交于点。，作射线OQ,并连接CQ；

③以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线04。。于点EF；

④分别以E,尸为圆心，以大于尸的同样长为半径作弧，两弧在/A。。内部交于点以

2

⑤作射线OB；

.../AOB就是所求的角.

D,

0CA

图2

根据小丽设计的尺规作图过程，解答下列问题：

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图2（保留作图痕迹）；

（2）补全下面证明过程：

证明：连接BE,BF.

,/OC=OD=CD,

△occ是等边三角形.

...ZCOD=

XVOE=OF,BE-BF,OB=OB,

AOEB^/XOFB（___）（填推理依据）.

/EOB=NFOB（____）（填推理依据）.

ZAOB=-ZCOD=30。.

2

/•NAOB就是所求的角.

【答案】（1）见解析；（2）60°,SSS,全等三角形对应角相等

【解析】

【分析】（1）根据题意，③以。为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线040。于点E,F；④分别以E,F为

圆心，以大于,七厂的同样长为半径作弧，两弧在/A0。内部交于点8；⑤作射线0&则NA0B就是所求的角.

2

（2）根据等边三角形的性质，三角形全等的性质与判定推理即可

【详解】（1）补全作图如下，

D

（2）证明：连接BE,BF.

'：OC=OD=CD,

△ocn是等边三角形.

/.ZC（9D=60o.

又,：OE=OF,BE-BF,OB=OB,

：.△OEB^/XOFBCSSS'）（填推理依据）.

...NEOB=/FOB（全等三角形对应角相等）（填推理依据）.

ZAOB=-ZCOD=30°.

2

.•.N4O8就是所求的角.

故答案为：60°,SSS,全等三角形对应角相等

【点睛】本题考查了基本作图-作角平分线，三角形全等的性质与判定，掌握基本作图是解题的关键.

24.列方程解应用题：

第24届冬奥会将于2022年2月在中国北京和张家口举行.为了迎接冬奥会，某公司接到制作12000件冬奥会纪念

品订单.为了尽快完成任务，该公司实际每天制作纪念品的件数是原计划每天制作纪念品件数的1.2倍，结果提

前10天完成任务，求原计划每天制作多少件冬奥会纪念品？

【答案】200件

【解析】

【分析】设原来每天制作x件，根据原来用的时间-现在用的时间=10,列出方程，求出x的值，再进行检验即

可.

【详解】解：设原计划每天制作x件冬奥会纪念品，则实际每天制作1.2%件冬奥会纪念品.

1200012000

根据题意，得:=10.

x\.2x

解得：x=200.

经检验，x=200是原方程的解，且符合题意.

答：原计划每天制作200件冬奥会纪念品.

【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程.

25.已知，如图，在△ABC中，ZC=90°,AO平分NBAC交8c于。，过。作。E〃AC交AB于E.

(1)求证：AE=DE-,

(2)如果4c=3,AD=26求AE的长.

【答案】(1)见解析；(2)2

【解析】

【分析】(1)利用平行线的性质和角平分线的性质得出即可；

(2)过点。作。FJ_AB于尸，求出。/=£>C=e，设AE=x,根据勾股定理列方程即可.

【详解】解：(1)"JDE//AC,

：.ZCAD=ZADE.

•.•4。平分/区4(?,

：.ZCAD=ZEAD.

：.ZEAD=ZADE.

：.AE=DE.

(2)过点。作。尸_LAB于F.

VZC=90°,AC=3,AD=26

二在RtAACC中，由勾股定理得AC2+DC2=AD2.

DC=B

♦.♦AD平分NBAC,

：.DF=DC=43.

又•..4£>=AD,ZC=ZAFD=90°,

:.RtADACmRtADAF.

.\AF=AC=3.

・・・R小DEF中，由勾股定理得EF2+DF2=DE2.

设AE=x,则EF=3-x,

.\(3-X)2+(>/3)2=X2,

/.x=2.

•\AE=2.

c

D

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和勾股定理，解题关键是利用角平分线和平行线证明等腰，设未知数，依据

勾股定理列方程.

26.阅读理解：

材料：小华在学习分式运算时，通过具体运算：」=111111

1x22'2^3~2~3'3^4-3-4

111

4^5-4-5

111

发现规律：=为正整数）并证明了此规律成立.

1111,1111111

应用规律，快速计算:...-1~―11―1―,■«―|—...—_14磊

1x22x33x49x1022334910

根据材料，回答问题:

在学习二次根式运算时，小华根据分式学习积累的活动经验，类比探究二次根式的运算规律，并解决问题.请将下

面的探究过程，补充完整.

（1）具体运算:

特例1：1++=1+-=1+1--，

FF1x22

特例2：Jl+5+?=l+1=1+」

2x323

1J11

+

一--

特例3：3X44

3242

特例4：—（填写一个符合上述运算特征的例子）.

,11

（2）发现规律：JI+F+T——r=一（〃为正整数），并证明此规律成立.

V〃一（n+1）

（3）应用规律：

①计算：+，1+»卜"4；

②如果品…+反泉+油尸=那么〃=

1+卜城1

【答案】（1）=i+_L=1+l.l(2)1+--(3)①而；②5

4x545n〃+1

【解析】

【分析】（1）根据前3个例题写出一个符合上述运算特征的例子即可;

111

(2)根据材料中的一厂二=-----二进行计算即可；

(3)结合(1)(2)的规律进行计算即可

【详解】解：(1)Jl+4+4=l+—=1+---(答案不唯一)；

V42524x545

]111

-7----\=[t---------；

⑵、T+n+1)2〃(〃+1)nk+1，

故答案为:1H--------r

n〃+1

、1111C1Y2

证明：v1+―+7---Q=l+---------7+-77\

n"(〃+1)\n〃+*+

-12

____1_+_2

=1+

n(n+l)+

2

n(n-l)

]

1+

n+l)2

nn[n-\)nn+1

故答案为：1+-----

n〃+1

⑶①卜*+*+卜*+*■*+系…+相+/

=(1+1——)+(1+，一一)+(1+———)+---+(1+----)+(1+------)

2233489910

111111111、

=n9+z(1------1----------1----------F•••H----------1----------),

2233489910

=(9+1)——

10

=10-—,

10

99

10

②Jl+(+5+J1+11

齐+记+•••+

'号+舟+卜舟+A4

贝U(14-1--)4-(1H-----)+(1H-----)4-•••+(1H----------)+(1H-------)==n--

22334n—2n-\n—\n5

tnZ11111111、1

\)22334n-1n5

11

/.n——=n——

n5

—5

【点睛】本题考查了分式的加减运算，完全平方公式的计算，二次根式的性质，掌握分式的性质，以及

111

—厂二=—1■是解题的关键.

〃x(〃+1)n77+1

27.已知，在AABC中，NBAC=30。，点。在射线8C上，连接AO,NCAE>=a，点。关于直线AC的对称点为

E,点E关于直线的对称点为F,直线EF分别交直线AC,A8于点M,N,连接4F,AE,CE.

(1)如图1,点。在线段BC上.

①根据题意补全图1:

@ZAEF=____(用含有a的代数式表示)，ZAMF=°；

③用等式表示线段M4,ME,MF之间数量关系，并证明.

(2)点。在线段8C的延长线上，且/C4OV60。，直接用