2022年重庆市渝中区高考数学押题试卷及答案解析

2022年重庆市渝中区高考数学押题试卷

本试卷满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的市（县、区）、学校、班级、姓名、考场号、座

位号和考生号填写在答题卡上。将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码

粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项

的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不

能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目

指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；

不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

3},则图中阴影部分所表示的集合为（)

A.{-2}B.{0,1,3}C.{0,2,3}D.{1,2,3}

2.复平面内表示复数z=弊的点位于（)

L—1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.若抛物线上一点（32）到其焦点的距离等于4,则"2=（）

1

A.8B.4C.2D.

2

4.已知角e的终边经过点P&,—坐），则角e可以为（）

57r2n117T5TT

A.一B.—C.D.

6363

5.已知p：|x+l|>2,q-.x>a,且「p是「q的充分不必要条件，则实数。的范围是（

A.[1,+8）B.（-8,1]C.[-3,+oo）D.（-8,-3]

6.河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、

云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上

层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图

案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列仅“},则10g2（。3加5）的值为（)

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A.16B.12C.10D.8

7.已知奇函数/(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(205),

c=g(3),则mb,c的大小关系为()

A.a<b<cB.b<a〈cC.c<b<aD.b<c<a

8.PQ为经过抛物线夕=2川焦点的任一弦，抛物线的准线为/,PM垂直于/于M,QN垂

直于/于MPQ绕/一周所得旋转面面积为S\,以MN为直径的球面积为S2,贝U()

A.Si>S2B.Si<S2C.S\^SiD.S1WS2

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，

有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.

9.经研究，变量y与变量x具有线性相关关系，数据统计如表，并且根据表中数据，求得

y关于x的线性回归方程为y=0.8x+a,下列正确的是()

X247101522

y8.19.41214.418.524

A.变量y与x呈正相关

B.样本点的中心为(10,14.4)

C.a=6.8

D.当x=16时，y的估计值为13

10.已知函数/'(%)=cos泵％-2)]-s配货%+2)],则()

A.函数/(X)的图像关于y轴对称

B.xG[2,4]时,函数/(x)的值域为[1,V2]

C.函数f(x)的图像关于点(5,0)中心对称

D.函数/(x)的最小正周期是8

11.已知曲线C;翠+y2=i,则()

A.曲线C关于原点对称

B.曲线C上任意点P满足|OP]21(。为坐标原点)

C.曲线C与7-4)2=0有且仅有两个公共点

D.曲线C上有无数个整点(整点指横纵坐标均为整数的点)

12.己知球。的半径为4,球心。在大小为60°的二面角a-/-0内，二面角a-/-0的

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两个半平面所在的平面分别截球面得两个圆。1，。2,若两圆。1，。2的公共弦AB的长

为4,E为的中点，四面体0A0102的体积为匕则正确的是（）

A.O,E,01，。2四点共圆B.0E=2V3

lV3

C.。1。2=百D.丫的最大值为三

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.二项式。-会/展开式的常数项是.

14.已知数列｛即｝是正项等比数列，函数y=7-5x+3的两个零点是“1，“5,则"3=.

Y_（1Y（J

'一'已知X1<X2，且/（XI）=/（X2），若及-加的最小值为

｛Inx,x>0/

e,则a的值为.

TT

T1-»T*Q-l-bo

16.已知向量出=（1,1）,b=（—,0）,a=a-（«*Z?）b（HGN）,则——+

nnn+12Znnn+1n+1

TTTT

。2.匕4a9bli

----+....+------=.

32102-------

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（10分）已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,h=3,sinA+«sinB=

2V3.

（1）求角A；

（2）若asin4+csinC=6sinB,求△ABC的面积.

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18.（12分）已知数列｛斯｝的前"项和为％,满足％=|（an-1）,〃€N*.

（1）求数列｛斯｝的通项公式；

（2）记瓦=an-s讥等，求数列｛d｝的前100项的和Tioo.

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19.(12分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AD〃8C,AZ)_LZ)C,PALAB,BC=CD=^AD,

71

E是边A。的中点，异面直线必与C£＞所成角为不

(1)在平面以B内找一点何，使得直线CM〃平面P8E,并说明理由；

7T

(2)若二面角P-CO-A的大小为二，求直线以与平面PCE所成角的正弦值.

6

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20.（12分）2019年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”.某路

桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了大年初三上

午9：20〜10：40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通

过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如图所示，其中时间段9：20〜

9：40记作区［20,40）,9：40~10：00记作［40,60）,10：00〜10：20记作［60,80）,

10：20-10：40记作［80,100）,例如10点04分，记作时刻64.

（1）估计这600辆车在9：20~10：40时间内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中

的数据用该组区间的中点值代表）:

（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这

10辆车随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9：20~10：00之间通过的车辆数为X,

求X的分布列与数学期望；

（3）由大数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻7服从正态分布N（4。2）,

其中U可用这600辆车在9：20〜10：40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，

。2可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知大年初

五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9：46~10：40之间通过的车辆数（结果保

留到整数）.

若T〜N3,。2）则o＜TWu+。）=0.6827,PR-2。＜TWp+2。）=0.9545,

P（厂3。＜片口+3。）=0.9973.

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21.(12分)已知函数/(x)=x—1.

(1)求函数/(x)的单调区间；

(2)设g(x)=f(x)-|siru,若存在两个不相等的实数a,0,当a,医(0,+~)

时,g(a)=g(p),求证：ap<m2.

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22.（12分）已知椭圆E：输+，=l（a>b>0）的左、右焦点分别为Q,尸2,离心率e=芋，

P为椭圆上一动点，△PQF2面积的最大值为2.

（1）求椭圆E的方程；

（2）若C,。分别是椭圆E长轴的左、右端点，动点M满足MD_LC£>,连结CM交椭

圆于点M。为坐标原点.证明：血•加为定值;

（3）平面内到两定点距离之比是常数入（入W1）的点的轨迹是圆.椭圆E的短轴上端点

为A,点。在圆/+）2=8上，求2|QA|+|QP|-|PE|的最小值.

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2022年重庆市渝中区高考数学押题试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.集合A={-2,0,1,2},B={-2,1,3）,则图中阴影部分所表示的集合为（）

A.{-2}B.{0,1,3}C.{0,2,3}D.{1,2,3）

解：•集合A={-2,0,1,2）,8={-2,1,3},

；.4UB={-2,0,1,2,3},AC8={-2,1},

图中阴影部分所表示的集合为：Qus（AAB）={0,2,3）,

故选：C.

2.复平面内表示复数z=弊的点位于（）

Z-I

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

解：z=弊==1^121=2+2i,它在复平面对应的点在第一象限.

Z—t优-I2）（铝/十I））D

故选：A.

3.若抛物线上一点（32）到其焦点的距离等于4,则"?=（）

1

84C2-

A.B.D.2

解：抛物线/=冲的焦点为（o,-）,准线方程为产一景

由抛物线上一点（32）到其焦点的距离等于4,

由抛物线的定义可得2+竿=4,

解得"7=8,

故选：A.

4.己知角e的终边经过点P8,-易，则角e可以为（）

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解：•.•角e的终边经过点p8,_1),

二。是第四象限角,且cosO=/，sinS=—整，

则0=等

故选：D.

5.已知p：|x+l|>2,<?：x>a,且「p是「4的充分不必要条件，则实数。的范围是()

A.[1,+8)B.(-°°,1]C.[-3,+°°)D.(-°°,-3]

解：p；|x+l|>2=x+l<-2或x+l>2=x<-3或x>l,

「p是「4的充分不必要条件O4是p的充分不必要条件，

可知(a,+8)些(-8,-3)U(1,+8),

c(6[l>+8).

故选：A.

6.河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、

云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上

层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图

案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列则1og2(。3加5)的值为()

A.16B.12C.10D.8

解：现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个

“浮雕像”，

这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，

从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列

则｛斯｝是以2为公比的等比数列，

:)=1016,127m=1016,

解得ai=8,

24

/.Iog2(。3・。5)=log2(8x2x8x2)=12.

故选：B.

7.已知奇函数/(x)在R上是增函数，g(x)=4(x).若。=g(-log25.1),b=g(2°$),

c=g(3),贝Ijmh,c的大小关系为()

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.b<c<a

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解：奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)=xf(x),

可得g(-x)=-xfC-x)=xf(x)=g(x),即g(x)为偶函数，

当x20时，g'(x)=/(x)+xf(x)与0,即有g(x)在［0,+8)单调递增.

因为a=g(-log25.1)=g(log25.1),

5

2<log25.1<3,l<2°-<2,

则l<2°5v2<log25.1V3,

可得g(2°,5)<g(log25.1)<g(3),即b<a〈c,

故选：B.

8.PQ为经过抛物线夕=2内焦点的任一弦，抛物线的准线为/,PM垂直于/于M,QN垂

直于/于N,P。绕/一周所得旋转面面积为S\,以MN为直径的球面积为S2,则()

A.Si>52B.5I<S2C.SI\S2D.S1WS2

解：设PQ与x轴夹角为仇令|PF|=m，\QF\^n,

则|PM=m，\QN\=n,

222

VSi=n(|PM+|QM)・|PQ|=n(m+n),S2=7r(m+n)sin0,

，Si》S2当且仅当。=90°时，等号成立.

故选：C.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，

有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.

9.经研究，变量y与变量x具有线性相关关系，数据统计如表，并且根据表中数据，求得

y关于x的线性回归方程为y=0.8x+a,下列正确的是()

X247101522

y8.19.41214.418.524

A.变量y与x呈正相关

B.样本点的中心为(10,14.4)

C.a=6.8

D.当x=16时，y的估计值为13

解：对于A,关于x的线性回归方程为y=0.8x+a,0.8>0,

•••变量y与x呈正相关，故A正确，

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11

对于B,元屋x(2+4+7+10+15+22)=10,:屋X(8.1+9.4+12+14.4+

18.5+24)=14.4,

故样本点的中心为(10,14.4),故8正确，

将样本的中心(10,14.4)代入y=0.8x+a可得，14.4=0.8X10+a,解得a=6.4,故C

错误，

将x=16代入回归方程可得，y=0.8x16+6.4=19.2,故£>错误.

故选:AB.

10.已知函数/'(X)=cos耳(尤-2)]-sin岑(x+2)],则()

A.函数/(x)的图像关于y轴对称

B.xG[2,4]时，函数/G)的值域为[1,V2]

C.函数/(x)的图像关于点(5,0)中心对称

D.函数f(x)的最小正周期是8

解:/(x)=cos琮(x—2)]-+2)]

7T兀TC冗7T71

不)

=cos(­4x—277)-sin(4r+2=sin4-x-co4s-x

=V2sin(-x—

4，

A：当x=0时，则f(0)=V2sin(-J)=-1W士夜,错误，

B：当x6[2,4],即—患[]，丁1时，sin(1x+Q[，，1]>.*./(x)G[1,V2],.,.B

正确，

C：当x=5时，则/(5)=鱼sinn=0,，C正确，

Q-TT..

。：•.♦7=卞~=8,.•.函数f(x)的最小正周期是8,二。正确，

4

故选：BCD.

11.已知曲线C；孥+V=1,则()

A.曲线C关于原点对称

B.曲线C上任意点P满足|OP|21(O为坐标原点)

C.曲线C与7-4f=0有且仅有两个公共点

D.曲线C上有无数个整点(整点指横纵坐标均为整数的点)

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解：选项A,（2,0）满足—+y2=l,故点（2,0）在曲线上，但（-2,0）不满

4

足泡+2=1,故点（-2,0）不在曲线上，故曲线C不关于原点对称，故A错误;

4

选项8,设P（x,y）在曲线上，故|OP|=y/x2+y2=Jx24-1-

当x?0时，|OP|=J/+1一9J竽+121,

当xVO时，|0P|=卜+1+竽=J孚+1>1,

故曲线C上任意点P满足|OP]21（。为坐标原点），故B正确；

选项C,联立4+'-,故小|+/=4,

（X2—4y2=0

x<0时，0=4,无解，

故曲线C与/-4y2=0且仅有两个公共点，故c正确；

选项D,当x20时、曲线C为丁+y?=1,

22

若为整点，则丁=1，y2—0或7=0，y2=

故有（2,0）,（0,1）,（0,-1）三个整点；

当x<0时，曲线C为一1+y2=i,

若为整点，贝k=2k,k&Z,y=iVlTF,

若y=±V1+Hez,则&=0,与xVO矛盾，

故曲线C上只有三个整点，故。不正确；

故选：BC.

12.已知球。的半径为4,球心。在大小为60°的二面角a-/-0内，二面角a-/-0的

两个半平面所在的平面分别截球面得两个圆01,02,若两圆。，02的公共弦A8的长

为4,E为AB的中点，四面体0Aoi。2的体积为V,则正确的是（）

A.O,E,0\,。2四点共圆B.OE=2V3

「V3

C.。1。2=遍D.V的最大值为三

解：因为公共弦A8在棱/上，连结OE,0\E,OiE,。。2，0A,

则0E=y/OA2-AE2=2百，故B正确；

因为二面角a-/-。的两个半平面分别截球面得两个圆。，02,。为球心，

所以004a,。。2，仇

第13页共23页

又OiEu平面a,O2EU平面p,

所以OO1_LO1E,OO21O2E,

故O,E,O\,O2四点共圆，故选项A正确；

因为E为弦AB的中点，

故01ELA8,OiELAB,故/0化。2即为二面角a-/-B的平面角,

所以/0止。2=60°,

故OiO2=OEsin60°=3,故选项C错误，

设。。1=4,002=di，

在△OO1O2中，由余弦定理可得，。1。12=9=42+422+力流23”展2,

所以did2W3,故S^00^2~

所以V=j*AE*SAOOQ—亨,

当且仅当力=心时取等号，故选项。正确.

故选：ABD.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.二项式。-会）6展开式的常数项是

解：由二项式（X-东）6展开式的通项公式为%1=北%6-（_东）r=（_A）r^X—

令12-3r=0,

解得r=4,

即二项式（％—义）6展开式的常数项是（-）公=会，

故答案为：号.

16

14.已知数列｛斯｝是正项等比数列，函数y=7-5x+3的两个零点是〃5,则〃3=—V3.

解：数列｛如｝是正项等比数列，函数y=7-5x+3的两个零点是m,不，

第14页共23页

••^32==3，

.•.。3=V3.

故答案为：V3.

支_QVVf）

'一'已知X1VX2，且f（X|）=f（X2）,若12-的最小值为

｛Inx,x>0,

e,则a的值为1-e.

解：令/（用）—f（X2）=t,由图象可知正（-8,-a\.

因为jqVx2，则制-〃=3bw2=t,

得制=，+〃，％2=e'，

所以-x\=el-t-a.

令g(r)=ef-t-a(W-Q),

则g1(r)=ef-1(K-a),

所以当时，g(力在(-8,-a］上单调递减，

所以g(r)min=g(p)=ea^a-ci=ea=e.

解得。=-1与。20矛盾，舍去；

当〃V0时，g(/)在(-8,0］上单调递减，在(0,-〃］上单调递增，

所以g(r)min=g(0)=e°-0-a=e,解得。=l-e〈O,符合题意.

综上可得a=\-e.

故答案为：I-e.

TT

一，一—TT1TT-»TT*„,CL\'bo

16.已知向量为=(L1),b=(—,0),a=a—(a9b)b(〃EN),则——+

nnn+12n/nn+1n+1

TTT_

口2,匕4Qg•匕27

..-+...+-----=---•

32102—220—

TTT—T113TTT—T

b

解：a2=a1-(ax-h2)b2=(1,D一^①，0)=Q,1),a3=a2-(a2•^3=

第15页共23页

弓3，1)一今1得1,0)=修2，1),

归纳出，Zn=(啸，1)，neN*,接下来用数学归纳法进行证明：

当n=时，的=满足题意；

1乙XJL,1)=(1,1)

Tj>4-1TTTT->

假设当〃=左时，a=(-^r-,1),则当几=-1时，ak+i=ak一®•bk+Jbk+i

k乙K

为+1i\r/k+14、/1c、i/1c、/k+2八/k+1+1"、.L

=(W1)-Kw1),(肝T。)](肝I，。)=(2(k+l”D=(2(k+l”D，故

n+1

斯=(登，1)，n€N*,

其中而•如+2=(石’1).(外‘°)=1/11)

、(n+l)2(n+1)22n(n+l)(n+2)4^n(n+l)(n+l)(n+2)

TTTTTT

口-心3,a-ba»bn111.11..1

所以——4--+24…+------^="(z-------------+-------------+…+--------—

22321024vlx22x32X33x49x10

1111_27

10X11)-4(2-110)~220

27

故答案为：—

220

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知锐角AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,b=3,sinA+asin8=

2V3.

(1)求角4

(2)若asirL4+csinC=6sin8,求△ABC的面积.

解：(1)•.,〃=3,sinA+«sinB=2A/3,且〃sin8=bsinA,

叵

/.sirh4+3sirL4=2V3,得sinA=丁，

〈A为锐角，

.71

..44=于

(2)VA=J,

又t7sin4+csinC=6sinB,结合正弦定理可得t72+c2=6fe=18,

1

由余弦定理可得，a1=h2+c2-2bc・cosA,即18-c2=9+c2-6c-=9+c2-3c,

2

/•2c2-3c-9=0,解得c=-5(舍去)，或c=3.

S^BC=^bc*sinA=,x3X3x^=

」「第16页共23页

18.(12分)已知数列｛斯｝的前"项和为S“，满足％=|(an—1),〃6N*.

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

(2)记瓦=an-sin等，求数列｛d｝的前100项的和Tioo.

解：(1)当〃22时，%=Sn-SnT=式。九一1)一式Qn_i-1),

整理得—=-2,

an-l

又=Si=可(％-1),得41=-2

则数列仅〃｝是以-2为首项，-2为公比的等比数列.

n

则0n=(-2),nCN*

(2)已知/7n=an-sin等，

当n=4k,髭N*时，b4k=(-2)4k・s仇竽=0,

当〃=4%-l,髭N*时，b4i=(-2产1•s讥(叱1"=24f

4/2

当n=4k-2,k€N*时，h4k_2=(一2产-2.sin(^-)^=。，

4k34k3

当n=4k-3,k€N*时，b4k_3=(-2)--sin的与迦=-2-,

则Aoo=瓦+匕2+匕3+…+瓦oo=—(2+2,+…+297)+(23+2’+…+2")

n?97?1?99

-2-22-2=?"97

-1-2+1-2-.

19.(12分)如图所示，在四棱锥P-ABCD中,A£»〃BC,AO_LDC,PAYAB,BC=CD=%。,

71

E是边AO的中点，异面直线也与CO所成角为y.

(1)在平面PAB内找一点M,使得直线CM〃平面PBE,并说明理由；

TC

(2)若二面角P-CC-A的大小为7求直线刑与平面PCE所成角的正弦值.

6

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解：(1)延长A8交直线CZ)于点M,•.•点E为A£>的中点，

BC=CD=^AD,ED=BC,

'：AD//BC,BPED//BC.二四边形BC£>E为平行四边形，即E8〃CO.

"：ABHCD=M,：.M&CD,J.CM//BE,

,：8Eu平面PBE,：.CM〃平面PBE,

'JMeAB,A8u平面以8,

平面处8,故在平面的8内可以找到一点M(M=A8nCO),使得直线CM〃平面

PBE.

(2)如图所示，：/A£>C=/B4B=90°,异面直线必与C。所成的角为90°,ABH

CD=M,

.•.”_1_平面488

J.CDLPD,PAYAD.

71

因此NPD4是二面角P-CD-A的平面角，大小为一，

6

：.PA=^-AD.

不妨设AD=6,贝ljBC=CD=%£>=3.：.P(0,0,2遮)，E(0,3,0),C(-3,6,

0),

：.EC=(-3,3,0),PE=(0,3,-2V3),AP=(0,0,2V3),

设平面P"的法向量为蔡=(x,y,z),则旧.■二°,可得：户匕―2fz=0

令z=®则y=2,x=2,：.n=(2,2,遮).

设直线PA与平面PCE所成角为0,

TT

,-tAP-n6J2

贝Usin0=|cos<AP,n>\=|—~~-1=—7=~/=-T==

|AP|.而273x74+4+3y/li11

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20.(12分)2019年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”.某路

桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了大年初三上

午9：20~10：40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通

过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如图所示，其中时间段9：20-

9：40记作区［20,40),9：40~10：00记作［40,60),10：00~10：20记作［60,80),

10：20—10；40记作［80,100),例如10点04分，记作时刻64.

(1)估计这600辆车在9：20〜10：40时间内通过该收费点的时刻的平均值(同一组中

的数据用该组区间的中点值代表)；

(2)为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这

10辆车随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9：20〜10：00之间通过的车辆数为X,

求X的分布列与数学期望；

(3)由大数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻T服从正态分布NR,。2),

其中N可用这600辆车在9：20~10：40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，

。2可用样本的方差近似代替(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)，已知大年初

五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9：46〜10：40之间通过的车辆数(结果保

留到整数).

若T〜N(p,o2)则P(|i-。＜TW|i+。)=0.6827,P(|i-2o＜TW［i+2。)=0.9545,

P(|i-3。＜TWR+3。)=0.9973.

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解：(1)这600辆车在9：20~10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为(30X

0.005+50X0.015+70X0.020+90X0.010)X20=64,即10：04

(2)结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在10：00前通过

的车辆数就是位于时间分组中在［20,60)这一区间内的车辆数，即(0.005+0.015)X20

X10=4,所以X的可能的取值为0,1,2,3,4.

所以P(X=0)=黑=吉，

cio

P(X=l)=^^=畀

cic,3

P(X=2)=^-^=y,

cic,4

P(X=3)=

P(X=4)==

所以x的分布列为:

X01234

P18341

1421735210

1QQA1Q

所以E(X)=0x诃+1x五+2x+3x毋+4x=耳.

(3)由(1)得p=64,

。2=(30-64)2x0.1+(50-64)2X0.3+(70-64)2X0.4+(90-64)2X0.2=324,

所以。=18,估计在9：46-10：40之间通过的车辆数也就是在［46,100)通过的车辆

数，

由T〜N(64,182),得P(64-18WTW64+2X18)=+

员匕写且皿=0.8186,

所以估计在在9：46~10：40之间通过的车辆数为1000X0.8186-819辆.

21.(12分)已知函数/(x)=x—y/nx+1.

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)设g(x)=f(x)-isiru,若存在两个不相等的实数a,0,当a,医(0,+~)

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时，g(a)=g(p),求证：ap<m2.

解：(1)函数/(x)的定义域是(0,+8),

_1m2x—m

(x)=l~2^=~2T~

当胆WO时，，(x)>0,f(x)在(0,+8)递增，无递减区间，

当机>0时，由/(x)>0,解得：x理