拓展07 全等三角形常考题型分类训练（12种类型60道）（解析版）

拓展07全等三角形常考题型分类训练（12种类型60道）【类型1添加条件】1．如图所示，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（

）

A．∠BCA=∠DCA B．∠BAC=∠DACC．CB=CD D．∠B=∠D=90°【答案】A【分析】本题要判定△ABC≌△ADC，已知AB=AD，AC是公共边，具备了两组边对应相等，故添加CB=CD、∠BAC=∠DAC、∠B=∠D=90°后可分别根据【详解】A、添加∠BCA=∠DCA时，不能判定△ABC≌△ADC，故A选项符合题意；B、添加∠BAC=∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC，故B选项不符合题意；C、添加CB=CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC，故C选项不符合题意；D、添加∠B=∠D=90°，根据HL，能判定△ABC≌△ADC，故D选项不符合题意；故选A．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理．判定三角形全等的方法有：SSS、2．如图，已知∠ABC=∠DCB，添加下列条件，不能使△ABC≌△DCB的是（

）

A．AC=DB B．AB=DC C．∠A=∠D D．∠1=∠2【答案】A【分析】全等三角形的判定方法有SAS，AAS，ASA根据定理逐个判断即可．【详解】已知在△ABC和△DCB中，∠ABC=∠DCB，BC=CB，A．∵AC=DB，由AC=DBBC=CB∠ABC=∠DCB，无法证得B．∵AB=DC，由AB=DC∠ABC=∠DCBBC=CB，可证得C．∵∠A=∠D，由∠A=∠D∠ABC=∠DCBBC=CB，可证得D．由∠1=∠2∠1=∠2BC=CB∠ABC=∠DCB，可证得故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，能正确根据全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键．3．如图，点B，F，E，D共线，∠B=∠D，BE=DF，添加一个条件，不能判定△ABF≌△CDE的是（

）

A．AF∥CE B．∠A=∠C C．AF=CE D．AB=CD【答案】C【分析】根据全等三角形的判定定理判断求解即可；【详解】解：∵BE=DF，∴BF+EF=DE+EF即BF=DE，A、∵AF∥CE，∴∠AFE=∠CEF，∴∠AFB=∠CED，又∠B=∠D,BF=DE，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABF≌△CDE，故本选项不符合题意；B、∠A=∠C,∠B=∠D,BF=DE，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABF≌△CDE，故本选项不符合题意；C、AF=CE,BF=DE,∠B=∠D，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABF≌△CDE，故本选项符合题意；D、AB=CD,∠B=∠D,BF=DE，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABF≌△CDE，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】此题考查了全等三角形的判定定理，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．4．如图，∠ABC=∠BAD，再添加哪一个条件，不能证明△ABC≌△BAD（

）

A．AC=BD B．∠C=∠D C．AD=BC D．∠ABD=∠BAC【答案】A【分析】利用∠ABC=∠BAD，加上AB=BA，则利用全等三角形的判定方法对各选项进行判断．【详解】解：A．边边角的情况，不能判定△ABC≌△BAD，故本选项符合题意；B．根据AAS，可判定△ABC≌△BAD，故本选项不符合题意；C．根据SAS，可判定△ABC≌△BAD，故本选项不符合题意；D．根据ASA，可判定△ABC≌△BAD，故本选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定是本题的关键．5．如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用HL判定Rt△ABD和Rt

A．AD=CB B．∠A=∠C C．BD=DB D．AB=CD【答案】A【分析】由图示可知BD为公共边，若想用HL判定证明Rt△ABD和Rt△CDB全等，必须添加【详解】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD=∠CDB=90°，A.AD=CB，符合两直角三角形全等的判定定理HL，故该选项符合题意；B.∠A=∠C，BD=DB，不是两直角三角形全等的判定定理HL，故该选项不符合题意；C.BD=DB，不符合两直角三角形全等的判定定理，故该选项不符合题意；D.AB=CD，BD=DB，不是两直角三角形全等的判定定理HL，故该选项不符合题意；故选：A．【点睛】此题考查了对全等三角形判定定理HL的理解和掌握，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．【类型2判断依据】6．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取AB的垂线BF上的点C，D，使BC=CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．HL【答案】C【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．【详解】∵AB⊥BF，DE⊥BF，∴∠ABC=∠EDC=90在△ABC和△EDC中，∠ABC=∠EDC=90∴△ABC≌△EDC(ASA故选：C．【点睛】此题考查了三角形全等的判定，解题的关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．7．用尺规作图，作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明∠A'OA．SAS B．ASA C．SSS D．AAS【答案】C【分析】根据作图得到OC=O'C'，【详解】解：根据作图可得，OC=O'C'，∴△OCD≌△O故选：C；【点睛】本题考查角平分线的做法，解题的关键是根据做法得到条件判断三角形全等得到对应角相等．8．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（

）

A．ASA B．AAS C．SAS D．SSS【答案】A【分析】根据图形可知两角及夹边是已知条件即可判断．【详解】解：由图可知，左下角和右下角可测量，为已知条件，两角的夹边也可测量，为已知条件，故可根据ASA得到与原图形全等的三角形，故选：A．【点睛】本题考查全等三角形的的判定定理，掌握全等三角形的的判定定理是关键．9．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，过角尺顶点C作射线OC，由此作法便可得△NOC≌△MOC，其依据是（

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【答案】A【分析】由作图过程可得MO=NO，NC=MC，再加上公共边CO=CO可利用SSS定理判定△MOC≌△NOC．【详解】解：∵在△ONC和△OMC中ON=OMCO=CO∴△NOC≌△MOCSSS∴∠BOC=∠AOC，故选：A．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．10．如图所示，为了测量出A，B两点之间的距离，连接BC，AC，然后在BC的延长线上确定D，使CD=BC，那么只要测量出AD的长度也就得到了A、B两点之间的距离，这样测量的依据是()

A．AAS B．SAS C．ASA D．SSS【答案】B【分析】根据SAS即可证明△ACB≌△ACD，由此即可解决问题．【详解】解：∵AC⊥BD，∴∠ACB=∠ACD=90°，在△ACB和△ACD中，AC=AC∠ACB=∠ACD∴△ACB≌△ACD(SAS∴AB=AD(全等三角形的对应边相等)．故选：B．【点睛】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．【类型3利用角平分线性质求面积】11．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为（）

A．30 B．14 C．15 D．21【答案】C【分析】作DE⊥AB于点E，如图，根据角平分线的性质可得DE=DC=3，再根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：作DE⊥AB于点E，如图所示：

∵AD是△ABC的一条角平分线，DE⊥AB，∠C=90°，∴DE=DC=3，∴△ABD的面积=1故选：C．【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，属于基本题型，熟练掌握角平分线的性质是关键．12．如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD=5，AB=20，则△AOB的面积是（）A．20 B．30 C．50 D．100【答案】C【分析】根据角平分线的性质求出OE，最后用三角形的面积公式即可解答．【详解】解：过O作OE⊥AB于点E，∵BO平分∠ABC，OD⊥BC，∴OE=OD=5，∴△AOB的面积=1故选：C．【点睛】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得到OE=OD=5．13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AP是角平分线，AC=6，PC=4，AB=10，△ABP的面积是（

A．15 B．32 C．40 D．20【答案】D【分析】过P作PD⊥AB于D，根据角平分线的性质得到PD=PC=4，即可求出点P到边AB的距离,再求出△ABP的面积即可．【详解】解：过P作PD⊥AB于D，

∵∠C=90°，∴PC⊥AC，∵AP是角平分线∴PD=PC=4，∴S△APB=故选：D．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解决问题的关键．14．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为20和8，则△EDF的面积为（

）A．8 B．6 C．7 D．5【答案】B【分析】过D点作DH⊥AC于H，如图，先根据角平分线的性质得到DF=DH，再证明Rt△ADF≌Rt△ADH得到S△ADF=S△ADH，证明Rt△EDF≌Rt【详解】解：过D点作DH⊥AC于H，如图，

∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF=DH，在Rt△ADF和RtAD=ADDF=DH∴Rt∴S在Rt△EDF和RtDE=DG∴Rt∴S∴S∵△ADG和△AED的面积分别为20和8，∴S∴S故选：B．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了直角三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．15．如图，在四边形ABCD中，DE⊥BO,BD平分∠ABC，AB=3,DE=4，则△ABD的面积是（

）

A．3 B．4 C．6 D．12【答案】C【分析】过点D作DF⊥AB交BA的延长线于点F，然后根据角平分线上的任意一点到角平分线两边的距离相等可得DE=DF=4，然后根据三角形面积计算公式进行计算即可．【详解】解：过点D作DF⊥AB交BA的延长线于点F，

∵BD平分∠ABC，DE⊥BO,DF⊥AB，∴DE=DF=4，∴S△ABD故选：C．【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟知角平分线上的任意一点到角平分线两边的距离相等是解本题的关键．【类型4数全等三角形对数】16．如图，若AB=AC,AD=AE，则全等三角形有（）A．一组 B．两组 C．三组 D．四组【答案】C【分析】由“SAS”可证△ABE≌△ACE，可得∠ABE=∠ACD，由“AAS”可证△BDO≌△CEO，△BDC≌△CEB即可求解．【详解】解：∵AB=AC，∴△ABE≌△ACD∴∠ABE=∠ACD，BE=CD∵AB=AC，∴BD=CE，且∠ABE=∠ACD，∠BOD=∠COE，∴△BDO≌△CEO∵BE=CD∴△BDC≌△CEB（∴全等的三角形共有3对，故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．17．如图，已知AB∥CD，AD∥BC，AC与BD交于点O，图中全等三角形有（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对【答案】D【分析】根据平行线的性质得出∠ADB=∠CBD，∠DAO=∠BCO，∠ABD=∠CDB，∠BAO=∠DCO，根据ASA即可推出△ADB≌△CBD，△ABC≌△CDA，根据全等三角形的性质得出AD=BC，AB=CD，根据ASA推出△AOD≌△COB，△AOB≌△COD即可．【详解】解：图中全等三角形有4对，是△ADB≌△CBD，△ABC≌△CDA，△AOD≌△COB，△AOB≌△COD，理由是：∵AB∥CD，AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∠DAO=∠BCO，∠ABD=∠CDB，∠BAO=∠DCO，在△ADB和△CBD中，∠ADB=∠CBDBD=DB∠ABD=∠CDB∴△ADB≌△CBDASA同理△ABC≌△CDA，∴AD=BC，AB=DC，在△AOD和△COB中，∠DAO=∠BCOAD=BC∠ADO=∠CBO∴△AOD≌△COBASA同理△AOB≌△COD．故选：D．【点睛】本题主要考查平行线的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能灵活运用全等三角形的判定和性质定理进行推理，是解题的关键．18．如图，AB＝CD，∠ABC＝∠DCB，在图中全等三角形有（）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对【答案】B【详解】结合图形证明△ABC≌△DCB(SAS)，△ABE≌△CDE(AAS)和△ABD≌△DCA(SAS)即得出答案．【解答】解：∵AB＝CD，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB(SAS)；∵△ABC≌△DCB，∴∠BAC＝∠CDB，∵AB＝CD，∠AEB＝∠DEC，∴△ABE≌△CDE(AAS)；∵∠BAC＝∠CDB，∠AEB＝∠DEC，∴∠ABD＝∠DCA，∵AB＝CD，BD＝AC，∴△ABD≌△DCA(SAS)；综上可知共有3对全等三角形．故选：B．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．掌握三角形全等的判定条件是解题关键．19．如图，已知AO平分∠DAE，AD=AE，AB=AC，图中全等三角形有（

）．A．1对 B．2对 C．3对 D．4对【答案】D【分析】根据题目中的条件和全等三角形的判定方法，可以写出图中的全等三角形，本题得以解决．【详解】解：∵AO平分∠DAE，∴∠1=∠2，在△AOD和△AOE中，AD=AE∠1=∠2∴△AOD≌△AOE（SAS），∴∠D=∠E，OD=OE；在△AOC和△AOB中，AC=AB∠1=∠2△AOC≌△AOB（SAS）；在△COD和△BOE中，∠D=∠EDO=EO∴△COD≌△BOE（ASA）；在△DAB和△EAC中，AD=AE∠DAB=∠EAC∴△DAB≌△EAC（SAS）；由上可得，图中全等三角形有4对，故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法，利用数形结合的思想解答．20．如图，AD平分∠BAC，AB=AC，连接BD、CD并延长，分别交AC、AB于点F、E，则图中的全等三角形有（

）对．A．2对 B．3对 C．4对 D．1对【答案】C【分析】认真观察图形，确定已知条件在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法，由易到难，仔细寻找．【详解】解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，在△ABD与△ACD中，AB＝∴△ABD≌△ACD（SAS），∴BD=CD，∠B=∠C，∠ADB=∠ADC，又∠EDB=∠FDC，∴∠ADE=∠ADF，∴△AED≌△AFD，△BDE≌△CDF，△ABF≌△ACE．∴△AED≌△AFD，△ABD≌△ACD，△BDE≌△CDF，△ABF≌△ACE，共4对．故选：C．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【类型5判断全等的条件】21．如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（

）

A．BD=DC，AB=AC B．∠ADB=∠ADC，BD=DCC．∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D．∠B=∠C，BD=DC【答案】D【分析】根据全等三角形的判定方法分别进行分析即可．【详解】解：A、BD=DC，AB=AC，再加上公共边AD=AD可利用SSS定理判定△ABD≌△ACD，故此选项不合题意；B、∠ADB=∠ADC，BD=DC再加上公共边AD=AD可利用SAS定理判定△ABD≌△ACD，故此选项不合题意；C、∠B=∠C，∠BAD=∠CAD再加上公共边AD=AD可利用AAS定理判定△ABD≌△ACD，故此选项不合题意；D、∠B=∠C，BD=DC再加上公共边AD=AD，没有SSA定理判定△ABD≌△ACD，故此选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．22．如图，下列条件能判定△MBC≌△DEF的一组是（）

A．AB=DE，AC=DF，C．∠A=∠D，∠B=∠E，【答案】D【分析】根据三角形全等的判定方法逐一分析即可得到答案．【详解】解：A、AB=DE，AC=DF，B、AC=DF，BC=EF，C、∠A=∠D，∠B=∠E，D、∠A=∠D，∠C=∠F，故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL、ASA，注意SSA、AAA不能判定两个三角形全等．23．下列条件中，不能判定△ABC与△DEF一定全等的是（

）

A．AB=DE，BC=EF，∠B=∠E=80°B．AB=DE，BC=EF，∠A=∠D=80°C．AB=DE，∠A=∠D=90°，∠B=∠E=40°D．BC=EF，∠A=∠D=80°，∠B=∠E=40°【答案】B【分析】解：根据三角形全等的判定方法一次判定即可．【详解】解：A、根据SAS可证明△ABC≌△DEF，故不符合题意；B、根据ASS不可证明△ABC≌△DEF，故符合题意；C、根据ASA可证明△ABC≌△DEF，故不符合题意；D、根据AAS可证明△ABC≌△DEF，故不符合题意．故选B．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握角形全等的判定方法是解题的关键．24．如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是（

）

A．AB=DC，AC=DB B．AB=DC，∠ABC=∠DCBC．AB=DC，∠ACB=∠DBC D．∠ACB=∠DBC，∠A=∠D【答案】C【分析】利用公共边BC和全等三角形的判定方法对各选项进行判断．【详解】解：A、AB=DC，AC=DB，BC=BC，根据SSS可判断△ABC≌△DCB，所以本选项不符合题意；B、AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB，根据SAS可判断△ABC≌△DCB，所以本选项不符合题意；C、AB=DC，∠ACB=∠DBC，BC=BC，无法判断△ABC≌△DCB，所以本选项符合题意；D、∠ACB=∠DBC，∠A=∠D，BC=CB，根据AAS可判断△ABC≌△DCB，所以本选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．25．如图，OB是∠AOC内的一条射线，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F都不与O点重合，连接ED、EF，添加下列条件，能判定△DOE≌A．∠DOE=∠EOF，∠ODE=∠OEF B．OD=OF，ED⊥OA，EF⊥OCC．DE=OF，∠ODE=∠OFE D．OD=OF，∠ODE=∠OFE【答案】B【分析】运用全等三角形的判定方法逐项判定即可．【详解】解：A.∠DOE=∠EOF，∠ODE=∠OEF不符合对应边、对应角相等，故不能证明△DOE≌△FOE，B.OD=OF，ED⊥OA，EF⊥OC，运用HL可证△DOE≌C.DE=OF，∠ODE=∠OFE不符合对应边、对应角相等，故不能证明△DOE≌D.OD=OF，∠ODE=∠OFE再加上隐含条件OE=OE,运用SSA不能证得△DOE≌△FOE故选B．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，知道SSA不能判定三角形全等是解答本题的关键．【类型6利用全等的性质求度数】26．已知图中的两个三角形全等，则∠α=°．

【答案】50【分析】根据全等三角形对应角相等可知∠α是a、c边的夹角，然后写出即可．【详解】解：∵两个三角形全等，∴∠α的度数是50°．故答案为：50．【点睛】本题考查了全等三角形对应角相等，根据对应边的夹角准确确定出对应角是解题的关键．27．如图，已知△ABC≌△CDB，∠ACB=10°，∠CDB=67°，则∠A等于°．

【答案】103°/103度【分析】由△ABC≌△CDB可知∠CDB=∠ABC=67°，再由三角形内角和计算即可．【详解】解：∵△ABC≌△CDB，∠CDB=67°，∴∠ABC=∠CDB=67°，∵∠ACB=10°，∴∠A=180°-67°-10°=103°，故答案为：103°【点睛】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是熟知全等三角形的对应角相等．28．已知：如图，D、E分别在AB、AC上，若AB=AC，AD=AE，∠A=60°，∠B=25°，则

【答案】85°/85度【分析】根据SAS证△ABE≌△ACD，推出∠C=∠B，求出∠C的度数，根据三角形的外角性质得出∠BDC=∠A+∠C，代入求出即可．【详解】解：在△ABE和△ACD中，AE=AD∴△ABE≌△ACDSAS∴∠C=∠B，∵∠B=25°，∴∠C=25°，∵∠A=60°，∴∠BDC=∠A+∠C=85°，故答案为：85°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．29．已知：如图，△OAD≌△OBC，且∠O=80°，∠C=25°，则∠AEB=

【答案】130【分析】由△OAD≌△OBC，∠O=80°，∠C=25°，可得∠OAD=∠OBC=180°-∠O-∠C=75°，则∠AEC=∠OAD-∠C=50°，根据【详解】解：∵△OAD≌△OBC，∠O=80°，∴∠OAD=∠OBC=180°-∠O-∠C=75°，∴∠AEC=∠OAD-∠C=50°，∴∠AEB=180°-∠AEC=130°，故答案为：130．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，邻补角．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．30．如图∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，则∠EAB=．

【答案】35°【分析】过点E作EF⊥AD，垂足为F．由三角形的内角和定理求得∠CDE=55°，由角平分线的定义可知∠CDA=110°，由平行线的判定定理可知AB∥CD，由平行线的性质可求得∠DAB=70°，由角平分线的性质可知EF=EC，则EF=BE，根据HL可证明Rt△AEF【详解】解：过点E作EF⊥AD，垂足为F．

∵∠C=90°，∴∠CDE=55°．∵DE平分∠ADC，∴∠EDF=55°．∴∠CDA=110°．∵∠B=∠C=90°，∴AB∥∴∠CDA+∠DAB=180°．∴∠DAB=70°．∵DE平分∠CDA，EF⊥AD，∴EF=EC．∵E是BC的中点，∴EF=BE．在Rt△AEF和RtEF=BEAE=AE∴Rt△AEF∴∠EAF=∠EAB．∴∠EAB=1故选答案为35°．【点睛】本题主要考查的是角平分线的性质、全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形的内角和定理等知识点，由角平分线的性质证得EF=EC是解题的关键．【类型7利用全等的性质求线段长】31．如图，已知BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，∠BAD+∠C=180°，BC=12cm，AB=6cm，那么AE的长度为

【答案】3【分析】证△BED≌△BFD得BE=BF，证△AED≌△CFD得CF=AE即可求解．【详解】解：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，∴DE=DF∵∠BED=∠BFD=90°,BD=BD，∴△BED≌△BFD∴BE=BF，∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠DAE=∠C，∵∠AED=∠CFD=90°,DE=DF，∴△AED≌△CFD，∴CF=AE，∵BC=BF+CF=BE+AE=AB+2AE=12cm，∴2AE=6∴AE=3故答案为：3【点睛】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质．熟记相关结论进行几何推导是解题关键．32．如图所示，AE=AD，∠B=∠C，BE=4，AD=5，则AC=．‍

【答案】9【分析】证明△ABD≌△ACE，利用全等三角形的对应边相等求解即可．【详解】解：在△ABD和△ACE中，∠A=∠A∠B=∠C∴△ABD≌△ACEAAS∴AB=AC，∵BE=4，AD=5，∴AB=BE+AE=BE+AD=9，∴AC=9，故答案为：9．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键．33．如图，在四边形ABCD中，E是边BC的中点，AE平分∠BAD，且∠AED＝90°，若CD＝2AB，四边形ABCD的周长为18，BC=5，则

【答案】13【分析】延长DE交AB于G，根据AE平分∠BAD，且∠AED＝90°，证明△AEG≌△AEDASA，得到AG=AD，EG=ED，再利用E是边BC的中点，证明△EGB≌△EDC【详解】解：延长DE交AB于G，如图

∵AE平分∠BAD，且∠AED＝∴∠GAE=∠DAE，∠AEG=∠AED在△AEG和△AED中，∠GAE=∠DAE∴△AEG≌△AED则AG=AD，EG=ED又∵E是边BC的中点，∴BE=CE在△EGB和△EDC中，BE=EC∴△EGB≌△EDC则BG=CD，CABCD则AB=故答案为：136【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定种类，解题的关键是作辅助线．34．如图，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于点E，∠B+∠D=180°，AD=4，AE【答案】8【分析】作CF⊥AD交AD的延长线于点F，由角平分线的性质可得CF=CE，根据AAS证明△FAC≌△EAC，则可得AF=AE，于是可求出DF的长，由∠FDC+∠ADC=180°，∠B+∠ADC=180°，可得∠FDC=【详解】解：作CF⊥AD交AD的延长线于点F，∵AC平分∠DAB，CE⊥AB于点E，∴∠FAC=∠EAC，CF=∵∠FDC+∠ADC=180°，∴∠FDC=在△FAC和△EAC中，∠FAC=∴△FAC≌∴AF=AE=6，∵AD=4，∴DF=AF-AD=6-4=2，在△CDF和△CBE中，∠FDC=∴△CDF≌∴DF=BE=2，∴AB=AE+BE=6+2=8，故答案为：8．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键．35．如图，△ABD≌△CDE，点B、C、D在同一直线上，若AB=8cm，DE=5

【答案】13cm【分析】由全等三角形的性质可得AB=CD,BD=DE，根据BC=BD+CD即可求解．【详解】解：∵△ABD∴AB=CD,BD=DE∵BC=BD+CD∴BC=DE+AB=13故答案为：13【点睛】本题考查全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等．熟记相关结论即可．【类型8网格中求度数】36．在如图所示的3×3正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于．

【答案】225°/225度【分析】根据图形和正方形的性质可知∠1+∠5=90°，∠2+∠4=90°，∠3=45°，再把它们相加可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的度数．【详解】解：观察图形可知∠1与∠5所在的三角形全等，二角互余，∠2与∠4所在的三角形全等，二角互余，∠3=45°，∴∠1+∠5=90°，∠2+∠4=90°，∠3=45°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=∠1+∠5故答案为：225°．【点睛】此题结合网格的特点考查了余角，注意本题中∠1+∠5=90°，∠2+∠4=90°，∠3=45°是解题的关键．37．如图，在3×3的正方形网格中标出了∠1和∠2，则∠1+∠2=度．【答案】135【分析】作辅助线，使△ADB为等腰直角三角形，根据全等三角形△DFB≌△BEC，可得到∠DBF=∠2，利用等角代换即可得解．【详解】解：如图，连接AD、BD，∠ADB=90°，AD=BD=BC，∠DAB=∠DBA=45°，由图可知，在△DFB和△BEC中，DF=BE∠DFB=∠BEC=90°∴△DFB≌△BECSAS∴∠DBF=∠2，∵∠DBA=45°，∴∠1+∠2=∠1+∠DBF=180°-45°=135°，故答案为：135．【点睛】本题考查了网格中求两角和，构造全等三角形，利用等角代换是解题关键．38．在如图所示的3×3正方形网格中，∠1+∠2+∠3=度．【答案】90【分析】证明△ABC≌△DEF，△DCG≌△CEB得出∠2+∠1=45°,根据网格的特点可知∠3=45°，即可求解．【详解】解：如图，在△ABC与△DEF中，AC=DF∠ACB=∠DFE∴△ABC≌△DEF，∴∠1=∠4，∵FD∥∴∠2=∠FDC，同理可得△DCG≌△CEB，∴EC=ED，∠2=∠BEC，∵∠BEC+∠ECB=90°，∴∠2+∠EBC=90°，∴∠ECD=90°，∴△ECD是等腰直角三角形，∴∠CDE=45°，即∠4+∠FDC=∠1+∠2=45°，根据网格的特点可知∠3=45°，∴∠1+∠2+∠3=90°，故答案为：90．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，根据网格的特点求得∠1+∠2=45°是解题的关键．39．如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为.【答案】45°/45度【分析】观察图形可知∠3与∠1所在的直角三角形全等，则∠1=∠3，根据外角的性质卡得∠4=∠2+∠3，即可求解．【详解】观察图形可知∠3与∠1所在的直角三角形全等，∴∠1=∠3，∵∠4=45°，∴∠1+∠2=∠3+∠2=∠4=45°，故答案为：45°．【点睛】本题考查了利用全等的性质求网格中的角度，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质，得出∠1=∠3是解题的关键．40．如图，在4×4的正方形网格中，求α+β=度．【答案】45【分析】连接AB，根据正方形网格的特征即可求解．【详解】解：如图所示，连接AB

∵图中是4×4的正方形网格∴AD=CE，∠ADB=∠AEC，DB=AE∴△ADB≌△CEA(SAS)∴∠EAC=∠ABD=α，AB=AC∵∠ABD+∠BAD=90°∴∠EAC+∠BAD=90°，即∠CAB=90°∴∠ACB=∠ABC=45°∵BD∴∠BCE=∠DBC=β∵∠ABC=∠ABD+∠DBC=α+β∴α+β=45°故答案为：45．【点睛】本题考查了正方形网格中求角的度数，利用了平行线的性质、同角的余角相等、等腰直角三角形的性质等知识点，解题的关键是能够掌握正方形网格的特征．【类型9全等三角形综合题】41．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H．下列结论中：①∠APB=135°；②AP=PF；③AH+BD=AB

【答案】①②③【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线定义判断①；根据全等三角形的判定和性质及三角形三边关系判断②③；根据全等三角形的性质及平行线间的距离相等及三角形面积公式判断④．【详解】解：在△ABC中，∵∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，又∵AD、BE分别平分∠BAC、∴∠BAD+∠ABE=1∴∠APB=135°，故①正确；∴∠BPD=45°，又∵PF⊥AD，∴∠FPB=90°+45°=135°，∴∠APB=∠FPB，又∵∠ABP=∠FBP，在△ABP和△FBP中，∠ABP=∠FBPBP=BP∴△ABP≌△FBP（ASA），∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，故②正确；在△APH和△FPD中，∵∠APH=∠FPD=90°，∠PAH=∠BAP=∠BFP，PA=PF，∴△APH≌△FPD，∴AH=FD，又∵AB=FB，∴AB=FD+BD=AH+BD．故③正确；连接HD，ED，

∵△APH≌△FPD，△ABP≌△FBP，∴S△APH=S△FPD，∵∠HPD=90°，∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD，∴HD∥∴S∵S四边形=S====2故④错误，∴正确的有①②③，故答案为：①②③．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，三角形内角和定理．掌握相关性质是解题的关键．42．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点O，过点O作OF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点G，下列结论：①∠BOD=45°；②AD=OE+OF；③若BD=3，AG=8，则AB=11；④S△ACD:S

【答案】①③④【分析】根据角平分线的定义、三角形外角的性质与直角三角形性质可以判断①是否正确；延长FO交AB于H，通过证明△AOH≌△AOG，△BOD≌△BOH，利用全等的性质来判断③是否正确；通过证明△BOA≌【详解】解：∵△ABC的角平分线AD、BE相交于点O，∴∠ABO=∠CBO=12∠ABC∠BOD=∠ABO+∠BAO=1故①正确；延长FO交AB于H，如图所示：

∴∠AOG=∠AOH=90°，又∵∠HAO=∠GAO，AO=AO，∴△AOH≌∴AG=AH，OG=OH，∴∠BOH=180°-∠BOD-∠DOF=45°，∴∠BOH=∠BOD=45°，∴△BOD≌∴BD=BH，OH=OD，∴AB=AH+BH=AG+BD，∵BD=3，AG=8，∴AB=11，故③正确；∵∠BOA=∠BOH+∠AOH=135°，∠BOF=∠BOD+∠DOF=135°，∴∠BOA=∠BOF，∴△BOA≌∴AO=OF，∵OH=OD，OG=OH，∴OD=OG，∴AD=AO+OD=OF+OG，又∵∠OGE=90°-∠F，∠BEC=90°-∠EBC，∴∠OGE≠∠BEC，∴OE≠OG，∴AD=OF+OG≠OF+OE，故②错误；∵同高的两个三角形面积之比等于底边长之比，∴S△ACD故④正确；因此正确的有：①③④．故答案为：①③④．【点睛】此题是直角三角形的综合题，主要考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、同高的两个三角形面积之比等于底边长之比等知识，熟练运用这些性质进行推理是解题的关键．43．如图，在△AOC和△BOD中，OA=OB，OC=OD，OA<OC，∠AOB=∠COD=36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．则在下列结论中：①∠AMB=36°，②AC=BD，③若OB平分∠AOM，则△OEC≌△OMD，④AO∥BD．正确的结论有（填序号）

【答案】①②③【分析】由题意易证△AOC≌△BODSAS，即得出∠A=∠B，AC=BD，故②正确；结合∠OEA=∠MEB，即可求出∠AMB=∠AOB=36°，故①正确；由角平分线的定义可知∠AOB=∠BOM，从而可证∠COD=∠BOM，进而可证∠MOD=∠EOC．即可利用“ASA”证明△OEC≌△OMD故③正确；过点O作OG⊥AC于点G，OH⊥BD于点H，易证△AOG≌△BOHAAS，即得出OG=OH，说明OM平分∠AMD，即∠AMO=∠DMO．假设AO∥BD成立，得出∠MAO=∠AMB=∠AOB=∠MBO=36°，从而可求出∠AMD=144°，进而可证OB平分∠AOM．因为不确定OB平分∠AOM，AO∥BD不一定成立，故【详解】解：∵∠AOB=∠COD=36°，∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD．在△AOC和△BOD中，AO=BO∠AOC=∠BOD∴△AOC≌△BODSAS∴∠A=∠B，AC=BD，故②正确；∵∠OEA=∠MEB，∴∠AMB=180°-∠B-∠MEB=180°-∠A-∠OEA=∠AOB=36°，故①正确；∵若OB平分∠AOM，∴∠AOB=∠BOM．∵∠AOB=∠COD=36°，∴∠COD=∠BOM，∴∠COD+∠COM=∠BOM+∠COM，即∠MOD=∠EOC．∵△AOC≌△BOD，∴∠D=∠C．又∵OD=OC，∴△OEC≌△OMDASA，故③如图，过点O作OG⊥AC于点G，OH⊥BD于点H，在△AOG和△BOH中，∠OGA=∠OHB=90°∠OAG=∠OBH∴△AOG≌△BOHAAS，∴OG=OH，∴OM平分∠AMD，即∠AMO=∠DMO．假设AO∥BD成立，∴∠MAO=∠AMB=∠AOB=∠MBO=36°，∴∠AMD=180°-∠AMB=144°，∴∠AMO=∠DMO=1∴∠AOM=180°-∠MAO-∠AMO=72°，∴∠EOM=∠AOM-∠AOB=36°，∴∠AOB=∠EOM，即OB平分∠AOM．∵不确定OB平分∠AOM，∴AO∥BD不一定成立，故④错误．故答案为：①②③．

【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，角平分线的定义与性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．44．如图，在△ABC中，∠A=60∘∠ABC>∠A，角平分线BD、CE交于点O，OF⊥AB于点F．下列结论；①S△BOC:S△BOE=BC:BE；②∠EOF=∠ABC-∠A；

【答案】①③④【分析】过点O作OG⊥BC于点G，由角平分线的性质定理可得OF=OG，然后结合三角形面积公式即可判断结论①；首先求得∠BOE=60°，假设∠ABC=80°，则∠OBA=40°，可求得∠EOF=10°，再根据∠ABC-∠A=20°，即可判断结论②；在BC上截取BM=BE，连接OM，分别证明△BOE≌△BOM和△COD≌△COM，由全等三角形的性质可得CD=CM，即可判断结论③；由全等三角形的定义和性质易得S△BOE=S△BOM，S△COD【详解】解：如下图，过点O作OG⊥BC于点G，

∵BD平分∠ABC，OF⊥AB，OG⊥BC，∴OF=OG，∴S△BOC故结论①正确；∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=120°，∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠OBA=∠OBC=1∴∠BOE=∠OBC+∠OCB=1设∠ABC=80°，则∠OBA=1∵OF⊥AB，∴∠BOF=90°-∠OBA=50°，∴∠EOF=∠BOE-∠BOF=60°-50°=10°，又∵∠ABC-∠A=80°-60°=20°，∴∠EOF≠∠ABC-∠A，故结论②错误；在BC上截取BM=BE，连接OM，

在△BOE和△BOM中，BE=BM∠OBE=∠OBM∴△BOE≌△BOM(SAS∴OE=OM，∠BOM=∠BOE=60°，∵∠COD=∠BOE=60°，∠COM=180°-∠BOE-∠BOM=60°，∴∠COD=∠COM，∴在△COD和△COM中，∠OCD=∠OCMOC=OC∴△COD≌△COM(ASA∴CD=CM，∴BE+CD=BM+CM=BC，故结论③正确；∵△BOE≌△BOM，△COD≌△COM，∴S△BOE=S∴S△BOE∴S四边形故结论④正确．综上所述，结论正确的为①③④．故答案为：①③④．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质等知识，综合性强，熟练掌握相关知识并熟练运用是解题关键．45．如图，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F，延长AD至点G，若GE平分∠DGC，CE平分∠DCH，则下列结论：①∠ABE=∠ACF；②∠GEB=45°；③EO=EC；④AE-CE=BF；⑤AG-CG=BC，其中正确的结论有（写序号）．【答案】①②③⑤【分析】根据三角形三条高交于一点可得CF⊥AB，即可利用三角形内角和定理证明∠ABE=∠ACF，则①正确；根据角平分线的定义和三角形内角和定理得到∴∠EGO=∠EGC=45°-12∠BCG，∠ECH=90°-12∠BCG，再由三角形外角的性质得到∠ECH=∠GEC+∠EGC，进而得到∠GEC=45°，则∠GEB=45°，则②正确；证明△EGO≌△EGC，得到EO=EC，则③正确；证明△AOE≌△BCEAAS，得到AE=BE，得到AE-EC=OB，再由OB>BF，得到AE-EC>BF【详解】解：∵AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F，∴CF⊥AB，∴∠ABE+∠BAC=90°，∠ACF+∠BAC=90°，∴∠ABE=∠ACF；故①正确．∵∠DGC=90°-∠BCG，∠BCH=180°-∠BCG，GE平分∠DGC，CE平分∠DCH，∴∠EGO=∠EGC=12∠DGC=∵∠ECH=∠GEC+∠EGC，∴∠GEC=∠ECH-∠EGC=90°-1∵BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴∠GEB=∠BEC-∠GEC=90°-45°=45°；故②正确．在△EGO和△EGC中，∠EGO=∠EGCEG=EG∴△EGO≌△EGCASA∴EO=EC；故③正确．∵∠ADC=∠BEC=90°，∴∠OAE+∠ACB=90°，∠CBE+∠ACB=90°，∴∠OAE=∠CBE，在△AOE和△BCE中，∠OAE=∠CBE∠AEO=∠BEC=90°∴△AOE≌△BCEAAS∴AE=BE，∵BE-EO=OB，∴AE-EC=OB，∵∠BFO=90°∴OB>BF，∴AE-EC>BF；故④错误．∵△EGO≌△EGC，∴OG=CG，∵△AOE≌△BCE，∴AO=BC，∵AG-OG=AO，∴AG-CG=BC；故⑤正确．综上所述，正确的结论有①②③⑤，故答案为：①②③⑤．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．【类型10尺规作图题】46．如图，在△ABC中．

(1)尺规作图：作∠BAC的平分线AD交BC于点D．（保留作图痕迹，不写作法）(2)若AB=8，AC=6，△ABD的面积为12，求△ABC的面积．【答案】(1)见解析(2)21【分析】（1）利用基本作图（作已知角的平分线）作AD平分∠BAC；（2）作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如图2，根据三角形面积公式得到12⋅DE⋅8=12，解得DE=3，再根据角平分线的性质得DE=DF=3，然后根据三角形面积公式计算【详解】（1）如图1，AD为所作；

（2）作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如图2，

∵AB=8，△ABD的面积为12∴∴DE=3又∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD平分∠BAC∴DE=DF=3∵AC=6∴S△ACD∴△ABC的面积=12+9=21【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平行线的性质和三角形面积公式．47．如图，

(1)在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等．（不写作法）(2)当直线MN∥OA，且∠AOB=50°，求【答案】(1)见详解(2)25°【分析】（1）作出∠AOB的角平分线，与MN相交于点P，根据角平分线的性质定理“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，即可获得答案；（2）首先根据角平分线的定义可得∠AOP=∠BOP=25°，然后根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”，即可获得答案．【详解】（1）解：如下图，点P即为所求；

（2）∵∠AOB=50°，AP为∠AOB的角平分线，∴∠AOP=∠BOP=1∵MN∥∴∠MPO=∠AOP=25°．【点睛】本题主要考查了尺规作图-作角平分线、角平分线的性质定理、平行线的性质等知识，正确作出∠AOB的角平分线是解题关键．48．如图，在直角△ABC中，∠C=90°，

(1)请用尺规作图法在AC边上求作一点Q，使得点Q到边AB,BC的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）(2)若CQ=1，AB=4，则△ABQ的面积是______（直接写出结果）．【答案】(1)见解析(2)2【分析】（1）要使点Q到AB的距离等于QH，点Q到BC的距离等于QC，只能是∠ABC的角平分线，按照角平分线的作图方法作出图形即可；（2）根据角平分线的性质可得QH=CQ=1，利用三角形面积公式即可求解．【详解】（1）解：作出∠ABC的角平分线和AC交于点Q，利用角平分线的性质，点Q到边AB,BC的距离相等，如图，点Q即为所求，且QC=QH．

（2）解：由作图可得，QH=CQ=1，∵BQ是∠ABC的角平分线，∴QH⊥AB，∴△ABQ的面积为12故答案为：2．【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理以及角平分线的画法是解决本题的关键．49．如图，已知△ABC，AD平分∠BAC．

(1)尺规作图，过点D作DE∥AB，DE交AC于点E（不写作法，只保留作图痕迹，写出结论）(2)∠DAC与∠ADE相等吗？请说明理由．【答案】(1)见解析(2)∠DAC=∠ADE，理由见解析【分析】（1）根据尺规作一个角等于已知角使∠B=∠EDC，即可得到DE∥AB；（2）首先根据角平分线的概念得到∠BAD=∠CAD，然后根据平行线的性质得到∠BAD=∠ADE，进而得到∠DAC=∠ADE．【详解】（1）如图所示，

∵∠B=∠EDC∴DE∥AB∴DE即为所求；（2）∠DAC=∠ADE，理由如下：∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD∵DE∥AB∴∠BAD=∠ADE∴∠DAC=∠ADE．【点睛】此题考查了尺规作一个角等于已知角，平行线的性质，角平分线的概念等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．50．如图，在△ABC中，∠A=36°,∠B=72°，D是边AB上的点．

(1)用尺规作图：过点D作DE∥BC，与边AC交于点(2)求∠AED的度数．【答案】(1)见解析(2)72°【分析】（1）作∠ADE=∠B交AC于E点；（2）先根据三角形内角和计算出∠B的度数，然后根据平行线的性质得到∠AED的度数．【详解】（1）解：∴DE∥∴∠ADE=∠B，所以作∠ADE=∠B交AC于E点，如图：

∴DE为所作；（2）解：∵∠A=36°，∴∠C=180°-∠A-∠B=72°，∵DE∥∴∠AED=∠C=72°．【点睛】本题考查了作图及行线的判定与性质，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图．【类型11基础证明题】51．如图，B，C，E，F在同一条直线上，AB∥DE，∠A=∠D，BE=CF．求证：AC=DF．

【答案】见解析【分析】首先利用平行线的性质得∠B=∠DEF，再利用AAS得出△ABC≌△DEF，根据全等三角形对应边相等得出AC=DF．【详解】证明：∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF．又∵BE=CF，∴BC=EF在△ABC和△DEF中，∠A=∠D∠B=∠DEF∴△ABC≌△DEF(AAS∴AC=DF．【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．52．已知：如图，点E、F在CD上，且∠A=∠B，AC∥BD，CF=DE．求证：AE=BF．

【答案】见详解【分析】证明△AEC≌△BFDAAS【详解】∵CF=DE，∴CE=DF，∵AC∥BD，∴∠C=∠D，∵∠A=∠B，∴△AEC≌△BFDAAS∴AE=BF．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握利用“AAS”证明三角形全等，是解答本题的关键．53．已知，如图，在△ABC中，点D为线段BC上一点，BD=AC，过点D作DE∥AC且∠DBE=∠A，求证：

【答案】见解析【分析】证出∠C=∠EDB，证明△EBD≌△BAC(ASA【详解】解：证明：∵DE∥∴∠C=∠EDB，在△EBD和△BAC中，∠DBE=∠ABD=AC∴△EBD≌△BAC(ASA∴DE=BC．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，证明△EBD≌△BAC(ASA54．已知：如图，AD，BC相交于点O，OC=OB，AB∥CD．求证：

【答案】见解析【分析】根据平行线的性质证明∠A=∠D，再证明△AOB≌△DOC，利用全等三角形的对应边相等即可证得结论．【详解】解：∵AB∥∴∠A=∠D，在△AOB和△DOC中，∠A=∠D∠AOB=∠DOC∴△AOB≌△DOCAAS∴AB=CD．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质，利用全等三角形的性质证明线段相等是解答的关键．55．如图，已知点D，E分别在AB，AC上，∠B=∠C，DC=BE，求证：△ABE≌△ACD．

【答案】见解析【分析】利用AAS直接证明三角形全等即可．【详解】解：在△ABE和△ACD中，∠B=∠C∠A=∠A∴△ABE≌△ACDAAS【点睛】本题考查全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．本题属于基础题型，注意把握公共角为对应角．【类型12含辅助线证明题】56．已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=BC．图1

图2

图3(1)如图1，若∠BAD=90°，AD=2，求CD的长度．(2)如图2，点P、Q分别在线段AD、DC上，满足PQ=AP+CQ，①求证：PB平分∠APQ．(3)如图3，若点Q运动到DC的延长线上，点P也运动到DA的延长线上时，仍然满足PQ=AP+CQ，请直接写出∠PBQ与∠ADC的数量关系．【答案】(1)2(2)①见解析；②见解析(3)∠PBQ=90°+【分析】（1）先证明∠BCD=90°，再证明Rt△BAD≌Rt△BCD（2）①延长QC到K，使得CK=AP，连接BK，证明∠BAP=∠BCK，推出△BAP≌△BCKSAS，得到BP=BK,AP=CK，∠APB=∠K，证明PQ=KQ，推出△BQP≌△BQKSSS，得到∠K=∠BPQ，从而得到∠APB=∠BPQ，即可得证；②由①得△BAP≌△BCKSAS，△BQP≌△BQKSSS，得到∠1=∠2，∠PBQ=∠KBQ，证明（3）在CD延长线上找一点K，使得KC=AP，连接BK，证明△BAP≌△BCKSAS，得到∠ABP=∠CBK，BP=BK，证明△BQP≌△BQKSSS，得到∠PBQ=∠KBQ，再由角之间的关系得出【详解】（1）解：∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，∠BAD=90°，∴∠ABD+∠ADB=90°，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC=∠ABD+∠CBD，∠ADC=∠ADB+∠CDB，∴∠CBD+∠CDB=90°，∵∠BCD+∠CBD+∠CDB=180°，∴∠BCD=90°，在Rt△BAD和RtAB=CBBD=BD∴Rt∴CD=AD=2；（2）证明：①如图，延长QC到K，使得CK=AP，连接BK，

，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠DAB+∠BCD=180°，∵∠BCD+∠BCK=180°，∴∠BAP=∠BCK，在△BAP和△BCK中，AB=CB∠BAP=∠BCK∴△BAP≌△BCKSAS∴BP=BK,AP=CK，∠APB=∠K，∵PQ=AP+CQ，QK=CQ+CK，CK=AP，∴PQ=KQ，在△BQP和△BQK中，BP=BKBQ=BQ∴△BQP≌△BQKSSS∴∠K=∠BPQ，∴∠APB=∠BPQ，∴BP平分∠APQ；②由①得△BAP≌△BCKSAS，△BQP≌△BQK∴∠1=∠2，∠PBQ=∠KBQ，∵∠ABC=∠1+∠PBQ+∠CBQ=∠2+∠CBQ+∠PBQ=∠KBQ+∠PBQ=2∠PBQ，∠ABC+∠ADC=180°，∴2∠PBQ+∠ADC=180°，∴∠PBQ=90°-1（3）解：如图，在CD延长线上找一点K，使得KC=AP，连接BK，

，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠DAB+∠BCD=180°，∵∠BAD+∠PAB=180°，∴∠PAB=∠BCK，在△BAP和△BCK中，BA=BC∠BAP=∠BCK∴△BAP≌△BCKSAS∴∠ABP=∠CBK，BP=BK，∵PQ=CQ+AP，KQ=CQ+CK，CK=AP，∴PQ=KQ，在△BQP和△BQK中，BP=BKBQ=BQ∴△BQP≌△BQKSSS∴∠PBQ=∠KBQ，∵∠ADC+∠ABC=180°，∠QBC+∠ABC=180°，∴∠QBC=∠ADC，∵∠QBC+∠CBK=∠QBK=∠PBQ，∠ABP=∠CBK，∴∠PBQ=∠ADC+∠ABP，∵∠PBQ+∠ABP=180°，∴∠PBQ=180°-∠PBQ+∠ADC，∴∠PBQ=90°+1【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质，添加适当的辅助线是解此题的关键．57．如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB=100°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH=50°．

(1)求证：AE平分∠CAF；(2)直接写出∠AEB的度数______；(3)若AC+CD=14，AB=8.5，且S△ACD=21，求【答案】(1)见解析(2)50°(3)51【分析】（1）过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，根据角平分线的性质可证得EM=EN，进而可证明结论；（2）设∠ABE=x，分别表示出∠BAC=80°-2x，∠CAE=x+50°，求出∠BAE=130°-x，再利用三角形内角和定理计算；（3）利用三角形的面积公式可求得EM的长，再利用三角形的面积公式计算可求解．【详解】（1）解：∵∠ACB=100°，∴∠ACD=180°-100°=80°，∵EH⊥BD，∴∠CHE=90°，∵∠CEH=50°，∴∠ECH=90°-50°=40°，∴∠ACE=80°-40°=40°；过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，

∵BE平分∠ABC，∴EM=EH，∵∠ACE=∠ECH=40°，∴CE平分∠ACD，∴EN=EH，∴EM=EN，∴AE平分∠CAF；（2）设∠ABE=x，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABE=2x，∵∠ACH=∠ACE+∠ECD=80°，∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=80°-2x，∵∠CAF=∠ABC+∠ACB=2x+100°，AE平分∠CAF，∴∠CAE=1∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=80°-2x+x+50°=130°-x，∴∠AEB=180°-∠BAE-∠ABE=180°-130°-x故答案为：50°；（3）∵AC+CD=14，S△ACD=21，∴S即12解得EM=3，∵AB=8.5，∴S【点睛】本题主要考查角平分线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的面积，掌握角平分线的判定与性质是解题的关键．58．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为AB边上一点，过点D作DE⊥AB，交BC于点E，连接AE，取AE的中点P，连接DP，CP

(1)观察猜想：如图（1），DP与CP之间的数量关系是_______，DP与CP之间的位置关系