新教材适用2023-2024学年高中数学第2章一元二次函数方程和不等式2.2基本不等式第1课时基本不等式学案新人教A版必修第一册

2．2基本不等式第1课时基本不等式学习目标1．了解基本不等式的证明过程．2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小．核心素养1．通过不等式的证明，培养逻辑推理素养．2．借助基本不等式形式求简单的最值问题，提升数学运算素养.知识点1重要不等式与基本不等式提醒：基本不等式的常见变形(1)a＋b≥2eq\r(ab)；(2)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2≤eq\f(a2＋b2,2)(其中a>0，b>0，当且仅当a＝b时等号成立)．想一想：(1)不等式a2＋b2≥2ab与不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)成立的条件一样吗？(2)基本不等式中的a，b只能是具体的某个数吗？提示：(1)不一样，前者为a＝b，后者为a＝b>0.(2)a，b既可以是具体的某个数，也可以是代数式．练一练：判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”．(1)6和8的几何平均数为2eq\r(3).(×)提示：6和8的几何平均数为4eq\r(3).(2)a2＋1≥2a中等号成立的条件是a＝1.(√)提示：a2＋1≥2a等价于(a－1)2≥0，等号成立的条件是a＝1.(3)若a≠0，则a＋eq\f(1,a)≥2eq\r(a·\f(1,a))＝2.(×)提示：当a＜0时，a＋eq\f(1,a)是负数．(4)若a≠0，则(－a)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)))≤－2eq\r((－a)·\f(1,(－a)))＝－2.(×)提示：当a＜0时，(－a)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)))是正数．知识点2基本不等式与最值已知x，y都为正数，则(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值eq\f(s2,4)_.(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2eq\r(p)_.提醒：利用基本不等式求最值时要牢记“一正、二定、三相等”(1)一正：各项必须为正；(2)二定：各项之和或各项之积为定值；(3)三相等：必须验证取等号时条件是否具备．练一练：1．若x＞0，则y＝eq\f(4,x)＋x的最小值为_4_.[解析]∵x＞0，eq\f(4,x)＞0，∴y＝x＋eq\f(4,x)≥2eq\r(x·\f(4,x))＝4，当且仅当x＝eq\f(4,x)，即x＝2时，等号成立，故ymin＝4.2．已知0<x<1，则x(1－x)的最大值为eq\f(1,4)_，此时x＝eq\f(1,2)_.[解析]因为0<x<1，所以1－x>0，所以x(1－x)≤eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x＋(1－x),2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(1,4)，当且仅当x＝1－x，即x＝eq\f(1,2)时“＝”成立，即当x＝eq\f(1,2)时，x(1－x)取得最大值eq\f(1,4).题型探究题型一利用基本不等式判断命题真假典例1(1)设0<a<b，则下列不等式中正确的是(B)A．a<b<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2) B．a<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)<bC．a<eq\r(ab)<b<eq\f(a＋b,2) D．eq\r(ab)<a<eq\f(a＋b,2)<b(2)下列不等式一定成立的是(C)A．eq\r(x2＋\f(1,4))>eq\r(x)(x>0)B．x＋eq\f(1,x)≥2(x≠0)C．x2＋1≥2|x|(x∈R)D．eq\f(1,x2＋1)>1(x∈R)[解析](1)法一：因为0<a<b，所以0<eq\r(a)<eq\r(b)，所以a<eq\r(ab).同样由0<a<b得eq\f(a,2)<eq\f(b,2)，所以eq\f(a＋b,2)<b.由基本不等式可得，eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2).综上，a<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)<b.法二：因为0＜a＜b，所以a＜eq\f(a＋b,2)＜b，排除A，C两项．又eq\r(ab)－a＝eq\r(a)(eq\r(b)－eq\r(a))＞0，即eq\r(ab)＞a，排除D项．法三：取a＝2，b＝8，则eq\r(ab)＝4，eq\f(a＋b,2)＝5，所以a＜eq\r(ab)＜eq\f(a＋b,2)＜b.(2)选项A中，x2＋eq\f(1,4)≥xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当且仅当x＝\f(1,2)时，x2＋\f(1,4)＝x))，故选项A不正确；选项B中，x＋eq\f(1,x)≥2(x>0)，x＋eq\f(1,x)≤－2(x<0)，故选项B不正确；选项C中，x2－2|x|＋1＝(|x|－1)2≥0(x∈R)，故选项C正确；选项D中，x2＋1≥1，则0<eq\f(1,x2＋1)≤1，故选项D不正确．[归纳提升]利用基本不等式判断命题真假的步骤第一步：检查是否满足应用基本不等式的条件；第二步：应用基本不等式；第三步：检验等号是否成立．对点练习❶下列不等式中正确的是(A)A．当x＞0时，eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x))≥2B．当x≥2时，x＋eq\f(1,x)的最小值为2C．eq\r(ab)≥eq\f(a＋b,2)D．a2＋b2≥4ab[解析]对于选项A，符合基本不等式的三个条件“一正，二定，三相等”；对于选项B，忽视了验证等号成立的条件，即x＝eq\f(1,x)，则x＝±1，均不满足x≥2；对于C，当a＞0，b＞0时，eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，当且仅当a＝b时取等号，故C错误；对于D，由基本不等式得a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取等号，故D错误．故选A．题型二利用基本不等式求最值典例2(1)当x>0时，求eq\f(12,x)＋4x的最小值；(2)当x<0时，求eq\f(12,x)＋4x的最大值；(3)设0＜x＜eq\f(3,2)，求函数y＝4x(3－2x)的最大值．[解析](1)∵x>0，∴eq\f(12,x)>0,4x>0.∴eq\f(12,x)＋4x≥2eq\r(\f(12,x)·4x)＝8eq\r(3).当且仅当eq\f(12,x)＝4x，即x＝eq\r(3)时取最小值8eq\r(3)，∴当x>0时，eq\f(12,x)＋4x的最小值为8eq\r(3).(2)∵x<0，∴－x>0.则eq\f(12,－x)＋(－4x)≥2eq\r(\f(12,－x)·(－4x))＝8eq\r(3)，当且仅当eq\f(12,－x)＝－4x时，即x＝－eq\r(3)时取等号．∴eq\f(12,x)＋4x≤－8eq\r(3).∴当x<0时，eq\f(12,x)＋4x的最大值为－8eq\r(3).(3)∵0＜x＜eq\f(3,2)，∴3－2x＞0，∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2x＋(3－2x),2)))2＝eq\f(9,2).当且仅当2x＝3－2x，即x＝eq\f(3,4)时取“＝”．∴y的最大值为eq\f(9,2).[归纳提升]在利用基本不等式求最值时要注意三点一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备．对点练习❷(1)若0＜x＜1，则eq\r(x(3－2x))的最大值为eq\f(3\r(2),4)_.(2)x＋2＋eq\f(16,x＋2)(x＞－2)取最小值时，x的值为2_.[解析](1)由0＜x＜1知3－2x＞0，故eq\r(x(3－2x))＝eq\f(1,\r(2))·eq\r(2x(3－2x))≤eq\f(1,\r(2))·eq\f(2x＋(3－2x),2)＝eq\f(3\r(2),4)，当且仅当x＝eq\f(3,4)时，等号成立．所以eq\r(x(3－2x))的最大值为eq\f(3\r(2),4).(2)因为x＞－2，所以x＋2＞0，(x＋2)＋eq\f(16,x＋2)≥2eq\r((x＋2)·\f(16,x＋2))＝8，当且仅当x＋2＝eq\f(16,x＋2)，即x＝2时取等号．题型三利用基本不等式证明不等式典例3已知a，b，c>0，求证：eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥a＋b＋c.[解析]∵a，b，c>0，∴利用基本不等式可得eq\f(a2,b)＋b≥2a，eq\f(b2,c)＋c≥2b，eq\f(c2,a)＋a≥2c，∴eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)＋a＋b＋c≥2a＋2b＋2c，故eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．[归纳提升]利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．(2)注意事项：①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．对点练习❸已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，证明：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥9.[证明]eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\f(a＋b＋c,a)＋eq\f(a＋b＋c,b)＋eq\f(a＋b＋c,c)＝3＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,b)＋\f(b,c)))≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c＝eq\f(1,3)时，等号成立．1．设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是(C)A．a－b<0 B．0<eq\f(a,b)<1C．eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2) D．ab>a＋b[解析]由基本不等式知eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，∵a>b>0，∴eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)，故选C．2．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式恒成立的是(D)A．a＋b≥2eq\r(ab) B．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥eq\f(2,\r(ab))C．eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≤2 D．a2＋b2≥2ab[解析]由于ab>0，可知a与b同号，显然当a<0，b<0时，选项A，B中的不等式不成立，所以选项A，B错误；由ab>0，得eq\f(b,a)>0，eq\f(a,b)>0，所以eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2，选项C错误；显然，∀a，b∈R，a2＋b2≥2ab，选项D正确．故选D.3．比较大小