立体几何核心考点归纳讲义（一）-2024届高三数学一轮复习

届立体几何核心考点（一）立体图形的展开立体图形的展开是指将空间图形沿某一条棱长展开为平面图形，研究其面积或者距离的最小值，把几何体中的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点距离.1.如图所示，正四面体中，是棱的中点，是棱上的一动点，的最小值为，求该正四面体的外接球表面积.2．如图：正三棱锥中，，侧棱，平行于过点的截面，则平面与正三棱锥侧面交线的周长的最小值为（）A． B． C． D．分析：如图所示：沿着侧棱把正三棱锥展开在一个平面内，则即为截面周长的最小值，且，在中，由余弦定理得：，.故选：B.3.如图,已知圆柱体底面圆的半径为,高为2,分别是两底面的直径,是母线．若一只小虫从A点出发,从侧面爬行到点,求小虫爬行的最短路线的长度．分析：如图,将圆柱的侧面展开,其中为底面周长的一半,即,.则小虫爬行的最短路线为线段.在矩形中,.所以小虫爬行的最短路线长度为.【点评】几何体表面上的最短距离需要将几何体的表面展开,将其转化为平面内的最短距离,利用平面内两点之间的距离最短求解.但要注意棱柱的侧面展开图可能有多种展开图,如长方体的表面展开图等,要把不同展开图中的最短距离进行比较,找出其中的最小值.二．平面图形的折叠4.如图，在中，，在边上取一点（不含），将沿线段折起，得到，当平面垂直于平面时，则到平面距离的最大值为_______.5．如图所示，是等腰直角三角形，，在中，且．将沿边翻折，设点在平面上的射影为点，若，那么（）A．平面平面 B．平面平面C． D．分析：翻折后图形如下：因为，是等腰直角三角形且，所以点M是BC边上的中点，因为点在平面上的射影为点，所以平面，又因为平面，所以，又因为，所以，又，AM，平面，所以平面，又平面，所以.故选：C.6．如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正方形的中心为，、、、为圆上点，，，，分别是以，，，为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以，，，为折痕折起，，，，使得、、、重合，得到四棱锥.当该四棱锥体积取得最大值时，正方形的边长为______.解：连接交CB于点M，则⊥CB，点M为CB的中点，连接OC，

△OCM为直角三角形，设正方形的边长为2x，则OM＝x，由圆的半径为4，则＝4−x，设点，，，重合于点P，则PM＝＝4−x＞x则x＜2，高，四棱锥体积，

设，当时，单调递增；当时，单调递减，所以当时，V取得最大值，此时，．即正方形ABCD的边长为时，四棱锥体积取得最大值．故答案为：练习题1．如图，在正三棱锥P-ABC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=30°，PA=PB=PC=2，一只虫子从A点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的最短距离是（）A． B． C． D．【答案】D2．如图，空间四边形中，平面，为1的等边三角形，，，为棱AC上的一个动点，则的最小值为_____________【答案】3.如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________.4．在三棱锥中，，在底面上的投影为的中点，.有下列结论：①三棱锥的三条侧棱长均相等；②的取值范围是；③若三棱锥的四个