工程力学2材力部分课件week 0601

1§9-4欧拉公式的应用范围·

临界应力总图欧拉临界应力λ称为柔度，无量纲。1.欧拉公式的应用范围22)柔度越大，1)柔度λ中包含了除材料之外压杆的所有信息，是压杆本身的一个力学性能指标；压杆越细柔，临界应力σcr越低，性越差。稳定3λP仅与材料有关。可以使用欧拉公式计算压杆的临界力的条件是：对于Q235钢λP

100。越是细柔的压杆，柔度λ越大，公式计算压杆的临界力。越可以使用欧拉4σs折减弹性模量公式

σcr

O

λσpλp

欧拉公式

2）当σcr>σP时，σ-ε曲线呈非线性，E降低，σcr比欧拉公式的计算结果为低。2.压杆的临界应力总图1）当λcr≥λP时，可用欧拉公式计算σcr;5解：1）求BC杆的轴力以AB梁为分离体，对A点取矩，有：例：托架的撑杆为钢管，外径D=50mm，内径d=40mm，两端球形铰支，材料为Q235钢，E=206GPa。试根据该杆的稳定性要求，确定横梁上均布载荷集度1m

2m

30

°

Ⅰ

Ⅰ

Ⅰ-

Ⅰ

截面

A

B

C

q

q之许可值。62）求BC杆的临界力=16mm×2/cos30°16×103=144.3=707mm2。=181132mm4。7因为λ>λP=100（前面已求得），故可用欧拉公式计算BC杆的临界力。×181132(1.0×2/cos30°×103)21m

2m

30

°

Ⅰ

Ⅰ

A

B

C

q

=69kN≤Fcr

=69kN得：q=15.3kN/m8§9-5实际压杆的稳定因数1.影响实际压杆稳定性的因素初曲率压力偏心残余应力2.稳定许用应力与柔度λ有关。

称为稳定因数，对于Q235，可查表获得；对于木材，可查本章公式9-11、9-12获得。9例：图示长3m、两端球铰支承的中心受压直杆，由两根110mm×70mm×7mm角钢通过缀条及缀板联成整体，并符合钢结构设计规范中的实腹式b类截面中心受压杆的要求。已知该杆材料为Q235钢，其强度许用应力为[σ]=170Mpa。试求压杆的稳定许用应力。解：（1）计算组合截面惯性矩。10

(2)确定压杆柔度值。

由于Iz>Iy，说明压杆弱轴为y，强轴为z，应以与y轴对应的惯性半径来计算柔度值。(3)

计算稳定许可应力。由λ＝97，查表9-3得11计算压杆稳定性时应注意的问题：1）压杆在不同平面内失稳时约束的不同使μ值不同；3）注意压杆在不同平面内失稳时计算长度l的不同。2）压杆在不同平面内失稳时中性轴的不同，计算过程中应选用不同的惯性矩使I和i不同；12作业：习题9-9；练习：习题9-7。13§9-6压杆的稳定计算·压杆的合理截面通常改写为:NOTE:

当压杆横截面有局部削弱时，因压杆的临界力是根据整杆失稳来确定的，故在稳定计算中不必考虑局部截面削弱的影响，以毛面积进行计算。但强度计算要以净面积进行计算。压杆的稳定条件：

F为压杆所受轴向压力；为压杆稳定因数；

A为压杆的横截面面积。

[σ]为压杆材料的许用压应力。14

稳定计算中，若已知压杆的材料、杆长和杆端的约束条件，而需选择截面尺寸时，由于稳定因数（或柔度λ）受截面形状和大小的影响，通常采用试算法。例：一强度等级为TC13的圆松木，长6m，中径为300mm，其强度许用应力为10Mpa。现将圆木用来当作起重用的扒杆（见图），试计算圆木所能承受到的许可压力值。解：（1）设在图示平面内失稳15由公式（9-12a）得（2）设在垂直于纸面的平面内失稳许可压力为公式（9-12b）所以，许可压力为77kN。16解：（1）按稳定条件选择槽钢号码例：厂房的钢柱长7m，上、下两端分别与基础和梁连接。由于与梁连接的一端可发生侧移，因此，根据柱顶和柱脚的连结刚度，钢柱的长度因数取为μ＝1.3。钢柱由两根Q235钢的槽钢组成，符合钢结构设计规范中的实腹式b类截面中心受压杆的要求。在柱脚和柱顶处用螺栓借助于连结板与基础和梁连接，同一横截面上最多有四个直径为30mm的螺栓孔。钢柱承受的轴向压力为270kN，材料的强度许用应力为[σ]=170Mpa。试为钢柱选择槽钢号码。因λ=μl/i中，i待求，λ待定，故待定。采用试算法，假设

=0.5017查型钢表得，14a号槽钢：A

=18.51cm2，iz=5.52cm。该组合截面Iz和A均为单根槽钢的2倍，故iz与单根的相同。查表9－3得，=0.262，故原假设0.50过大，需假设较小的

再试算。NOTE：不能采用

=0.262，因

减小，A增大，iz也增大，从而λ减小而

增大。因此，试用

=0.35进行截面选取。18查型钢表得，16b号槽钢：A

=25.15cm2，iz=6.1cm。钢柱的工作应力为工作应力仅超过稳定许用应力的1.5%，允许。查表9－3得，

=0.311，接近原假设0.35。按

=0.311核算，稳定许用应力为19（2）计算组合槽钢间距h

以上计算基于iz，保证了压杆在xy平面内的稳定性。为保证其在xz平面内的稳定性，需选择合适的组合槽钢间距h。故所以

设压杆在xy、xz两平面内的长度因数相同，合理设计应使iy与iz相等。查型钢表得，16b号槽钢：iy0

=1.82cm，z0=1.75cm。令iy=iz=61mm，得20（3）校核净截面强度

被每个螺栓孔削弱的横截面面积为净截面上的压应力为

压杆横截面的净截面面积为净截面的强度满足要求。21例：由Q235钢加工成的工字型截面杆件，两端为柱形铰，即在xy平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端铰支，长度因数μz=1.0；当在xz平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端固定，长度因数μy=0.6。已知连杆在工作时承受的最大压力为F=35kN，材料的强度许用应力[σ]=206MPa,并符合钢结构设计规范中a类中心受压杆的要求。试校核

其稳定性。

O

l

=580

l

=750

12

22

6

6

24

x

x

y

y

z

1

2

O

22解：1)计算惯性半径O

l

=580

l

=750

12

22

6

6

24

x

x

y

y

z

1

2

O

235225222)计算柔度l2580iy5.05=68.9l1iz75011.58=64.8243)求稳定因数取λy和λz中较大的λy来查表和计算（内插法）：4)求稳定许用应力故该连杆满足稳定性要求。

此题中的连杆在两个平面失稳时的约束情况、计算

长度和惯性矩都不同，应分别计算其柔度以判断其稳定

性的强弱。

25提高压杆稳定性的措施σs折减弹性模量公式

σcr

O

λσpλp

欧拉公式

提高稳定性，就要降低柔度。261.选择合理的截面形状√27√

A相同，d/D=0.8,Fbcr=4.5Facr（a）◎dD（b）282.合理调整约束

（1）各向柔度差不多少发动机连杆29（2）降低相当长度3031

作业：习题9-12。32压杆稳定总结1.压杆稳定性的概念临界状态

——

压杆从稳定平衡到不稳定平衡之间的过渡状态。临界力Fcr

——

临界状态的轴向压力。失稳

——

压杆失去稳定平衡状态的现象。332.细长中心受压直杆临界力的欧拉公式μ称为长度因数。μl称为相当长度。34在确定的约束条件下，欧拉临界力Fcr：2）是压杆的自身的一种力学性质指标，反映承载能力的强弱，临界力Fcr越高，稳定性越好，承载能力越强；3）与外部轴向压力的大小无关。1）仅与材料（E）、长度(l)和截面尺寸(A)有关，材料的E越大，截面越粗，杆件越短，临界力Fcr越高；约束越强，μ因数越小，临界力Fcr越高，稳定性越好；约束越弱，μ因数越大，临界力Fcr越低，稳定性越差。350.5l表9–1各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式支承情况两端铰支一端固定另端铰支两端固定一端固定另端自由两端固定但可沿横向相对移动失稳时挠曲线形状FcrABl临界力Pcr欧拉公式长度系数μμ=1μ

0.7μ=0.5μ=2μ=1FcrABlFcrABl0.7lCCDC—挠曲线拐点C、D—挠曲线拐点0.5lFcrFcrl2llC—挠曲线拐点C363.欧拉公式的应用范围欧拉临界应力λ称为柔度1)柔度λ中包含了除材料之外压杆的所有信息，是压杆本身的一个力学性能指标；2)柔度越大，压杆越细柔，临界应力σcr越低，性越差。稳定37λP仅与材料有关。可以使用欧拉公式计算压杆的临界力的条件是：384.实际压杆的稳定因数稳定许用应力与柔度λ有关。

称为稳定因数，对于Q235，可查表获得；对于木材，可查本章公式9-11、9-12获得。39计算压杆稳定性时应注意的问题：1）压杆在不同平面内失稳时约束的不同使μ值不同；3）注意压杆在不同平面内失稳时计算长度l的不同。2）压杆在不同平面内失稳时中性轴的不同，计算过程中应选用不同的惯性矩使I和i不同；405.压杆的稳定计算·压杆的合理截面压杆的稳定条件：

F为压杆所受轴向压力；为压杆稳定因数；

A为压杆的横截面面积。

[σ]为压杆材料的许用压应力。41

稳定计算中，若已