边与角的互换.三种基本途径

边与角的互换.三种基本途径解三角形的实质就是利用边、角关系的连接,由己知的量去求待求的量.其中的边、内角三角函数互相转换是其基本思想;转换的途径有两条:化成仅含边的关系或仅含内角三角函数的关系.[母题结构]:(Ⅰ)(正弦转换)正弦定理,可把边的齐次等式(或分式)与内角正弦的齐次(或分式)等式进行相互转换;(Ⅱ)(余弦转换)余弦定理,可把内角的余弦函数化成边的函数;同样可把边的等式化成内角余弦函数值的有:c2=a2+b2-2mabcosC=m;(Ⅲ)(联合转换)联合转换,特指同时利用正弦和余弦转换,或把正切和余切转化为正弦和余弦后,进行正弦和余弦转换.[母题解析]:略.1.正弦转换子题类型Ⅰ:(2016年天津高考试题)在△ABC中,內角A、B、C所对的边分别是a、b、c.已知asin2B=bsinA.(Ⅰ)求B;(Ⅱ)若cosA=,求sinC的值.[解析]:(Ⅰ)由asin2B=bsinA2asinBcosB=bsinA2abcosB=abcosB=B=;(Ⅱ)由cosA=sinA=sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=.[点评]:正弦转换就是灵活运用正弦定理,进行边与内角正弦之间的相互转化,转化的方向有:或转化为仅含内角的三角函数关系或转化为仅含边的关系.[同类试题]:1.(2014年大纲高考试题)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3acosC=2ccosA,tanA=,求B.2.(2011年辽宁高考试题)△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asinAsinB+bcos2A=a.(Ⅰ)求;(Ⅱ)若c2=b2+a2,求B.2.余弦转换子题类型Ⅱ:(2016年四川高考试题)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,且+=.(Ⅰ)证明:sinAsinB=sinC;(Ⅱ)若b2+c2-a2=bc,求tanB.[解析]:(Ⅰ)由+=+=sinBcosA+sinAcosB=sinAsinBsin(A+B)=sinAsinBsinC=sinAsinBsinAsinB=sinC;(Ⅱ)由+=+=1tanA+tanB=tanAtanB;又由b2+c2-a2=bccosA==sinA=tanA=+tanB=tanBtanB=4.[点评]:余弦转换就是灵活运用余弦定理,进行边与内角正弦之间的相互转化,余弦转换两种方式:①可把内角的余弦函数化成边的函数;②c2=a2+b2-2mabcosC=m;[同类试题]:3.(2014年安徽高考试题)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)求sin(A+)的值.4.(2013年重庆高考试题)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a2+b2+ab=c2.(Ⅰ)求C;(Ⅱ)设cosAcosB=,=,求tanα的值.3.联合转换子题类型Ⅲ:(2016年山东高考试题)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知2(tanA+tanB)=+.(Ⅰ)证明:a+b=2c;(Ⅱ)求cosC的最小值.[解析]:(Ⅰ)由2(tanA+tanB)=+2(+)=+2(sinAcosB+cosAsinB)=sinA+sinB2sin(A+B)=sinA+sinB2sinC=sinA+sinB2c=a+ba+b=2c;(Ⅱ)由a+b=2ccosC===≥=,当且仅当a=b=c时,等号成立cosC的最小值是.[点评]:若已知条件中,既有边又有角,则对该条件的变形一般都有两条途径,两条途径的对应的解题过程有优劣之分;两条途径的选择与待求结论、已知条件的结构等密切相关,确定目标是变换的基础.[同类试题]:5.(2009年全国Ⅰ高考试题)在△ABC中,内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,己知a2-c2=2b,且sinAcosC=3cosAsinC,求b.6.(2010年全国Ⅰ高考试题)已知△ABC的内角A,B及其对边a,b满足a+b=acotA+bcotB,求内角C.4.子题系列:7.(2011年江苏高考试题)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.(Ⅰ)若sin(A+)=2cosA,求A的值;(Ⅱ)若cosA=,b=3c,求sinC的值.8.(2012年江西高考试题)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=,bsin(+C)-csin(+B)=a.(Ⅰ)求证:B-C=;(Ⅱ)若a=,求△ABC的面积.9.(2014年重庆高考试题)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+b+c=8.(Ⅰ)若a=2,b=,求cosC的值;(Ⅱ)若sinAcos2+sinBcos2=2sinC,且△ABC的面积S=sinC,求a和b的值.10.(2012年浙江高考试题)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA=acosB.(Ⅰ)求角B的大小;(Ⅱ)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值.11.(2010年重庆高考试题)设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且3b2+3c2-3a2=4bc.(Ⅰ)求sinA的值;(Ⅱ)求的值.12.(2013年大纲高考试题)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(a+b+c)(a-b+c)=ac.(Ⅰ)求B;(Ⅱ)若sinAsinC=,求C.13.(2017年天津高考试题)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asinA=4sinB,ac=(a2-b2-c2).(Ⅰ)求cosA的值;(Ⅱ)求sin(2B-A)的值.14.(2010年辽宁高考试题)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2a+c)sinB+(2c+b)sinC.(Ⅰ)求A的大小;(Ⅱ)若sinB+sinC=1,试判断△ABC的形状.15.(2011年全国高考试题)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知asinA+csinC-asinC=bsinB.(Ⅰ)求B;(Ⅱ)若A=750,b=2,求a与c.16.(2008年重庆高考试题)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A=600,c=3b.求:(Ⅰ)的值;(Ⅱ)cotB+cotC的值.17.(2008年全国Ⅰ高考试题)设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,且acosB-bcosA=c.(Ⅰ)求tanAcotB的值;(Ⅱ)求tan(A-B)的最大值.18.(2005年天津高考试题)在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c,设a,b,c满足条件:b2+c2-bc=a2和=+,求∠A和tanB的值.19.(2011年山东高考试题)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知=.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若cosB=,b=2,求△ABC的面积S.5.子题详解:1.解:由3acosC=2ccosA3sinAcosC=2sinCcosA3tanA=2tanCtanC=tanB=-tan(A+C)=-1B=.2.解:(Ⅰ)由asinAsinB+bcos2A=asin2AsinB+sinBcos2A=sinAsinB=sinAb=a=;(Ⅱ)由b=a,c2=b2+a2c=acosB=B=.3.解:由b=3,c=1,A=2BsinA=sin2BsinA=2sinBcosBa=2ba=2;(Ⅱ)由cosA==-sinA=sin(A+)=(sinA+cosA)=.4.解:(Ⅰ)由a2+b2+ab=c2cosC=-C=;(Ⅱ)由cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBsinAsinB=;又由=(tanαsinA-cosA)(tanαsinB-cosB)=tan2αsinAsinB-tanαsin(A+B)+cosAcosB=tan2α-5tanα+4=0tanα=1或4.5.解:由sinAcosC=3cosAsinCa=3c2(a2-c2)=b2,又由a2-c2=2b4b=b2b=4.6.解:由a+b=acotA+bcotBsinA+sinB=cosA+cosBsinA-cosA=cosB-sinAsin(A-)=sin(-B)(A-)=2kπ+(-B)或(A-)=2kπ+π-(-B)A+B=2kπ+或A-B=2kπ+π;又A+B∈(0,π)A+B=C=.7.解:(Ⅰ)由sin(A+)=2cosAA=;(Ⅱ)由cosA=sinA=,a=2csinA=2sinCsinC=.8.解:(Ⅰ)由bsin(+C)-csin(+B)=asinB(sinC+cosC)-sinC(sinB+cosB)=sin(B-C)=1B-C=;(Ⅱ)由A=,B-C=B=,C=S△ABC=a2=.9.解:(Ⅰ)cosC=-;(Ⅱ)由sinA(1+cosB)+sinB(1+cosA)=4sinCsinA+sinB=3sinCa+b=3c;又S=sinCa=b=3.10.解:(Ⅰ)由bsinA=acosBsinBsinA=sinAcosBtanB=B=;(Ⅱ)由sinC=2sinAc=2a;又由b2=a2+c2-2accosBa2+c2-ac=9a=,c=2.11.解:(Ⅰ)由3b2+3c2-3a2=4bccosA=sinA=;(Ⅱ)由原式==-.12.解:(Ⅰ)由a2+c2-b2=-accosB=-B=;(Ⅱ)由cos(A-C)-cos(A+C)=2sinAsinCA-C=C=或.13.解:(Ⅰ)cosA=-;(Ⅱ)sin(2B-A)=-.14.解:(Ⅰ)由2asinA=(2a+c)sinB+(2c+b)sinCa2=b2+c2+bccosA=-A=;(Ⅱ)由sinB+sinC=1sinB+sin(B+)=1sinB+cosB=1sin(B+)=1B=C=B=△ABC是钝角等腰三角形.15.解:(Ⅰ)由已知得:a2+c2-ac=b2cosB=B=450;(Ⅱ)由a=b=1+,c=b=.16.解:(Ⅰ)由a2=b2+c2-2bccosAa2=c2=;(Ⅱ)由cotB+cotC===.17.解:(Ⅰ)由acosB-bcosA=ca-b=ca2-b2=c2t