第四章 影响线

第四章影响线§4-1移动荷载和影响线的概念§4-2静力法作影响线§4-3机动法作影响线本章主要讨论在移动荷载作用下，静定结构的内力计算问题本章主要内容重点：影响线的概念、静定结构影响线的绘制及其应用难点：静定结构影响线的绘制及其应用§4-4影响线的应用§4-5铁路、公路的标准荷载制§4-7简支梁的内力包络图和绝对最大弯矩§4-6换算荷载§4-1移动荷载和影响线的概念1.问题的提出

工程结构除了承受固定荷载作用外，还要受到移动荷载的作用例如：见图。固定荷载是指作用于结构上荷载的作用位置、大小和方向都固定不变的荷载。移动荷载是指作用在结构荷载的大小、方向不变而其作用位置发生变化的荷载。它将引起结构的反力、内力和位移发生变化。在移动荷载作用下，结构的反力和内力将随着荷载位置的移动而变化，在结构设计中，必须求出移动荷载作用下反力和内力的最大值。为了解决这个问题，需要分析研究以下两个问题：（1）结构在移动荷载作用下，结构的反力和内力的变化规律。（2）结构在移动荷载作用下，使结构的反力和内力产生极值时，移动荷载的位置。这个位置称为该量值的最不利荷载位置。为了解决这两个问题，有以下方法

方法一：逐一改变荷载的位置，计算出相确定应量值的大小，比较计算结果，便可确定该量值的极值。该法工作量大，麻烦且计算结果不够准确。由于工程中的移动荷载通常是由很多间距不变的竖向荷载所组成，其类型是多种多样的，不可能逐一加以研究。因此，该法计算工作量大，麻烦且计算结果不够准确。

方法二：为了简化计算且具有普遍意义，先研究一个单位移动荷载（）单独作用在结构上，研究某量值的变化规律。找出使该量值产生极值时单位移动荷载的作用位置，然后根据叠加原理，就可以顺利地解决各种移动荷载作用下的某量值的计算问题，和最不利荷载位置的确定问题。2.影响线ABRAP

为了直观、清晰表达某量值的变化规律，把某量值随单位移动荷载的移动而变化的规律用图形表示出来，这种图形称为该量值的影响线。例如：见图。1231P=1P=1P=1P=1P=1

这样所得的图形就表示了P=1在梁上移动时反力RA的变化规律，这一图形就称为反力RA的影响线。

03/41/21/4影响线的定义

当一个指向不变的单位集中荷载沿结构移动时，表示某一指定量值变化规律的图形，称为该量值的影响线。

某量值的影响线一经绘出，就可以利用它来确定最不利荷载位置，应用叠加法求出该量值的最大值。RA的影响线ABRAP1231P=1P=1P=1P=1P=103/41/21/43影响线符号规定

单位移动荷载作用于结构上所产生的内力与固定荷载作用下产生的内力符号相同。

在某量值的影响线上，一定要标出“+”或“-”号。4关于影响系数和影响线的量纲讨论FRA和FRB的影响线的量纲都是[力]/[力]=[1].其他物理量的影响线的情况与此类似，它们的量纲分别等于物理量的量纲除以[力]。例如弯矩的量纲为[力×长度]，所以弯矩影响线的量纲为[力×长度]/[力]=[长度].①某量值的影响线是根据单位移动荷载作用在结构上而绘制出的。5影响线的特点②某量值影响线只能表示该量值的变化规律，与其它处的各项物理量无关。即使在同一个截面上，若物理量不同，则其影响线的形状及表示的物理意义也不相同。因此，说某量值的影响线必须指明它表示什么位置，什么物理量的影响线才有意义。例如：试绘出图示梁C截面的弯矩和剪力影响线11③影响线纵横坐标的物理意义：横坐标表示单位移动荷载的位置；纵坐标表示某一指定量值在单位移动荷载作用处的大小。④弯矩影响线与弯矩图的比较ab/LM图(kN.m)MC影响线ab/L＋(m)弯矩影响线与弯矩图的比较影响线弯矩图荷载位置截面位置横坐标竖坐标yD不变变不变变单位移动荷载位置截面位置yDCabxP=1LDyDP=1kNCabLD单位移动荷载移到D点时,产生的C截面的弯矩C点的固定荷载作用下,产生的D截面的弯矩§4-2静力法作影响线1.绘制影响线的基本方法：2.静力法：是以单位移动荷载P=1的作用位置X为变量，利用静力平衡条件列出所求量值与荷载位置

X之间的函数关系，即列出该量值的影响线方程，利用影响线方程，作出该量值的影响线图形，这种方法称为静力法。静力法和机动法。静力法的理论基础：静力平衡条件3.静力法作简支梁的反力、剪力和弯矩的影响线（1）反力影响线由∑MB=0有RAL－P(L－x)=0得RA=P(0≤x≤L)当x=0,RA=1x=L,RA=0RA影响线1RA影响线RB影响线由∑MA=0有RBL－Px=0RB=(0≤x≤L)当x=0,RB=0x=L,RB=1RB影响线1yKxRARBP=1K00⊕⊕P=1（2）弯矩影响线绘制MC的影响线当P=1在截面C以左移动时,取截面C以右部分为隔离体MC=RBb=(0≤x≤a)即MC影响线的左直线。当x=0,MC=0x=a,MC=b当P=1在截面C以右移动时,取截面C以左部分为隔离体MC=RAa=(a≤x≤L)即MC影响线的右直线。当x=a,MC=x=L,MC=0ab/L左直线右直线11右直线左直线xx

MC影响线

QC影响线ab/LP=1x0绘制QC的影响线（3）剪力影响线当P=1在AC段上移动时,

取截面C以右部分为隔离体QC=－RB

(0≤x＜a)为QC的左直线。当P=1在CB段上移动时,取截面C以左部分为隔离体QC=RA(a＜x≤L)(右直线)P=1RAabCRBx

P=1

-

单跨静定梁的影响线特点:反力影响线是一条直线；弯矩影响线是两条直线组成的折线。RB.a/lb/lQC影响线ab/l＋MC影响线B11RB影响线RA影响线CabxP=1lRAA剪力影响线是两条平行线；4.外伸梁的影响线（1）反力影响线P=1x由平衡条件求得RA=RB=(-L1≤x≤L+L2)11

（2）跨内部分截面内力影响线MC、QC影响线当P=1在DC段移动时，取截面C以右部分为隔离体有MC=RBbQC=－RB1当P=1在CE段移动时，取截面C以左部分为隔离体有MC=RAaQC=RAab1

RA影响线

RB影响线

MC影响线

QC影响线RARBabEDABCP=1x⊕⊖(3)伸臂部分截面内力影响线

绘制MK、QK影响线当P=1在DK段上移动时KDEP=1x取K以左为隔离体MK=－xQK=－1dd1

MK影响线

QK影响线当P=1在KE段上移动时取K以左为隔离体P=1MK=0QK=0绘制QA左影响线1

QA左影响线绘制QA右影响线11

QA右影响线0⊖⊖⊕⊕⊖⊖5间接荷载作用下的影响线1.间接荷载（结点荷载）桥梁结构的纵横梁桥面系统中的主梁受力简图如图所示。主梁横梁（结点）纵梁计算主梁时通常假定纵梁简支在横梁上，横梁简支在主梁上。荷载直接作用在纵梁上，再通过横梁传到主梁，即主梁承受结点荷载。这种荷载称为间接荷载或结点荷载。

P2.间接荷载影响线的绘制方法以绘制MC影响线为例P=1（1）首先，将P=1移动到各结点处。P=1其MC与直接荷载作用在主梁上完全相同。MC影响线yDyE（2）其次，当P=1在DE间移动时，主梁在D、E处分别受到结点荷载及的作用。xd设直接荷载作用下MC影响线在D、

E处的竖标为yD、yE，在上述两结点荷载作用下MC值为y=（直线方程）x=0,y=yDx=d,y=yEyP=1P=1CDABEP=13.结论绘制间接荷载作用下影响线的一般方法：（1）首先作出直接荷载作用下所求量值的影响线。

（2）然后取各结点处的竖标，并将其顶点在每一纵梁范围内连成直线。例题P=1RB影响线MK影响线aQK影响线（练习）a10K例题P=1作出图示简接荷载作用下主梁的MC、QDL、QDR的影响线。MC影响线QDL影响线QDR影响线注意：静定结构其反力与内力的影响线方程都是的一次函数。故静定结构内力反力的影响线都是由直线段所组成。静定结构的位移影响线或超静定结构的内力影响线则不都是的一次函数，故其影响线一般为曲线。6静定多跨梁、静定拱刚架的影响线绘制静定多跨梁某一量值的影响线，同分析静定多跨梁的内力一样，首先明确静定多跨梁的分层关系图，弄清基本部分和附属部分；当荷载作用在基本部分上时，附属部分没有内力，据此，绘制静定多跨梁某量值的影响线的规律如下：（1）静定多跨梁举例说明首先分析几何组成并绘层叠图。KaL当P=1在CE段上移动时MK影响线与CE段单独作为一伸臂梁相同。MK影响线当P=1在AC段上移动时MK=0当P=1在EF段上移动时RF此时CE梁相当于在结点E处受到VE的作用VE=故MK影响线在EF段为直线。a绘制MK的影响线绘制QB左的影响线按上述步骤绘出QB左影响线如图。0VEP=1101QB左影响线P=1xE绘制某一截面（支座）的内力（反力）影响线，应先从该截面所在跨画起（利用简支梁或外伸梁的结果），然后利用力的传递关系，将该量值的影响线延伸到其它部分。3.结论

由上可知，多跨静定梁反力及内力影响线的一般作法如下：

（1）当P=1在量值本身梁段上移动时，量值的影响线与相应单跨静定梁相同。

（2）当P=1在对于量值所在部分来说是基本部分的梁段上移动时，量值影响线的竖标为零。

（3）当P=1在对于量值所在部分来说是附属部分的梁段上移动时，量值影响线为直线。MC影响线83000MK影响线QC左影响线0QC右影响线111100例题：绘制出图示静定多跨梁的MC、MK、QC左、QC右的影响线例题绘制出图示静定多跨梁的MK、MA、QGL、QGR的影响线MK影响线MA影响线QGL影响线QGR影响线静定刚架的影响线利用静力法绘制静定刚架某一量值的影响线，同分析静定梁的影响线一样，作出该量值的影响线方程，根据方程绘制出其影响线。注意绘制某一量值的影响线时，若以构件轴线为基线，则该量值的影响线垂直于轴线；若以某坐标轴为基线，则该量值的影响线垂直于坐标轴。例题绘制图示结构的VA、MC的影响线。或VA影响线或MC影响线例题绘制图示悬臂刚架D截面的MD、ND的影响线。单位移动荷载只能在BC上移动。MD影响线ND影响线例题绘制图示三铰刚架支座A的水平反力HA的影响线。单位移动荷载只能在AD上移动。HA影响线例题已知单位力P=1在CD上移动，试绘制图示结构指定截面的内力Q1、M2、M3及支座反力VA的影响线。Q1影响线M2影响线M3影响线VA影响线1.单跨静定桁架，其支座反力的计算与单跨静定梁相同，故二者反力影响线相同。

2.用静力法作桁架内力影响线，其计算方法与桁架内力的计算方法相同，同样分为结点法和截面法，不同的是作用的是P=1的移动荷载，只需求出P=1在不同位置时内力的影响线方程。下面以简支桁架为例，说明桁架内力影响线的绘制方法。7.桁架的影响线l=6dACBDEFGh

任一轴力影响线在相邻结点之间为直线。

反力影响线与简支梁相同。桁架的承载分为上弦承载和下弦承载两种情况。P=1l=6dACBDEFGacbdefgh

任一轴力影响线在相邻结点之间为直线。

反力影响线与简支梁相同。11NbcRARGNbc=－RA×2d/h(P=1在C以右时）NCD同理：NCD=+Mc0/hP=1平行弦桁架弦杆影响线可由相应梁结点的弯矩影响线竖标除以h得到。上弦杆为压下弦杆为拉。P=1＋4d/3/hI.L.NCDI.L.Nbc4d/34d/3/h－P=1P=1P=1P=1或：Nbc=－MC0/hNbc=－RＧ×4d/h(P=1在C以左时）l=6dACBDEFGacbdefghP=1xACBDEFG22RARGRARGP=1P=1I.L.YbC1/62/3＋－NbC平行弦桁架斜杆轴力的YbC影响线就是±梁的节间剪力QBC0影响线。右下斜为正，右上斜为负。P=1在B以右时

YbC=RAP=1在B以左时

YbC=－RＧ可概括为一个式子l=6dACBDEFGacbdefghP=1xACBDEFGRARGRARGP=1P=1NcC111/21/3＋－I.L.NcC1/6

竖杆轴力NcC影响线就是负的梁的节间剪力QCD0影响线。作桁架影响线时要注意区分是上弦承载，还是下弦承载。下承上承2/3－＋I.L.NcCP=1在D以右时

NcC＝－RAP=1在C以左时

NcC＝RG可概括为一个式子在CD之间为直线l=6dACBDEFGacbdefghI.L.NdD=0下承上承I.L.NdD－1P=1ACBDEFGacbdefghP=1P=1P=1P=1P=1

任一轴力影响线在相邻结点之间为直线。平行弦桁架①弦杆影响线可由相应梁结点的弯矩影响线竖标除以h得到。上弦杆为压下弦杆为拉。

②斜杆轴力的YbC影响线就是±梁的节间剪力QBC0影响线。右下斜为正，右上斜为负。③竖杆轴力NcC影响线就是±梁的节间剪力QCD0影响线。作桁架影响线时要注意区分是上弦承载，还是下弦承载。④静定结构某些量值的影响线，常可转换为其它量值的影响线来绘制。解：绘图示桁架N12影响线用力矩法，作Ⅰ-Ⅰ

截面。当P=1在A－1间移动时ⅠⅠP=1P=1AB取右部为隔离体，由∑M5=0有RARBRB×5d－S12h=0S12=RBN12影响线当P=1在2－B间移动时取左部为隔离体，P=1P=1由∑M5=0有RA×3d－N12h=0N12=RA当P=1在节间（1-2）内移动时，N12的影响线为一直线。§4-3用机动法作单跨静定梁的影响线1.机动法的依据:虚位移原理

刚体体系在力系作用下处于平衡的必要和充分条件是：在任何微小的虚位移中，力系所作的虚功总和等于零。刚体体系虚位移原理：绘制影响线的方法静力法:列影响线方程,作影响线。机动法:根据虚功原理,将作影响线的静力问题转化为作位移图的几何问题。2.机动法简介以简支梁为例。

作反力RA的影响线，为求反力RA，去掉与其相应的联系即A处的支座，以正向反力代替。RA

此时，原结构变成了有一个自由度的几何可变体系，给此体系微小虚位移。

A虚功方程为RA

A+PP=0

PRA=－BA令

A=1RA=－

P此时，虚位移图

P便代表了RA的影响线。P=1AB13.机动法

由前面分析可知，欲作某一反力或内力X的影响线，只需将与X相应的联系去掉，并使所得体系沿X的正向发生单位位移，则由此得到的荷载作用点的竖向位移图即代表X的影响线。这种作影响线的方法便称为机动法。

机动法的优点在于不必经过具体计算就能迅速绘出影响线的轮廓。例：用机动法绘MC影响线ABCabMCMCABCP=1

A1

P令

+=1=aaMC(+)+PP=0解：)()1注意：例：用机动法绘制图示简支梁的QC影响线

令

+=1，并不是说在给体系以虚位移时，要使相对转角

+=1rad。而是给定虚位移

+为微小值。}解：QC(CC1+CC2)-PP=0

PQC=令CC1+CC2=1QC=

P机动法作某量值S影响线的步骤1撤除与S相应的约束，代以未知力。2使体系沿S的正方向发生单位虚位移，作出荷载作用点的竖向虚位移图，即S的影响线轮廓。3定出影响线竖标的值。

4基线以上为正的影响线,基线以下为负的影响线。b/la/lI.L.QCP=1CQCP=1xablC＋－－P=1CP=1xablC1b＋－ab/lI.L.MC

所作虚位移图要满足支承连接条件！

1m3m1m3m1m2m2m1mP=1HAKBECFDG11m1/43/49/49/29/4I.L.MK＋＋－－－I.L.Mk(m)1/43/49/49/29/4Qk11/43/41/43/43/23/4＋＋＋－－－I.L.QKMC11I.L.QKI.L.MC1m3m1m3m1m2m2m1mP=1HAKBECFDG1/43/41/43/43/23/422I.LMC(m)＋－1121RD11.51m3m1m3m1m2m2m1mP=1HAKBECFDGI.L.QEI.L.RDI.L.QE＋＋－121＋I.L.RD1.5QE几个值得注意的问题：

1简支梁的反力和内力影响线是最基本和经常使用的影响线，要求熟练掌握。

2机动法绘制某量值的影响线时，需能正确绘出机构的位移图。

3静力法和机动法绘制某量值的影响线时，各有其优越性。其中静力法是最基本的方法。对有些结构（多跨连续梁、刚架、组合结构等），用机动法可以快速绘制出其影响线。但是对一些位移图不易判断的结构（桁架），为了稳妥起见，建议采用静力法绘制影响线。

4在单位移动力偶作用下某量值的影响线，可用静力法和机动法绘制。其中静力法与单位集中移动荷载的静力法相同；而机动法绘制影响线时，其影响线是位移图的斜率。§4-4影响线的应用

前面讨论了影响线的绘制方法。从本节开始研究影响线的应用。影响线是研究移动荷载作用下结构反力、内力计算的基本工具。可以利用影响线确定实际移动荷载对结构上某量值的最不利位置。

影响线具体应用有以下两个方面：

（1）利用影响线计算固定荷载作用下结构的反力、内力。

（2）利用影响线确定实际移动荷载作用下对于某量值的最不利荷载位置，从而计算出该量值的极值。

一利用影响线计算固定荷载作用下的反力、内力1.集中荷载作用如图构件上作用固定荷载P1、P2、┅、Pi、┅、

Pn，求某量值S的值。（2）由影响线的定义，并根据叠加原理S=P1y1+P2y2+…+Pnyn=∑Piyi解：（1）首先作出该量值S的影响线S影响线得结论(a)在固定荷载作用下，欲求某量值S，首先绘制出该量值的影响线，然后利用式(a)可计算出S值。注意：Piyi本身带有符号，若Pi方向与单位移动荷载方向一致，

Piyi的正负号与影响线竖标yi的正负号一致。2.分布荷载qxabS影响线

将分布荷载沿长度分成许多无穷小的微段，dxy

每一微段dx上的荷载为qxdx，S=当为均布荷载（q=常数）（b）S=(c）qS影响线式中表示影响线在均布荷载范围内面积的代数和。ab

qxdx则ab区段内分布荷载产生的影响量ω

若结构上受几段均布荷载的作用，设q1、q2、┅、qn所对应的影响线面积分别为

1、2

、┅、

n。则综上所述，利用影响线计算构件在各种荷载作用下某量值S。(e）3.集中力偶作用mbm/bm/bS=－m/b×a+m/b×c

=－m(a－c)/b

=－mtgβacβS的影响线(d）(f）集中力偶引起的S值等于力偶矩乘以力偶所在段的影响线的倾角正切。两者同向取负值。例：利用影响线求图示梁C截面的弯矩MC，剪力QCL和QCR。解：作C截面的弯矩和剪力影响线。例：利用影响线求图示梁K截面的弯矩。6454I.L.MK(m)MK=P1y1+P2y2+q1ω1+q2ω2－q3ω3－mθ=100×4＋100×5＋50×12ω3ω2ω16－30×1.518＋30×＝1925kN.m6m3m6m6m3m3m3m↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓100kN100kN50kN/m30kN/mK30kN.m－30×1/3二最不利荷载位置的确定

最不利荷载位置：

使某一量值发生最大（或最小）值时的荷载所处的位置，称为为该量值的最不利荷载位置。

在移动荷载作用下的结构，各种量值均随荷载位置的变化而变化，设计时必须求出各种量值的最大值（或最小值）。为此，要首先确定其最不利荷载位置。当最不利荷载位置确定以后，则应用影响线计算固定荷载作用下某量值的计算方法，求解出相应量值的极值。1.一个集中荷载最不利荷载位置可直观判断。S影响线PSmaxPSmin下面分以下几种情况讨论。2.两个集中荷载S影响线SminSmax其最不利荷载位置可直观判断。P1>P2，间距不变且可以调换位置。由S=∑Piyi可知要使S取最大值，应把P1、P2中较大的P1放置在影响线竖标最大处；P2将放置在影响线斜率较小的直线上。则S有正的最大值。同理，可计算S量值的极小值。3.可以任意布置的均布荷载（如人群、货物等）由式S=q

可知S影响线SmaxSmin4.集中力系

集中力系是指一系列大小和间距不变的移动集中荷载

当这样的荷载作用在结构上时，某量值S的最不利荷载位置难于直观判定。

在这种情况下，要确定某量值的最不利荷载位置，可分以下两步进行。

第一步，首先找出使某量值S产生极值时的所有荷载位置。这时的荷载位置称为使S产生极值的“临近荷载位置”。并求解出相应的S值。

第二步，通过对由第一步求解得到的所有S值进行比较，找出S的极值，则与之相对应的荷载位置极为该量值的最不利荷载位置。设某量值S的影响线如图所示xyS影响线

1

2现有一组集中荷载处于图示位置，R1R2Rny1y2ynS1=R1y1+R2y2+…+Rnyn当整个荷载组向右移动△x时，△x△y1△x△x△y2△yn

n相应的量值为S2S2=R1(y1+△y1)+R2(y2+△y2)+…+Rn(yn+△yn)故S的增量△S=S2－S1=R1△y1+R2△y2+…+Rn△yn=R1△xtg

1+R2△xtg2+…+Rn△xtgn=△x∑Ritgi则=∑Ritg

i所产生的影响量S1为

当S有极大值时，载荷自该位置左移或右移△x后,S将减小，即△S＜0。由于左移时△x＜0，右移时△x＞0，故S有极大值时荷载左移∑Ritg

i＞0荷载右移∑Ritg

i＜0（a）同理，S有极小值时荷载左移∑Ritg

i＜0荷载右移∑Ritgi＞0（b）总之，荷载向左、右移动微小距离后，∑Ritg

i变号，S才可能有极值。

那末，在什么情况下∑Ritg

i才可能变号？式中tgi是各段影响线的斜率，它是常数，并不随荷载移动而变号。故引起变号就是各段上的合力Ri的数值发生变化，显然只有当某一集中荷载恰好作用在影响线的某一个顶点处时，才有可能。我们把能使∑Ritgi变号的集中荷载称为临界荷载，此时的荷载位置称为临界荷载位置。式（a）、（b）称为临界荷载位置判别式。

确定临界位置一般采用试算法。在一般情况下，临界位置可能不止一个，这就需将与各临界位置相应的S极值均求出，从中选出最大（最小）值，相应的荷载位置就是最不利荷载位置。下面对在工业与民用建筑中最常见的三角形影响线的情况进行讨论abh

对于这种影响线临界位置判别式可进一步简化RaPcrRb临界位置判别式为：荷载左移(Ra+Pcr)tg－Rbtg＞0荷载右移Ratg－(Pcr+Rb)tg＜0将tg=和tg=代入，得（c）这就是三角形影响线判别临界位置的公式，可以形象理解为：把Pcr归到顶点哪一边，哪一边的平均荷载就大。

设临界荷载Pcr处于三角形影响线的顶点。结论：凡是将结构上某个集中力移动三角形影响线的顶点上，当结构上的荷载向左、向右移动时，均能够满足式（c），此时作用于影响线顶点上的荷载称为临界荷载，移动前结构上荷载位置称为临界荷载位置。确定最不利荷载位置的步骤（1）作出某量值的影响线（三角形）。（2）依次将作用于结构上的荷载移动到影响线的顶点上，令力系分别向左、向右移动，利用三角形影响线临界荷载位置的判别公式：凡能够满足该式的荷载均为临界荷载，移动前荷载的位置为临界荷载位置。（1）并不是将力系中每一个力移动到三角形影响线的顶点上即为临近荷载，只有当将力系中某个力移动到三角形顶点上，同时满足临界荷载位置的判别公式时，才是使某量值产生极值的临界荷载，移动前的位置，才是临界荷载位置。（3）利用公式求出各个临界荷载位置下的极值。

（4）比较，从而确定某量值的极值，与该极值所对应的荷载位置即为该量值的最不利荷载位置。注意：（2）当力系向左、向右移动时，若有力从影响线上移到影响线之外或从影响线之外移动到影响线上，则Ra、Rb必须重算。（3）本结论不适用于直角三角形影响线和三角形影响线有间断点的情况。对于均布荷载跨过三角形影响线顶点的情况，可由abh

RaRb的条件来确定临界位置。此时有∑Ritg

i=得（d）即左、右两边的平均荷载相等。

5.例题1：图示简支梁在移动荷载作用下，已知P1=P2=82kN，P3=P4=115kN，试求截面C的最大弯矩。解：(1)

作Mc影响线Mc影响线(2)

由三角形影响线判别临界位置的公式得P3为使Mc为最大的临界荷载其最不利荷载位置如图所示由得

例题2：求图示简支梁在汽车—10级荷载作用下截面C的最大弯矩。ABC40m15m25m解：作Mc影响线159·38首先考虑车队右行将重车后轮置于顶点。1003070kN5070306m45415423·756·257·882·250·75按式（c)计算有故，这是临界位置其他行驶位置不必考虑。其次再考虑车队调头向左行驶。将重车后轮置于影响线顶点。有故这又是一临界位置，其它情况也不必考虑。

根据上述两种临界位置，可分别算出相应的

MC值。经比较得右行时MC值大，故：MCmax=70×3.75+30×6.25+100×9.38+50×7.88+70×2.25+30×0.75=1962kN·m§4-5铁路和公路标准荷载制

铁路上行驶的机车、车辆，公路上行驶的汽车、拖拉机等类型繁多，载运情况复杂，设计结构时不可能对每种情况都进行计算，而是以一种统一的标准荷载来进行设计。这种标准荷载是经过统计分析制定出来的，它既概括了当前各类车辆的情况，又适当考虑了将来的发展。

我国铁路桥涵设计使用的标准荷载，称为中华人民共和国铁路标准活载，简称“中—活载”，它包括普通活载和特种活载两种。任意长普通活载特种活载

在普通活载中，前面五个集中荷载代表一台蒸汽机车的五个轴重，中部一段均布荷载代表其煤水车和与之连挂的另一台机车及煤水车的平均重量，后面任意长的均布荷载代表车辆的平均重量。

特种活载代表某些机车、车辆的较大轴重。设计时，应看普通活载与特种活载哪一个产生较大的内力，就采用哪一个作为设计标准。不过，特种活载虽轴重较大但轴数较少，故其仅对短跨度梁（约7m以下）控制设计。任意长普通活载特种活载（1）使用中—活时，可由图式中任意截取，但不得变更轴距。列车可由左端或右端驶入桥梁，视何种方式产生更大的内力为准。注意：（2）图示为一个车道（一线）上的荷载，如果桥梁是单线的且有两片主梁，则每片主梁承受图示荷载的一半。任意长普通活载我国公路桥涵设计使用的标准荷载，分别为计算荷载和验算荷载两种。计算荷载以汽车车队表示，有汽车—10级、汽车—15级、汽车—20级和汽车—超20级四个等级。其纵向排列如下图所示。汽车—10级汽车—15级汽车—20级汽车—超20级重量（单位kN），长度（单位m)（1）各车辆之间的距离可任意变更但不得小于图示距离。注意：（2）每个车队中，重车只有一辆，主车数目不限。验算荷载以履带车、平板挂车表示，有履带—50、挂车—80、挂车—80、挂车—120等。详见我国公路桥涵设计使用规范。§4-6换算荷载

在移动荷载作用下，求结构上某一量值的最大（最小）值，一般先通过试算确定最不利荷载位置，然后求出相应的量值，计算较为麻烦。在实际工作中，为了简化计算，可利用预先编制好的换算荷载表。换算荷载：是指这样一种均布荷载K，它产生的某一量值，与所给移动荷载产生的该量值的最大值Smax相等。K=Smax即式中：ω

为某量值S影响线的面积。由式可求出任何移动荷载的换算荷载为例如，根据例题2中求得的MCmax=1962kNm，汽车—10级荷载情况及MC影响线，ABC40m15m25m159·38K=MC影响线MCmaxω=196210.5kN·mω可求得该移动荷载的换算荷载为=注意：（1）换算荷载的数值与移动荷载的类型、级别及影响线的形状有关。（2）对竖标成固定比例的影响线，其换算荷载相等。y1y2=ny1证明如下：设有两影响线的竖标按同一比例变化，即从而可知

2=n1于是有K2=

长度相同、顶点位置也相同，但最大竖标不同的各三角形影响线是成固定比例的，故用同一换算荷载。换算荷载表（部分）见下页。

1

2y2=ny1中—活载的换算荷载（kN/m）每线

加载长度L(m)

影响线最大纵坐标位置0（端部）1/8处1/4处3/8处1/2处1500.0500.0500.0500.0500.0

2312.5285.7250.0250.0250.0

3250.0238.1222.2200.0187.5

4234.4214.3187.5175.0187.55210.0197.1180.0172.0180.06187.5178.6166.7161.1166.7

7179.6161.8153.1150.9153.1

8172.2157.1151.3148.5151.39165.5151.5147.5144.5146.710159.8146.2143.6140.0141.312150.4137.5136.0133.9131.2

14143.3130.8129.4127.6125.0

16137.7125.5123.8121.9119.4汽车—10级的换算荷载（kN/m每车列）

跨径或荷载长度（m）

影响线顶点位置（标准荷载）端部1/8处1/4处3/8处跨中

1200.0200.0200.0200.0200.0

2100.0100.0100.0100.0100.0

366.766.766.766.766.7

450.050.050.050.050.0638.937.335.233.333.3831.330.429.227.525.01026.025.424.723.622.01321.520.419.919.319.41618.918.016.917.317.02017.116.015.816.115.22614.913.913.814.013.4

3013.312.712.612.712.3

3512.511.511.411.411.1换算荷载表是根据三角形影响线绘制成的。使用时应注意以下几点：（1）加载长度（荷载长度）

是指同符号影响线长度。

（2）

是影响线顶点到较近零点的水平距离，故的数值为0~0.5。（3）当

或值在换算荷载表的数值之间是时，换算荷载K值可按直线内插法求得。关于内插法的说明···abcK1K2Kh1h2hK=K2+h1+h2h2(K1+K2)=h1+h2K1h2+K2h1

例题：利用换算荷载表计算在汽车—10级荷载作用下图示简支梁截面C的最大（小）剪力和弯矩。ABC20m15m5m解：1.作QC、MC影响线153.75MC影响线110.250.75QC影响线⊕⊕2.计算MCmaxL=20m5/20=1/4由表查得K=15·8MC影响线面积

=1/2×3·75×20=37·5㎡于是MCmax=K

=15·8×37·5=590·5kN·m3.计算QCmax取正号三角形计算，从表中查的L=4mK=50.0L=5mK=？L=6mK=38.9K=44.45QCmax=K=44.45×1/2×5×0.25=27.78kN4.同理可计算QCmin=19.77kN由直线内插法求得汽车—10级的换算荷载（kN/m每车列）

跨径或荷载长度（m）

影响线顶点位置（标准荷载）端部1/8处1/4处3/8处跨中

1200.0200.0200.0200.0200.0

2100.0100.0100.0100.0100.0

366.766.766.766.766.7

450.050.050.050.050.0638.937.335.233.333.3831.330.429.227.525.01026.025.424.723.622.01321.520.419.919.319.41618.918.016.917.317.02017.116.015.816.115.22614.913.913.814.013.4

3013.312.712.612.712.3

3512.511.511.411.411.1关于内插法的说明···4m5m6m50.0kN38.9kNKK=38.9

+6-4(50.0-38.9)=44.45kN6-5

1.内力包络图

在结构设计计算中，必须求出结构在恒载和活载共同作用下，每一截面内力的极值，作为设计依据。§4—7简支梁的内力包络图和绝对最大弯矩为了直观方便找到构件各个截面内力的极值，以构件的轴线为基线，以各截面内力极值为竖标，连结各截面的内力极值的曲线，称为内力包络图。内力包络图反映出构件各截面内力的极值，是结构设计中的重要工具。在吊车梁、楼盖连续梁和桥梁设计中多有应用。简支梁的内力包络图包括弯矩包络图和剪力包络图。其中弯矩包络图只有一条曲线（Mmax）；而剪力包络图有两条曲线（Qmax、Qmin）。设梁承受的恒载为均布荷载q，某一内力影响线的正、负面积及总面积分别为

+、-及∑，活载的换算荷载为K，在恒载和活载的共同作用下该内力的最大、最小值的计算式为（4-7-1）例题一跨度为16m的单线铁路钢筋混凝土简支梁桥，有两片梁，恒载q=2×54.1kN/m，承受中—活载，根据铁路桥涵设计规范，其冲击系数为1+=1.261。试绘制一片梁的弯矩和剪力包络图。2.简支梁内力包络图的绘制方法在实际工作中，对活载还需考虑其冲击力的影响（即动力效应），这通常是将静活载产生的内力值乘以动荷（冲击）系数(1+)来考虑的。冲击系数的确定详见相关规范。为此，先绘出各截面的弯矩、剪力影响线分别如图所示。解：将梁分成8等分，计算各等分点截面的最大、最小弯矩和剪力值。由于对称，可只计算半跨的截面。为了清楚起见，根据式（4-7-1），将全部计算