一维双原子链谐振器的色散关系

一维双原子链谐振器的色散关系

网格振动是研究晶体宏观性质和微观过程的重要基础。由于网格的周期性，网格的振动模型具有波的形状，通常被称为格波。在固体物理中，格波的频率和波数之间的关系通常被称为网格振动的色散关系。祖母行业的具体研究形式是研究晶体的一个重要方面。它在研究晶体的性质、热学性质、物理性质、超导电性、磁性、结构函数学等方面发挥着重要作用。然而，由于晶体中的原子数量很大，原子和原子之间存在相互作用，实际静气中的原子链可能含有一定的杂质，因此很难严格解决网格振动。为了探索网格振动的基本特征，采用了几种近似方法，包括简单的和谐近似、当前相邻形状和周期性边界条件。在简合近似和当前相邻特征的情况下，讨论分析了自由边界和驻波边境下二维双原子链振动的振动模式和色散关系，并确定了不同边界条件下的色散关系是相同的。在小波的情况下，本文讨论了非简合元素对二维双原子链骨骼振动色散关系的影响。在简合近似和周期性边界条件下，我们研究了相邻相邻近似和所有原子之间的光束振动关系，并研究了不同相邻原子作用下色散关系的差异。1[u2n][1]考虑由2N个正负离子(N个原胞)组成的一维双原子链,离子质量分别为m和M(m<M)、电荷为±e,正负离子的平衡间距为a,即原胞的大小为2a.在简谐近似下,正负离子间的库仑作用力常数β=(d2Udr2)r=aβ=(d2Udr2)r=a,则第一近邻原子间的库仑作用力常数为β=-2e2/a3,第二到第四近邻的库仑作用力常数依次为β2=-β/8、β3=β/27、β4=-β/64,其他的多近邻原子间库仑作用如此类推,即距离为ka的原子间对应的库仑作用力常数为βk=(-1)k+1β/k3,其中k=1,2,…,2N-1.假设第一近邻原子间作用力常数为β′1=α+β,其中α是短程力常数,所用约化单位取为1,此时β的大小表示了库仑力和短程力的抗争,而其他原子间不考虑短程力作用.只考虑离子沿链的方向上运动,第2n-1和2n个离子偏离平衡位置的位移分别用u2n-1和u2n表示,其中n=1,2,…,N.因此,在周期性边界条件下,考虑多近邻原子作用的原子运动方程为:{Μ¨u2n-1=S∑k=1{(-1)k+1βk3[u2n-1+k+u2Ν+2n-1-k-2u2n-1]}+α[u2n+u2Ν+2n-2-2u2n-1]m¨u2n=S∑k=1{(-1)k+1βk3[u2n+k+u2Ν+2n-k-2u2n]}+α[u2n+1+u2n-1-2u2n](1)⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪Mu¨2n−1=∑k=1S{(−1)k+1βk3[u2n−1+k+u2N+2n−1−k−2u2n−1]}+α[u2n+u2N+2n−2−2u2n−1]mu¨2n=∑k=1S{(−1)k+1βk3[u2n+k+u2N+2n−k−2u2n]}+α[u2n+1+u2n−1−2u2n](1)式中,S取正整数且S≤(2N-1),当S=1时,表示只考虑了最近邻原子的作用;当S=2时,表示考虑了从第一近邻原子到第二近邻原子的作用,即考虑到了次近邻原子的作用;当S=2N-1时,表示考虑了N个原胞中所有原子的作用.由晶格的周期性,可设方程组式(1)的试探解为{u2n-1=Bei[ωt-(2n-1)aq]u2n=Aei[ωt-(2n)aq](2)式中,q为波矢,ω为晶格振动的频率,A和B表示两种原子的振幅.根据式(1)和式(2),下面将具体推导出3种不同近邻原子作用下的色散关系:(1)当S=1时,只考虑了最近邻原子作用,式(1)的原子运动方程变为:{Μ¨u2n-1=(α+β)(u2n+u2Ν+2n-2-2u2n-1)m¨u2n=(α+β)(u2n+1+u2n-1-2u2n)(1a)将试探解式(2)代入方程组式(1a),并利用波恩-卡曼周期性边界条件u2n-1=u2N+2n-1、u2n=u2N+2n,得到方程组:{(2β′1cosaq)A+(Μω2-2β′1)B=0(mω2-2β′1)A+(2β′1cosaq)B=0(3)方程组式(3)可看作是以A、B为未知数的线性齐次方程.根据其有解的条件是其系数行列式的值为零,得到如下方程:mΜω4-2β′1(m+Μ)ω2+4β′21(1-cos2aq)=0(4)令C=-2β′1=-2α-2β‚D=2β′1cosaq=2αcosaq+2βcosaq(5)可以得到:mΜω4+C(m+Μ)ω2+C2-D2=0(6)解方程式(6),得到最近邻近似下一维双原子链晶格振动的色散关系表达式:{ω2o=12mΜ{-C(m+Μ)+[C2(m+Μ)2-4mΜ(C2-D2)]12}ω2A=12mΜ{-C(m+Μ)-[C2(m+Μ)2-4mΜ(C2-D2)]12}(7)把式(5)代入式(7),可得最近邻近似下的色散关系:{ω2o=β′1mΜ{(m+Μ)+[m2+Μ2+2mΜcos(2qa)]12}ω2A=β′1mΜ{(m+Μ)-[m2+Μ2+2mΜcos(2qa)]12}(8)式(8)即为一般教科书中最近邻近似下一维双原子链晶格振动的色散关系.其中属于ωo的格波称为光学波,属于ωA的格波称为声学波.(2)当S=2时,表示考虑了从第一近邻原子到第二近邻原子的库仑作用,即考虑到了次近邻原子的作用.因此,式(1)的原子运动方程变为:{Μ¨u2n-1=(α+β)(u2n+u2Ν+2n-2-2u2n-1)-β8(u2n+1+u2Ν+2n-3-2u2n-1)=α(u2n+u2Ν+2n-2-2u2n-1)+β(u2n+u2Ν+2n-2-74u2n-1-18u2n+1-18u2Ν+2n-3)Μ¨u2n=(α+β)(u2n+1+u2n-1-2u2n)-β8(u2n+2+u2Ν+2n-2-2u2n)=α(u2n+1+u2n-1-2u2n)+β(u2n+1+u2n-1-74u2n-18u2n+2-18u2Ν+2n-2)(1b)仍然取式(2)形式的试探解,代入式(1b)并利用波恩-卡曼周期性边界条件得:{(2αcosqa+2βcosqa)A+[Μω2+(-2α)+(-14cos2qa-74)β]B=0[mω2+(-2α)+(-14cos2qa-74)β]A+(2αcosqa+2βcosqa)B=0(9)令:C=-2α+(-14cos2qa-74)β‚D=2αcosqa+2βcosqa(10)同理,可得与式(6)相同的方程:mMω4+C(m+M)ω2+C2-D2=0.解上述方程,得到考虑次近邻近似下一维双原子链晶格振动的色散关系表达式:{ω2o=12mΜ{-C(m+Μ)+[C2(m+Μ)2-4mΜ(C2-D2)]12}ω2A=12mΜ{-C(m+Μ)-[C2(m+Μ)2-4mΜ(C2-D2)]12}上式与式(7)相同,只是其中C和D由式(10)确定.(3)当S=2N-1时,表示考虑了N个原胞中所有原子的长程库仑作用.由于距离为ka的原子间对应的库仑作用为βk=(-1)k+1β/k3,其中k=1,2,…,2N-1.当k为奇数时,令k=2l-1;当k为偶数时,令k=2l,其中l=1,2,…,N.式(1)的原子运动方程变为{Μ¨u2n-1=Ν∑l=1{β(2l-1)3[u2n+2l-2+u2Ν+2n-2l-2u2n-1]}+Ν∑l=1{β(2l)3[2u2n-1-u2n+2l-1-u2Ν+2n-2l-1]}+α(u2n+u2Ν+2n-2-2u2n-1)m¨u2n=Ν∑l=1{β(2l-1)3[u2n+2l-1+u2Ν+2n-2l+1-2u2n]}+Ν∑l=1{β(2l)3[2u2n-u2Ν+2n+2l-u2n+2l]}+α(u2n+1+u2n-1-2u2n)(1c)将试探解式(2)代入方程组式(1c),并利用波恩-卡曼周期性边界条件,得到方程组:{{Ν∑l=1β2(2l-1)3cos[(2l-1)qa]+2αcosqa}A+{Μω2+Ν∑l=1β[2(2l)3(1-cos2lqa)-2(2l-1)3]-2α}B=0{mω2+Ν∑l=1β[2(2l)3(1-cos2lqa)-2(2l-1)3]-2α}A+{Ν∑l=1β2(2l-1)3cos[(2l-1)qa]+2αcosqa}B=0(11)同理,方程组式(11)有解的条件是其系数行列式为零,从而可得到考虑所有原子相互作用下一维双原子链晶格振动的色散关系表达式:{ω2o=12mΜ{-C(m+Μ)+[C2(m+Μ)2-4mΜ(C2-D2)]12}ω2A=12mΜ{-C(m+Μ)-[C2(m+Μ)2-4mΜ(C2-D2)]12}上式同样与式(7)相同,只是其中C和D由下式决定.{C=-2α+Ν∑l=1β[2(2l)3(1-cos2lqa)-2(2l-1)3]D=2αcosqa+Ν∑l=1β2(2l-1)3cos[(2l-1)qa](12)当N的取值足够大时,就可以得到考虑所有原子相互作用的无限长一维双原子链晶格振动的色散关系.2原子间库仑作用的影响根据以上推导的3种色散关系表达式,考虑N=50个原胞的一维双原子链晶格振动,并给定两离子质量分别为M=1.0、m=0.5.在最近邻原子短程力常数α=1不变下,分析和讨论原子间库仑作用(这里用第一近邻原子间的库仑作用力常数β值表示)对色散关系的影响,并在第一布里渊区中比较上述3种色散关系,以揭示不同近邻原子作用下色散关系的差异.2.13布里渊区中心的开展图1给出了3种色散关系在第一布里渊区中心和边缘的ωo和ωA随β的变化情况,其中a表示只考虑最近邻近似的情况、b表示考虑到次近邻近似的情况、c表示考虑了所有原子相互作用的情况.如图1所示,3种色散关系在第一布里渊区中心的ωo和边缘的ωo及ωA都随β绝对值的增大而减小;最近邻近似的色散关系在布里渊区中心的光学模频率始终大于边缘的光学模频率,光学支和声学支被一个禁带隔开;但是,次近邻近似和所有原子相互作用的色散关系在布里渊区中心的光学模频率并不总是大于边缘的光学模和声学模频率.由图1可见,次近邻近似和所有原子相互作用的色散关系在布里渊区中心的光学模频率曲线与边缘的光学模和声学模频率曲线依次相交,交点分别表示布里渊区中心的光学模频率ωo与边缘的光学模频率ωo和声学模频率ωA相等;并且,随着β绝对值的增大,交点就是布里渊区中心的ωo从大于变为小于边缘的ωo及ωA的临界点.于是,由这些临界点和布里渊区中心ωo等于零的点可确定相应的β值变化区间.对于次近邻近似的色散关系,当|β|>0.666时(点A),布里渊区中心的光学模频率降低,而边缘的光学模挪到了光学支的最高频,但仍有明显的禁带;到|β|>0.886时(点B),光学支就开始掉入声学支中,禁带消失;直到|β|=1.0时(点C),布里渊区中心的光学模频率降为零.对于所有原子相互作用的色散关系,当|β|>0.642时(点D),布里渊区中心的光学模频率小于边缘的光学模频率,也仍有明显的带隙;到|β|>0.844时(点E),布里渊区中心的光学模频率不仅小于边缘的光学模频率,而且小于边缘的声学模频率,禁带消失;而到|β|≥0.953时(点F),布里渊区中心的光学模频率已经降为零.由此可见,次近邻近似和所有原子相互作用的色散关系在布里渊区中心的光学模因大的β绝对值而向低频方向移动,而且所有原子相互作用下布里渊区中心的光学振动模软化更显著.2.23种以为依托的3种分离法根据上述图1的结果分析,若给定β=-0.2,-0.75,-0.953时,图2分别给出了相同β值的3种色散关系曲线.其中,a表示只考虑最近邻近似的情况,b表示考虑到次近邻近似的情况,c表示考虑了所有原子相互作用的情况.由图2可见,随着β绝对值的增大,3种晶格振动色散关系的频率逐渐减小、频隙位置降低、频隙不断减小,但最近邻近似的色散关系曲线形状基本不变,而次近邻近似和所有原子相互作用下的色散关系在布里渊区中心的光学模逐渐向低频方向移动,并且所有原子的相互作用比次近邻原子的相互作用使布里渊区中心光学模向低频方向移动更快,这一结果与图1是完全一致的.即使在相同的β值(β≠0)条件下,3种色散关系曲线在第一布里渊区中总是按bca从上到下依次排列,并且不同近邻原子作用下的色散关系也有差异.如图2(a)所示,当β绝对值较小时,3种色散关系都被一个禁带隔开,布里渊区中心的光学支频率总是大于边缘的光学支频率;但是,最近邻原子的相互作用对色散关系影响最大,次近邻原子的相互作用也比较大,其它更远距离原子的相互作用的影响不是很明显.然而,当β绝对值较大时,如图2(b)和2(c)所示,次近邻原子的相互作用和所有原子相互作用对色散关系光学支的影响非常显著;β绝对值越大,这两种色散关系在布里渊区中心的光学模频率不仅小于边缘的光学模频率,而且小于边缘的声学模频率,并且所有原子的相互作用比次近邻原子的相互作用使布里渊区中心光学模软化更显著.3不同近邻原子作用下3种以明确规定的染色关系在简谐近似和周期性边界条件下,得到了最近邻近似、次近邻近似和所有原子相互作用下一维双原子链晶格振动的色散关系.当最近邻原子间短程作用相同时,分析和讨论了原子间库仑作用(用β值表示)对色散关系的影响,并在第一布里渊区中比较了不同近邻原子作用下色散关系的差异.结果表明:随着β绝对值的增大,3种色散关系的频率减小、频隙位置降低、频隙逐渐减小直到消失;而且不同近邻原子作用下色散关系的差异也变大.具体表现为:当原子间库仑作用较弱时,3种色散关系在布里渊区中心的光学支频率总是大于边缘的光学支频率,对色散关系贡献最大的是最近邻原子的相互作用,次近邻原子的相互作用也