偏导数几何的应用

一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线第七节偏导数的几何应用三、小结四、作业1整理ppt设空间曲线的方程(1)式中的三个函数均可导.

1.空间曲线的方程为参数方程一、空间曲线的切线与法平面2整理ppt考察割线趋近于极限位置——上式分母同除以割线的方程为切线的过程3整理ppt曲线在M处的切线方程切向量法平面切线的方向向量称为曲线在点M处的切向量.过M点且与切线垂直的平面.4整理ppt解.切线方程法平面方程例1.即5整理ppt设曲线直角坐标方程为法平面方程为2.空间曲线的方程为曲线的参数方程是由前面得到的结果,在M(x0,y0,z0)处,令切线方程为x为参数,两个柱面的交线6整理ppt例2.

在抛物柱面与的交线上,

求对应的点处的切向量.x为参数,于是解.所以交线上与对应点的切向量为:交线的参数方程为取7整理ppt设空间曲线方程为3.空间曲线的方程为确定了隐函数(此曲线方程仍可用方程组

两边分别对表示.)x求全导数:两个曲面的交线8整理ppt

利用2.结果,

9整理ppt法平面方程为切线方程为在点

M(x0,y0,z0)处的10整理ppt解.例3.

切线方程和法平面方程.切线方程

将所给方程的两边对x求导法一11整理ppt法平面方程法二12整理ppt法三公式法13整理ppt设曲线证.

因原点即于是证明此曲线必在以原点为的法平面都过原点,在任一点中心的某球面上.曲线过该点的法平面方程为故有

在法平面上,任取曲线上一点例4.14整理ppt

今在曲面Σ上任取一条1.设曲面Σ的方程为的情形隐式方程二、曲面的切平面与法线

函数的偏导数在该点连续且不同时为零.点M对应于参数

不全为零.过点M的曲线Γ,设其参数方程为15整理ppt

由于曲线Γ在曲面Σ上,所以

在恒等式两端对t求全导数,

并令那么得假设记向量

曲线Γ在点M处切线的方向向量记为那么※式可改写成即向量垂直.※16整理ppt

因为曲线Γ是曲面Σ上过点M的任意一条曲线,所有这些曲线在点M的切线都与同一向量垂直,因此这些切线必共面,称为曲面Σ在点M的过点M且垂直于切法线,又是法线的方向向量.向量称为曲法向量.切平面,由切线形成的这一平面,平面的直线称为曲面Σ在点M的面Σ在点M的17整理ppt曲面在M(x0,

y0,

z0)处的法向量:切平面方程为法线方程为所以曲面Σ上在点M的18整理ppt解.令切平面方程法线方程

例5.∥19整理ppt2.曲面方程形为的情形曲面在M处的切平面方程为曲面在M处的法线方程为令或显式方程20整理ppt其中法向量表示曲面的法向量的方向角,并假定法向量的方向是向上的,即使得它与z轴的正向所成的角是锐角,那么法向量的方向余弦为注释1：关于21整理ppt因为(第三个分量为负),

求旋转抛物面在任意点P(x,y,z)处向上的法向量(即与z轴夹角为锐角的法向量).解.而为向下的法向量故向上的法向量应为:例6.22整理ppt因为曲面在M处的切平面方程:全微分的几何意义表示切平面上的点的竖坐标的增量.切平面上点的竖坐标的增量注释2：23整理ppt

例7.

解.过直线L的平面束方程为即其法向量为求过直线L且与曲面相切之切平面方程.24整理ppt设曲面与切平面的切点为那么因而故所求切平面方程为或即或25整理ppt解.令得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为().旋转面方程为练习26整理ppt空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线三、小结(空间曲线三种不同形式方程的切线与法平面的求法.当空间曲线方程为一般式时,求切向量可采用公式法、推导法或